多元函数的极值与最值

1、7.5多元函数的极值与最值一、问题的提出二、多元函数的极值与最值三、条件极值、拉格朗日乘数法实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价瓶进价1元，外地牌子每瓶进价元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的元，外地牌子的每瓶卖每瓶卖 元，则每天可卖出元，则每天可卖出 瓶本瓶本地牌子的果汁，地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大利润？取得最大利润？xyyx4570 yx7680 每天的利润为

2、每天的利润为 ),(yxf)7680)(2 . 1()4570)(1(yxyyxx 求最大利润即为求二元函数的最大值求最大利润即为求二元函数的最大值.一、问题的提出的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 播放播放二、多元函数的极值和最值1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义极大值、极小值统称为极值极大值、极小值统称为极值. .使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点. .例例1 1处有极小值处有极小值在在函数函数)0 , 0(4322yxz 例例处有极大值处有极大值在在函数函数)0 , 0(22yxz 例例处无极值处无极值在在函数函数)0 , 0(xyz

3、定理定理 1 1（必要条件）（必要条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx具有偏导数，且具有偏导数，且在点在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：然为零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件不妨设不妨设),(yxfz 在点在点),(00yx处有极大值处有极大值,则则对对于于),(00yx的的某某邻邻域域内内任任意意 ),(yx),(00yx都都有有 ),(yxf),(00yxf,证证故故当当0yy ，0 xx 时时，有有 ),(0yxf),(00yxf,说明一

4、元函数说明一元函数),(0yxf在在0 xx 处有极大值处有极大值,必必有有 0),(00 yxfx;类类似似地地可可证证 0),(00 yxfy.推广推广 如果三元函数如果三元函数),(zyxfu 在点在点),(000zyxp具有偏导数，则它在具有偏导数，则它在),(000zyxp有极值的必要条有极值的必要条件为件为 0),(000 zyxfx， 0),(000 zyxfy， 0),(000 zyxfz.例如例如, 点点)0 , 0(是函数是函数xyz 的驻点，的驻点，但但不不是是极极值值点点. 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时同时为零为零的点，均称为函数的的

5、点，均称为函数的驻点驻点.驻点驻点极值点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：注意： 对于偏导数存在的函数又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令 ayxfxx ),(00， byxfxy ),(00， cyxfyy ),(00，定理定理 2 2（充分条件）（充分条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内连续，的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，有一阶及二阶连续偏导数，例例2 2 设 是常数，求 z 的极值。解：解：解方程组解方程组 得实数解为得实数解为222()(2)02()(2)0 xyfa

6、xbyyfbyaxx( , )(0,0)(0,2 )(2 ,0)(2 ,2 )a bbaab22(2)xxfbyy 4()()xyfax by22(2)yyfaxx 2(2)(2)0zaxxbyyab、且对驻点对驻点( (a,b) )有有所以点所以点( (a,b) )是极大值点是极大值点，极值为，极值为2( , )20 xxafa bb( , )0 xybfa b2( , )20yycfa ba22240baa bc22maxx ay bzza b对驻点对驻点(0(0,0),0)有有所以点所以点(0(0,0),0)不是极值点不是极值点。 对驻点对驻点(0,2b)、 (2a,0)、 (2a,2b

7、)可用类似方可用类似方法判断，并得到它们均不是极值点。法判断，并得到它们均不是极值点。22204160acbabbaca b求函数求函数),(yxfz 极值的一般步骤：极值的一般步骤：第第一一步步 解解方方程程组组, 0),( yxfx0),( yxfy求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值 a、b、c.求最值的一般方法求最值的一般方法： 将函数在将函数在d d内的所有驻点处的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在d d的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者

8、即为最大值，最小者即为最小值大者即为最大值，最小者即为最小值. . 若若d d内只有一个极值点，则必为最值点。内只有一个极值点，则必为最值点。 与一元函数相类似，我们可以利用函数的与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值极值来求函数的最大值和最小值.3 3、多元函数的最值、多元函数的最值例例3 3 某企业生产两种商品的产量分别为某企业生产两种商品的产量分别为x x单位和单位和y y单单 位，利润函数为位，利润函数为 l=64x-2x2+4xy-4y2+32y-14， 求最大利润。求最大利润。解：解：0064440(,)(40,24)48320 xylxyx ylxyma

9、x(40,24)1650ll( (x x0 0,y,y0 0)=(40,24)=(40,24)为极大值点，就为极大值点，就 是最大值点。是最大值点。(40,24)440 xxxxlal(40,244)4xyxybll8(40,24)8yyyylcl 20016baca, 0)1()(2)1(22222 yxyxxyxzx, 0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy得驻点得驻点)21,21(和和)21,21( ,解解 由由即边界上的值为零即边界上的值为零.,21)21,21( z,21)21,21( z所以最大值为所以最大值为21，最小值为，最小值为21 .因为因为01lim22 yx

10、yxyx无条件极值无条件极值：对自变量除了限制在定义域内对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件外，并无其他条件.实例：实例： 小王有小王有200元钱，他决定用来购买两元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买购买 张磁盘，张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果，盒录音磁带达到最佳效果，效用函数为效用函数为 设每张磁设每张磁盘盘8元，每盒磁带元，每盒磁带10元，问他如何分配这元，问他如何分配这200元以达到最佳效果元以达到最佳效果xyyxyxulnln),( 问题的实质：求问题的实质：求 在条在条件件 下的极值点下的极值点yxyxulnl

11、n),( 200108 yx三、条件极值、拉格朗日乘数法条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值解解223323020012xyzlx y zlx yzlx ylxyz 解解得得唯唯一一驻驻点点)2 , 4 , 6(，.691224623max u则则故最大值为故最大值为 例例6 设某工厂生产设某工厂生产a a和和b b两种产品，产量分别两种产品，产量分别 为为x x和和y y（单位：千件），利润函数为单位：千件），利润函数为22( , )61642l x yxxyy（单位：万元）单位：万元） 已知生产这两种产品时，每千件产品均已知生产这两种产品时，每千件产品均 需

12、消耗某种原料需消耗某种原料20002000公斤，现有该原料公斤，现有该原料 12000 12000公斤，问两种产品各生产多少千公斤，问两种产品各生产多少千 件时，总利润最大？最大利润为多少？件时，总利润最大？最大利润为多少？解：解：由题意，由题意，1200012000公斤原料能生产公斤原料能生产 千件产品。千件产品。 因此因此1200012000公斤原料，所生产的两种产品的千件数公斤原料，所生产的两种产品的千件数 x，y 须满足条件须满足条件 x + y = 6 = 6120006200022( , , )(61642)(6)f x yxxyyxy6201.616803.82.260 xyfxfyxyfxy这样，这样，问题就是：问题就是：在在x+y=6的条件下，求的条件下，求 l(x,y)的最大值。的最大值。 当当 x0=3.8（千件），千件），y0=2.2（千件）时千件）时,总利润最大，总利润最大， 最大利润为最大利润为 l(3.8, 2.2) = 36.72（万元）万元）的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 二、多元函数的极值和最值的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 二、多元函数的极值和最值的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 二、多元函数的极值和最值的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 二、多