定积分习题课2

1、第六章第六章 定积分习题课定积分习题课主要内容主要内容典型例题典型例题问题问题1:1:曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题问题2:2:变速直线运动的路程变速直线运动的路程存在定理存在定理反常积分反常积分定积分定积分定积分定积分的性质的性质定积分的定积分的计算法计算法牛顿牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式)()()(afbfdxxfba 一、主要内容一、主要内容1 1、问题的提出、问题的提出实例实例1 1 （求曲边梯形的面积（求曲边梯形的面积a a）iniixfa )(lim10 曲曲边边梯梯形形由由连连续续曲曲线线)(xfy )0)( xf、x轴与两条直线轴与两条直线ax 、实例实例2 2 （求变

2、速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）iniitvs )(lim10 方法方法: :分割、求和、取极限分割、求和、取极限. .2 2、定积分的定义、定积分的定义设函数设函数)(xf在在,ba上有界，上有界，在在,ba中任意中任意若干若干个分点若干若干个分点bxxxxxann 1210把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为1 iiixxx，), 2 , 1( i，在各小区间上任取在各小区间上任取一点一点i （iix ），），定义定义,12110nnxxxxxx 怎怎样样的的分分法法， baidxxf)(iinixf )(lim10 .也也不不论

3、论在在小小区区间间,1iixx 上上的的取取法法，只只要要当当0 时时，和和s总总趋趋于于确定的极限确定的极限i，在区间在区间,ba上的上的定积分定积分，记为记为如如果果不不论论对对,ba我们称这个极限我们称这个极限i为函数为函数)(xf点点i 怎怎样样并并作作和和iinixfs )(1 ，可积的两个充分条件：可积的两个充分条件： 当当函函数数)(xf在在区区间间,ba上上连连续续时时，定理定理1 1定理定理2 2 设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上有界，上有界，称称)(xf在在区区间间,ba上上可可积积.且只有有限个间断点，则且只有有限个间断点，则)(xf在区间在区间,ba上可积上可积

4、.3 3、存在定理、存在定理4 4、定积分的性质、定积分的性质 badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(性质性质1 1 babadxxfkdxxkf)()( (k为常数为常数)性质性质2 2 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(假假设设bca 性质性质3 3 则则0)( dxxfba )(ba 性质性质5 5如果在区间如果在区间,ba上上0)( xf，推论：推论：则则dxxfba )( dxxgba )( )(ba 如果在区间如果在区间,ba上上)()(xgxf ，（1 1）dxxfba )(dxxfba )()(ba （2 2）dxba 1dxba ab 性

5、质性质4 4如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间,ba上连续，上连续，则则在在积积分分区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ， 使使dxxfba )()(abf )(ba 性质性质7 (7 (定积分中值定理定积分中值定理) )设设m及及m分别是函数分别是函数 则则 )()()(abmdxxfabmba . )(xf在在区区间间,ba性质性质6 6上上的的最最大大值值及及最最小小值值，积分中值公式积分中值公式5 5、牛顿、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式 如果如果)(xf在在,ba上连续，则积分上限的函数上连续，则积分上限的函数dttfxxa )()(在在,ba上具有导数，且它的导数上

6、具有导数，且它的导数是是 )()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 定理定理1 1定理定理2 2（原函数存在定理）（原函数存在定理） 如如果果)(xf在在,ba上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa )()(就就是是)(xf在在,ba上上的的一一个个原原函函数数.定理定理 3 3（微积分基本公式）（微积分基本公式） 如果如果)(xf是连续函数是连续函数)(xf在区间在区间,ba上的一个原函数，则上的一个原函数，则 )()()(afbfdxxfba .)()(babaxfdxxf 也可写成也可写成牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式.,:上的增量上的增量它的任一原函数在

7、区间它的任一原函数在区间上的定积分等于上的定积分等于一个连续函数在区间一个连续函数在区间表明表明baba6 6、定积分的计算法、定积分的计算法 dtttfdxxfba )()()(换元公式换元公式（1 1）换元法）换元法（2 2）分部积分法）分部积分法分部积分公式分部积分公式 bababavduuvudv、反常积分、反常积分无穷限的广义积分无穷限的广义积分 adxxf)( babdxxf)(lim当极限存在时，称广义积分当极限存在时，称广义积分收敛收敛；当极限不存在；当极限不存在时，称广义积分时，称广义积分发散发散. bdxxf)( baadxxf)(lim例例1 1解解.2sin120 dx

8、x求求 20cossindxxx原式原式 2440)cos(sin)sin(cosdxxxdxxx. 222 二、典型例题二、典型例题例例2 2解解.cossinsin20 dxxxx求求,cossinsin20 dxxxxi由由,cossincos20 dxxxxj设设,220 dxji则则 20cossincossindxxxxxji 20cossin)sin(cosxxxxd. 0 ,22 i故得故得.4 i即即例例3 3解解.12ln02 dxex求求,sintex 令令.sincos,sinlndtttdxtx 则则 62)sincos(cosdtttt原式原式 262sincosd

9、tttxt02ln2 6 2626sinsintdttdt.23)32ln( 例例4 4解解.2sinln40 xdx求求,2tx 令令.sinln212sinln2040 tdtxdx 402sinlnxdxi 40)cossin2ln(dxxx 40)coslnsinln2(lndxxx 2440sinlnsinln2ln4xdxxdx 20sinln2ln4xdxi22ln4 . 2ln4 i例例5 5. )1(ln1sin212128 dxxxx求求解解dxx 2121)1ln(0原式原式dxxdxx 210021)1ln()1ln(.21ln23ln23 例例6 6.,1min222

10、 dxxx求求解解 1,11,1min22xxxxxx是偶函数是偶函数, ,dxxx,1min2220 原式原式 21102122dxxdxx. 2ln232 例例7 7.)()1(,)(102022 dxxfxdyexfxyy求求设设解解 10022)1(2dxdyexxyy原式原式 10231002322)1(31)1(31dxexdyexxxxyy 1021)1(2)1()1(612xdexxux 2)1(令令 016duueeu).2(61 e例例8 8.cos1)(sin2cos1)(sin:, 0)(0202 dxxxfdxxxxfxf证明证明上连续上连续在在设设证证, tx 令令

11、)(cos1)(sin)(02dtttft 左边左边,dtdx dxxxfx 02cos1)(sin)(dxxxxfdxxxf 0202cos1)(sincos1)(sindxxxfdxxxxf 0202cos1)(sincos1)(sin2即即.cos1)(sin2cos1)(sin0202dxxxfdxxxxf 例例9 9.)()()(. 0)(,)(2abxfdxdxxfxfbaxfbaba 证明证明上连续，且上连续，且在区间在区间设设证证作辅助函数作辅助函数,)()()()(2axtfdtdttfxfxaxa )(2)(1)()(1)()(axxfdttfdttfxfxfxaxa ,2

12、)()()()( xaxaxadtdtxftfdttfxf0)2)()()()()( dtxftftfxfxfxa即即2)()()()( xftftfxf, 0)( xf.)(单调增加单调增加xf, 0)( af又又, 0)()( afbf.)()()(2abxfdxdxxfbaba 即即例例101094:2xxdx求下列广义积分解解 (1)(1) 02029494xxdxxxdx原式原式 bbaaxdxxdx02025)2(lim5)2(limbbaaxx0052arctan51lim52arctan51lim .5 测测 验验 题题3 3、3020sinlimxdttxx =(=( ) )

13、 （a a）0； （b b）1； （c c）31； （d d） . .4 4. .、定积分、定积分 10dxex的值是的值是（ ） （a a）e； （b b）21； （c c）21e； （d d）2 . .5 5、下列积分中，使用变换正确的是、下列积分中，使用变换正确的是（） （a a）,sin103 xdx令令 txarctan ； （b b） 30321dxxx，令，令 txsin ； （c c） 21221)1ln(dxxxx，令，令 ux 21； （d d） 1121dxx，令，令31tx . .6 6、下列积分中，值为零的是、下列积分中，值为零的是（ ） （a a） 112dxx；

14、( (b b） 213dxx； （c c） 11dx； （d d） 112sin xdxx . .9 9、广义积分、广义积分 222xxdx= =（ ） （a a）4ln ； （b b）0； （c c）4ln31； （d d）发散）发散. . 二、证明不等式二、证明不等式: : )2(,6121210 nxdxn . .三、求下列函数的导数：三、求下列函数的导数： 1 1、 3241)(xxtdtxf; ; 2. 2.、由方程、由方程1sin2200 xytdtttdte，的的为为确定确定xy 函数，求函数，求dxdy. .四、求下列定积分：四、求下列定积分： 1 1、 41)1(xxdx； 2 2、 axaxdx022； 3 3、 301arcsindxxx； 4 4、 52232dxxx； 5 5、 11121xdx； 6 6、 942xxdx； 7 7、 212123xxxdx； 8 8、 111dxxx. .五、五、 设设 1,0)(在在xf上有连续导数，上有连续导数，,0)0( f 且且1)(0 xf, ,试证：试证： 103210)()(dxxfdxxf. .六、六、 设设)(xf在在00，11上有二阶连续导数，证明：上有二阶连续导数，证明： 10 10)()1(21)1()0(21)(d