85可降阶的高阶微分方程

1、e-mail: 5 5 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程定义定义 称二阶及二阶以上的微分方程为称二阶及二阶以上的微分方程为高阶微分方高阶微分方程程方程方程 y (n) = f (x)1. y(n) = f (x)型的微分方程型的微分方程 右端仅含有自变量右端仅含有自变量x，容易看出，只要令，容易看出，只要令y (n1) = p则则p=f(x);则原方程可以看成是一阶微分方程，两边则原方程可以看成是一阶微分方程，两边积分就得到一个积分就得到一个n1阶的微分方程：阶的微分方程：(1)11( )d( )dnpf xxcyf xxc(2)12( )dnyf xxc dxc 同理可得：同理可得：

2、 这样经过这样经过n次积分，即得到原方程的通解。次积分，即得到原方程的通解。e-mail: 例例1.1. 解方程解方程exy 解解: : 连续积分两次，得：连续积分两次，得：12xyec xc2cosxyex 例例2.2. 解方程解方程解解: : 连续积分三次，得：连续积分三次，得：21sin2xyexc 221cos4xyexcxc 2212311sin82xcyexc xc xcce-mail: 2. 不显含不显含y型型:),(yxfy 解法解法: :令 y=p, 则dd pxpy则( , )pf x p e-mail: 设其通解为设其通解为p= (x, c1)则则),(dd1cxxy故得

3、故得21d),(cxcxye-mail: 例例3 3 解方程解方程 y+ y=x2 的通解的通解解解: :py则则2ppx 利用一阶非齐次线性微分方程求解方法，得利用一阶非齐次线性微分方程求解方法，得通解为：通解为：又又 解得通解为：解得通解为：3212123xyxxxc ec令令y=p, 则则（一阶线性方程）（一阶线性方程）2122xpxxc epye-mail: 例例4 4 解方程解方程(1+x2)y/2xy/=0满足初始条件满足初始条件 解：解：令y=p, 则221xppx （可分离变量）（可分离变量）221lnln(1)ln(1)pxcpycx由由y/|x=0=3 可得可得c1=3，则

4、，则y/=3(x2+1)两边积分得：两边积分得： y=x3+3x+c200|3|1xxyy的特解。py通解为：通解为：由由y|x=0=1 可得可得c2=1，则，则y=x3+3x+1e-mail: 3. 不显含不显含x型型：解法：解法： 令y=p, 有ddddddyypypyxy代入方程得代入方程得) ,(ddyyfyppy=f (y, y)这是一个关于这是一个关于p，y的一阶微分方程，的一阶微分方程，e-mail: 设其通解设其通解 p= (y, c1)则则),(dd1cyxy分离变量并积分得分离变量并积分得21d),(dcxxcyye-mail: 例例5 5 解方程 2yy+y2=0解解：设设y=p, 则则0dd22 pypyp分离变量有分离变量有yypp2dd积分得积分得1ln|ln21|lncyp故故ycp1e-mail: 即即ycxy1dd再分离变量再分离变量xcyydd1212332cxcy或或4323cxcy即即3243)(cxcye-mail: 练习：练习：解解：设设y=p, 则则11arctantan()pxcpxc22d11pdppdxdxp则则11tan()tan()dyypxcxcdx 111sin()tan()cos()xcdyxcdxdydxxc21(