A7612高阶微分方程

1、1高等数学高等数学 电子教案电子教案a23 二阶及二阶以上的微分方程称为二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程高阶微分方程。二阶微分方程的一般形式：二阶微分方程的一般形式：),(0),(yyxfyyyyxf 或或主要介绍：主要介绍：(1) 可降阶的二阶微分方程；可降阶的二阶微分方程；(2) 二阶线性微分方程；二阶线性微分方程；(3) 二阶欧拉（二阶欧拉（euler）方程。）方程。4一、一、型型)()(xfyn 方程右边仅含自变量方程右边仅含自变量 x .两边逐次积分两边逐次积分 n 次次例：例：.2xexy 求解法：求解法：特点：特点：逐次积分法逐次积分法5二、二、型型),(yxfy 方程中

2、不出现未知函数方程中不出现未知函数 y .求解法：求解法： 变量代换，降阶变量代换，降阶)(xpy 令令代入方程：代入方程：),(pxfp 为一阶微分方程，为一阶微分方程，),(1cxp 解得通解：解得通解：解此一阶微分方程，解此一阶微分方程，.),(21cxdcxy 特点：特点：, )(xpy ),(1cxy 最后得原方程通解：最后得原方程通解：6例题讨论例题讨论1.求解下列方程：求解下列方程：.yyx 解：解：)(xpy 令令, )(xpy 7三、三、型型),(yyfy 特点：特点：方程右边不方程右边不 (明显明显) 出现自变量出现自变量 x .求解法：求解法：变量代换，降阶变量代换，降阶

3、)(ypy 令令代入方程：代入方程：),(pyfpp 为一阶微分方程，为一阶微分方程，),(1cyp 其通解：其通解：可分离变量可分离变量 xdcyyd),(1 ),(1cy ),(1cydxdyy .2cx )(ypy ,pp y 8例题讨论例题讨论例例1：的通解。的通解。求求0122 yyy)(ypy 令令解：解：,)(ppyypy 9课外作业（课外作业（可降阶可降阶） 7 6 (a)1（2，4，6，8 ( 4 改成改成 x )）2（2，4），），3（2，3，5）3 (p. 161 ) 7 6 (b) (p. 162 )10117. 高阶高阶线性线性微分方程微分方程 未知函数及其各阶导数都

4、是一次的未知函数及其各阶导数都是一次的方程，称为方程，称为线性线性微分方程微分方程。n 阶线性微分方程的阶线性微分方程的一般形式一般形式：)()()()(1)1(1)(xfyxpyxpyxpynnnn 的连续函数。的连续函数。都是都是，其中其中xfppn,1时，时，当当0)( xf称其为称其为齐次齐次线性微分方程；线性微分方程；时，时，当当0)( xf称其为称其为非齐次非齐次线性微分方程。线性微分方程。12一、线性微分方程的一、线性微分方程的解的结构解的结构二阶二阶齐次齐次线性微分方程线性微分方程：二阶二阶非齐次非齐次线性微分方程线性微分方程：,0)()( yxqyxpy, )()()(xfy

5、xqyxpy (1)(2)引进引进算子算子 l ： yxqyxpyyl)()( 记记则则 (1)(2) . 0 yl . )(xfyl 性质性质(1) l c y = c l y c 常数常数(2) l y1 + y2 = l y1 +l y2 .22112211ylcylcycycl 13定理定理1： 设设 y1, y2 是是 l y = 0 (1) 的两个解，的两个解，2211ycycy 也是也是(1)的解，其中的解，其中c1,c2 为任意常数。为任意常数。2211ycycl , 01 yl满足满足 (1) , 即得证。即得证。问题：问题：2211ycycy 是否就是是否就是(1)的通解？

6、的通解？证：证：由题设，由题设，, 02 yl11ylc ,000 22ylc 则则 l y = 0 (1) 的解的叠加原理的解的叠加原理14定义：定义：上的上的是定义在区间是定义在区间设设ixyxyn)(),(1n 个函数，如果存在个函数，如果存在 n 个不全为零的常数个不全为零的常数,1nkk使得当使得当 x 在该区间内取值时，有在该区间内取值时，有02211 nnykykyk成立，就称这成立，就称这n 个函数在区间个函数在区间 i 内内线性相关线性相关；否则，称为；否则，称为 线性无关线性无关。例：例：1,cos,sin22xx这三个函数在整个数轴这三个函数在整个数轴上是线性相关的。上是

7、线性相关的。15定理定理2：(二阶二阶齐次齐次线性微分方程线性微分方程通解通解的结构定理的结构定理)设设 y1与与 y2 是是 (1) 的两个线性无关的特解，的两个线性无关的特解，2211ycycy 则则(c1, c2 为任意常数为任意常数)就是二阶齐次线性微分方程就是二阶齐次线性微分方程 (1) 的通解。的通解。说明：说明：10. 二阶微分方程的二阶微分方程的通解通解必须有必须有两个两个任意常数。任意常数。20. y1与与 y2 是是 (1) 的两个的两个解解，且线性无关且线性无关。16定理定理3： (二阶二阶非齐次非齐次线性微分方程线性微分方程通解通解的结构定理的结构定理)*y设设是二阶是

8、二阶非齐次非齐次线性微分方程线性微分方程 (2) 的的y是其所对应的是其所对应的齐次齐次线性微分方程线性微分方程的通解的通解 (又称为又称为(2)的余函数的余函数), 则则*yyy 是是非齐次非齐次线性方程线性方程 (2) 的的通解通解。证：证：, 0 yl *yylyl *ylyl 得证。得证。*yyy 一个一个特解特解，( 形式形式(1) ) 非齐次非齐次(2)通解通解 = 对应齐次对应齐次(1)通解通解(2)特解特解),(*xfyl )(0 xf ),(xf 17定理定理4： (广义迭加原理广义迭加原理),()()(21xfxfxfyl 设设的特解，的特解，是是若若)(1*1xfyly

9、的特解，的特解，是是)(2*2xfyly 的特解。的特解。是是则则)()(21*2*1xfxfylyy ( p. 372 )18课外作业课外作业 7 7（a）1（2，5），），2，4 (p. 172 ) 7 7（b）1，3，4*198. 常系数齐次常系数齐次线性微分方程线性微分方程208.8.二阶二阶常系数常系数齐次齐次线性微分方程线性微分方程二阶线性微分方程：二阶线性微分方程：)()()(xfyxqyxpy 则则均为常数均为常数若若),()(,)(qxqpxp 齐次齐次：0 yqypy)(xfyqypy 非齐次非齐次：(1)(2)21一、特征方程一、特征方程讨论二阶讨论二阶常系数常系数齐次齐

10、次线性微分方程线性微分方程0 yqypy(1)由由(1)的特点，的特点，应属同一类函数，应属同一类函数，与与yyy ,用指数函数用指数函数xrey 求其通解。求其通解。进行尝试，进行尝试，r = ? xrey 是方程是方程 (1) 的解。的解。，设设xrey ,xrery 代入方程：代入方程： ,0 xre(*)02 qrpr(*) 称为称为 (1) 的的特征方程特征方程。p、q 为常数为常数 ，,2xrery 22特点：特点： (*) 中中 r 2 , r, r 0 的系数就是的系数就是 (1) 的系数。的系数。中中yyy, 一元二次方程一元二次方程 (*) 的根的根.2422, 1qppr

11、 (*)02 qrpr0 yqypy微分方程微分方程(1)特征方程特征方程212, 04rrqp 是两个不相等的实根；是两个不相等的实根；2, 04212prrqp 212, 04rrqp 是两个相等的实根；是两个相等的实根；是一对共轭复根，是一对共轭复根，.24222, 1 ipqipr 23二、特征方程的二、特征方程的根根与微分方程与微分方程 解解的关系的关系xrey 设设是齐次线性微分方程是齐次线性微分方程(1)的解，的解，,2121xrxreyey xrrxrxreeeyy)(212121 且且常数，常数，即即 y1, y2 线性无关。由定理二，线性无关。由定理二，(1) 的通解：的通

12、解：.2121xrxrececy (1) 当当,21rr 24(2) 当当221prr ,2121yeeyxrxr y1, y2 线性相关，线性相关，另找另找 y2 ，使与，使与 y1 线性无关。线性无关。),(12xuyy 设设,)(xxu 试设试设,12xrexy 则则,)1(112xrerxy ,)2(1112xrerrxy 0 yqypy代入代入是否是是否是(1)的的解？解？满足方程。满足方程。(1) 的通解：的通解：xrxrexcec21 .)(21xrexcc y)(21rrr ),()(112xuexuyyxr 25(3) 当当),0(2, 1 ir,)(1xiey ,)(2xi

13、ey xixeey 1由欧拉公式：由欧拉公式： sincosiei 再由解的叠加原理，再由解的叠加原理，,cos)(2121xeyyx ,sin)(2121xeyyxi 也是也是(1)的解，的解， 1y 2y常数，常数，且且 21yy (1) 的通解：的通解：)sincos(21xcxceyx ,2211ycycy )sin(cosxixex xixeey 2)sin(cosxixex (p. 275)260 yqypy求求通解的步骤：通解的步骤：写出对应的特征方程：写出对应的特征方程：(1)(2)(3);02 qrpr求出特征根：求出特征根：;,21rr根据下表写出方程根据下表写出方程 (1

14、) 的通解：的通解：(1)21rr xrxrececy2121 rrr 21xrexccy)(21 ) 0(2 , 1 ir)sincos(21xcxceyx 27例题讨论例题讨论例例1：的特解。的特解。求求6)0(, 2)0(,034 yyyyy解：解：28三、推广到三、推广到 n 阶阶常系数线性微分方程中常系数线性微分方程中n 阶常系数线性微分方程的一般形式：阶常系数线性微分方程的一般形式：. 01)1(1)( ypypypynnnn为常数。为常数。其中其中npp,1解法解法：, 0111 nnnnprprpr解此一元解此一元 n 次代数方程得次代数方程得 n 个根，个根，根据每个根的情况

15、得到对应微分方程通解根据每个根的情况得到对应微分方程通解 中一项中一项 yi ( i = 1, 2, , n ) ,.2211nnycycycy 通解通解写出特征方程：写出特征方程：29特征方程的根特征方程的根 高阶微分方程高阶微分方程通解中的对应项通解中的对应项 r = r 为单实根为单实根 一一项项 两两项项r = r为为k重实根重实根 k 项项 2 k 项项为为一一对对单单复复根根 ir 2, 1重复根重复根为为，kir 21xrec1)sincos(21xcxcex xrkkexcxcxcc)(12321 xxcxccekkx cos)(121 sin)(121xxcxcckk .22

16、11nnycycycy ,21nrrr30课外作业课外作业 7 8 (a)1（2，4，5，7），），2（2，4，5） (p. 180 ) 7 8 (b) (p. 181 )1（1，2，5）319. 常系数非齐次常系数非齐次线性微分方程线性微分方程329、 二阶常系数二阶常系数非齐次非齐次线性线性微分方程微分方程一般形式：一般形式：)2()(xfyqypy （ p, q 为常数为常数 ）对应齐次微分方程：对应齐次微分方程：,0 yqypy其特征方程：其特征方程：.02 qrpr(1)(*)又由非齐次又由非齐次(2)的通解结构知：的通解结构知：.*yyy 如何求如何求*y?有关。有关。与与)(*x

17、fy对两种常见的对两种常见的 f (x) , 利用利用待定系数法待定系数法求求. *y33.)()(型型一、一、xpexfmx 分析：分析：f (x) 是是m 次多项式与指数函数的乘积，次多项式与指数函数的乘积，推测推测 xexqy )(* 其中其中 q(x) 是待定的是待定的 x 的多项式。的多项式。 为代入方程，为代入方程，xxexqexqy )()(* , )()(xqxqex , )()(2)(*2xqxqxqeyx )2()(xfyqypy 3422qqqex )()(xfxpemx )(xq （）即为即为 q(x) 所需满足的条件。所需满足的条件。分三种情况讨论：分三种情况讨论：

18、不是不是 特征方程特征方程02 qrpr的根。的根。，即即02 qp 要使（要使（）成立，）成立，必须必须 q(x) 与与 pm(x) 同次，同次，,)()(1110mmmmmbxbxbxbxqxq .)(*xmexqy yqypy qqeqqpexx )()2(xqp )()(2xqqp 代入方程：代入方程：将将xexqy )(* )(xpm 35)()()()()2()(2xpxqqpxqpxqm （） 是是 特征方程特征方程02 qrpr的的单根单根。, 0202 pqp 但但，即即)()()2()(xpxqpxqm （）要使（要使（）成立，必须）成立，必须同次，同次，与与)()(xpx

19、qm 次多项式，次多项式，为为即即1)( mxq),()()(0mmmbxbxxqxxq 令令.)(*xmexqxy 36)()()()()2()(2xpxqqpxqpxqm （） .)(2*xmexqxy （）是是 特征方程特征方程02 qrpr的二重根。的二重根。, 0202 pqp 且且，即即)()(xpxqm 要使（要使（）成立，必须）成立，必须同次，同次，与与)()(xpxqm 次多项式，次多项式，为为即即2)( mxq),()()(022mmmbxbxxqxxq 令令37型，型，对对)()(xpexfmx 求其特解，求其特解，.)(*xmkexqxy 则令则令 当当 不是特征方程的

20、根时，取不是特征方程的根时，取 当当 是特征方程的单根时，取是特征方程的单根时，取 当当 是特征方程的二重根时，取是特征方程的二重根时，取k = 0;k = 1;k = 2.38例题讨论例题讨论例例1： 求下列各方程的通解：求下列各方程的通解：1. 2364 xyyy解：解： 求出对应齐次微分方程的通解求出对应齐次微分方程的通解 求原方程的特解求原方程的特解:y:*y39型型sin)(cos)()(xxpxxpexfnlx 二、二、)()(次多项式次多项式是是次多项式，次多项式，是是nxplxpnl则由欧拉公式及类似前述分析，则由欧拉公式及类似前述分析，)2()(xfyqypy 的特解为：的特

21、解为：sin)(cos)(*)2()1(xxrxxrexymmxk , ),(maxnlm i 当当不是特征方程的根时，不是特征方程的根时，取取 k = 0 ;当当 i 是特征方程的根时，是特征方程的根时，取取 k = 1.02 qrpr特征方程特征方程40例题讨论例题讨论例：例：.sin24xeyyx 求下列微分方程的通解：求下列微分方程的通解：1.41课外作业课外作业 11 9 (a)1（2，3，4，6），），2（2，5），），6，(一一)(二二)1（8，10，13），），2（1） 11 9 (b)1，54210. 欧拉方程欧拉方程4310. 欧拉方程欧拉方程对有些特殊的对有些特殊的变系数

22、变系数线性线性微分方程，微分方程，可以通过变量代换化成常系数线性微分可以通过变量代换化成常系数线性微分方程，从而求得其解。方程，从而求得其解。欧拉方程就是其中一种。欧拉方程就是其中一种。形如：形如：)(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn ),(21常数常数为为nppp的方程称为的方程称为欧拉方程欧拉方程。44)(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn 当当 x 0 时时(x 0 时类似讨论时类似讨论) , 作变换，作变换，,ln,xtext 令令代入方程，代入方程，xdydy ;tdydyx )1(22tdydxxdddxydy ;222tddytdydyx 同

23、理，同理，;2322333tddytdydtdydyx 解法：解法：xdtdtdyd ,1tdydx tdydx21 )(1222tdydtdydx xdtdtdydx 22145引进算子：引进算子：,tddd ,tdydyd 则则tdydyx = d y ,tdydtdydyx 222,)1(2yddydyd tdydtdydtdydyx2322333 ;)2( )1(yddd 一般：一般：ykddddyxkk)1()2( )1()( ), 2, 1(nk ydydyd2323 ,222tddd 46得到以得到以 t 为自变量的为自变量的常系数常系数线性微分方程，线性微分方程，求出方程通解，

24、求出方程通解，xtln 回代，即得回代，即得原欧拉方程的通解。原欧拉方程的通解。最后用最后用)(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn ,tex 令令yndddd)1()2( )1( 方程变形为方程变形为ynddddp)()2( )1(1 yddpn)1(2 ydpn 1 )(tef ypn 47例题讨论例题讨论例例1：xxyxyy22 求求满足初始条件满足初始条件的特解。的特解。3, 111 xxyy48课外作业课外作业 7 9 (a)1（2，3，6）, 3（1，3，4）1（5） ( p. 190 ) 7 9 (b) ( p. 191 )49定义与方程定义与方程 索引索引可降阶

25、的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程一一、型型)()(xfyn 方程右边仅含自变量方程右边仅含自变量 x .两边逐次积分两边逐次积分 n 次次求解法：求解法：特点：特点：逐次积分法逐次积分法50二二、型型),(yxfy 方程中不出现未知函数方程中不出现未知函数 y .求解法求解法：变量代换，降阶变量代换，降阶)(xpy 令令代入方程代入方程：),(pxfp 为一阶微分方程为一阶微分方程，),(1cxp 解得通解：解得通解：解此一阶微分方程，解此一阶微分方程，.),(21cxdcxy 特点：特点：, )(xpy ),(1cxy 最后得原方程通解：最后得原方程通解：51三、三、型型),(yyfy 特

26、点：特点：方程右边不方程右边不 (明显明显) 出现自变量出现自变量 x .求解法：求解法：变量代换，降阶变量代换，降阶)(ypy 令令代入方程：代入方程：),(pyfpp 为一阶微分方程为一阶微分方程，),(1cyp 其通解：其通解：可分离变量可分离变量 xdcyyd),(1 ),(1cy ),(1cydxdyy .2cx )(ypy ,pp y 52二阶二阶齐次齐次线性微分方程线性微分方程：二阶二阶非齐次非齐次线性微分方程线性微分方程：,0)()( yxqyxpyyl, )()()(xfyxqyxpyyl (1)(2)定理定理1： 设设 y1, y2 是是 l y = 0 (1) 的两个解，

27、的两个解，2211ycycy 也是也是(1)的解，其中的解，其中c1,c2 为任意常数。为任意常数。则则 l y = 0 (1) 的解的叠加原理的解的叠加原理53定理定理2：(二阶二阶齐次齐次线性微分方程线性微分方程通解通解的结构定理的结构定理)设设 y1与与 y2 是是 (1) 的两个线性无关的特解，的两个线性无关的特解，2211ycycy 则则(c1, c2 为任意常数为任意常数)就是二阶齐次线性微分方程就是二阶齐次线性微分方程 (1) 的通解。的通解。定义：定义：上的上的是定义在区间是定义在区间设设ixyxyn)(),(1n 个函数，如果存在个函数，如果存在 n 个不全为零的常数个不全为

28、零的常数,1nkk使得当使得当 x 在该区间内取值时，有在该区间内取值时，有02211 nnykykyk成立，就称这成立，就称这n 个函数在区间个函数在区间 i 内内线性相关线性相关；否则，称为；否则，称为 线性无关线性无关。54定理定理3： (二阶二阶非齐次非齐次线性微分方程线性微分方程通解通解的结构定理的结构定理)*y设设是二阶是二阶非齐次非齐次线性微分方程线性微分方程 (2) 的的y是其所对应的是其所对应的齐次齐次线性微分方程线性微分方程的通解的通解 (又称为又称为(2)的余函数的余函数), 则则*yyy 是是非齐次非齐次线性方程线性方程 (2) 的的通解通解。一个一个特解特解，( 形式

29、形式(1) )*yyy 非齐次非齐次(2)通解通解 = 对应齐次对应齐次(1)通解通解(2)特解特解55定理定理4： (广义迭加原理广义迭加原理),()()(21xfxfxfyl 设设的特解，的特解，是是若若)(1*1xfyly 的特解，的特解，是是)(2*2xfyly 的特解。的特解。是是则则)()(21*2*1xfxfylyy ( p. 372 )56二阶二阶常系数常系数齐次齐次线性微分方程线性微分方程0 yqypy(*)02 qrpr特征方程：特征方程：21rr xrxrececy2121 rrr 21xrexccy)(21 ) 0(2 , 1 ir)sincos(21xcxceyx 特征方程的根特征方程的根微分方程的通解微分方程的通解570111 nnnnprprprn 阶常系数线性微分方程的一般形式：阶常系数线性微分方程的一般形式：. 01)1(1)( ypypypynnnn为常数。为常数。其中其中npp,1特征方程特征方程.2211nnycycycy 通解通解58特征方程的根特征方程的根 高阶微分方程高阶微分方程通解中的对