多元复合函数和隐函数的求导法则

1、8.3 8.3 多元复合函数多元复合函数和隐函数和隐函数一、多元复合函数的求导法则一、多元复合函数的求导法则二、隐函数求导法则二、隐函数求导法则的求导法则的求导法则一、多元复合函数的求导法则一、多元复合函数的求导法则一元复合函数)(),(xuufy求导法则xuuyxyddddddxxufuufyd)()(d)(d微分法则)(),(ttfz定理定理. .若,)(, )(可导在点ttvtu),(vufz 处具有连续的偏导数，),(vu在点在点t可导, tvvztuuztzddddddz则复合函数且有链式法则vutt1.复合函数的中间变量为一元函数的情形(1)函数(2)证证: : 设t取增量t ,v

2、vzuuzz)()(22vu)(o则相应中间变量有增量u ,v ,0t令,0,0vu则有to)( ( 全导数公式全导数公式 ) )tvvztuuztzto)(zvutt)()(22vu )(o )()(22tvtu0(t0 时,根式前加“”号)tvtvtutudd,ddtvvztuuztzdddddd推广推广: :中间变量多于两个的情形. , ),(wvufz tzdd321fffzwvuttttuuzddtvvzddtwwzdd)(, )(, )(twtvtu例如,在相似条件下， 2.复合函数的中间变量为多元函数的情形定理定理. .若),(vufz 处具有连续的偏导数，),(vu在点在点(x

3、,y)的两个 则复合函数(1)函数(2)( , )( , )ux yvx y及都在点(x,y)具有对x及y的偏导数； ( , ),( , )zfx yx y偏导数都存在，且有链式法则xz1211ff2221ffyzxuuzxvvzyuuzyvvzzvuyxyx推广：( , ),( , ),( , ),( , , )ux y vx y wx y zf u v w在相似条件下，有xzyzxuuzxvvzyuuzyvvzxwwzywwz口诀口诀 : :分段用乘分段用乘, , 分叉用加分叉用加, , 单路全导单路全导, , 叉路偏导叉路偏导3.复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函数定理定理. .若

4、),(vufz 处具有连续的偏导数，),(vu在点在点(x,y)的两个 则复合函数(1)函数(2)( , )ux y在点(x,y)具有对x及 ( , ),( )zfx yy偏导数都存在，且有链式法则y的偏导数；( )vy在点y可导，xzxuuzzzuz dvyuyv dy,xfxuufxz .yfyuufyz 把把复复合合函函数数,),(yxyxfz 中中的的y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数两者的区别两者的区别区别类似区别类似对于( , , ),( , )zf u x y ux y例例1. 1. 设设,

5、sineyxvyxuvzu.,yzxz求解解:xzvusine)cos()sin(eyxyxyyxyz)cos()sin(eyxyxxyxvusinexuuzxvvzvucoseyuuzyvvzvucosey1 x1 zvuyxyx例例2.2.,sin,e),(2222yxzzyxfuzyxyuxu,求解解: :xu222e2zyxxyxyxyxx2422sin22e)sin21(2zyxyxuyu222e2zyxyyxyxyyxy2422sin4e)cossin(2xfxzzf222e2zyxzyfyzzf222e2zyxzyxsin2yx cos2例例3. 3. 设 ,sintvuz.dd

6、tzztvutttzddtvettttcos)sin(cosetuuzddtvvzddtz求全导数,etu ,costv 解解:tusintcos注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.例例4. 4. 设 f 具有二阶连续偏导数, ),(zyxzyxfw求.,2zxwxw 步骤：步骤： 1.必须设中间变量；令,zyxvzyxu),(vufw 则2.简化偏导数记号；以12, ff分别表示f(u,v)对第一个，第二个中间变量的偏导数，以12f表示f(u,v)先对第一个再对第二个中间变量的二阶导数；例例4. 4.

7、设 f 具有二阶连续偏导数, ),(zyxzyxfw求.,2zxwxw 步骤：步骤： 3.求2 wx z等二阶偏导数时，12, ff仍看作是x，y的函数，求再高阶偏导时，以此类推。为简便起见 , 引入记号,2121vuffuff ),(1zyxzyxf例例4. 4. 设 f 具有二阶连续偏导数, ),(zyxzyxfw求.,2zxwxw解解: : 令,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy则zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121 fyxf 2221,ff设函数),(, ),(, )

8、,(yxvyxuvufz的全微分为yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, )dd(yyuxxu)dd(yyvxxv则复合函数) (fz ),(, ),(yxyxudvzvd都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性. .4.全微分形式的不变性例例1 .,sineyxvyxuvzu.,yzxz求)cos()sin(e yxyxyx例例 5.5. 利用全微分形式不变性再解例1. 解解:) (dd zuvudsine)cos()sin(eyxyxyyx)cos()sin(eyx

9、yxyxzyx)cos()sin(eyxyxxyzyx所以vusinevvudcose)cos()sin(e yxyxyx)(dyx)(dyx )cos()sin(eyxyxxyx)d(dyx xdyd)dd(yxxy二、隐函数求导公式二、隐函数求导公式定理定理1.1. 设函数),(00yxp),(yxf;0),(00yxf则方程00),(xyxf在点单值连续函数 y = f (x) , )(00 xfy 并有连续yxffxydd(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：具有连续的偏导数;的某邻域内某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足0),(00yxfy满足条件导数000(

10、,)p xy0)(,(xfxf两边对 x 求导0ddxyyfxfyxffxydd0yf,0),()(所确定的隐函数为方程设yxfxfy在),(00yx的某邻域内则若f( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,22ddxy2yxxyyxxfffff3222yxyyyxyxyxxffffffffyxffxydd)(yxffy)(2yxyxyyyyxfffffff二阶导数 :)(yxffxxyxxydd则还可求隐函数的 例例6 6. 验证方程01esinyxyx在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数, )(xfy 0dd,0dd22xxyxxy解解: : 令, 1esin),(yxyyxfx;

11、0)0 , 0(f,eyfxx连续 ;由定理可知,1)0 , 0(yf,0, )(xfy 导的隐函数 则xyfy cos在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可且并求,eyfxxxyfy cos0ddxxy0 xffyx 1xy cosyxe0, 0yx0dd22xxy)cose(ddxyyxx3100yyx)e(yx)(cosxy )(eyx) 1sin(yy1, 0, 0yyx01sin),(yxeyyxfx2)cos( xy 0 xy30dd22xxy)(, 01esinxyyyxyxyycos两边对 x 求导1两边再对 x 求导yyyy cos)(sin2令x = 0 , 注意此时1,

12、0yy0e yxyyxxey0 yx)0 , 0(cosexyyx导数的另一求法导数的另一求法 方程两边对x求导也可利用全微分求解也可利用全微分求解定理定理2 2 . .若函数 ),(000zyxp),(zyxfzyzxffyzffxz,的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数 ;则方程0),(zyxf在点),(00yx并有连续偏导数, ),(000yxfz 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:满足;0),(000zyxf,0),(000zyxfz 在点满足:某一邻域内可唯一确0),(,(yxfyxf两边对 x 求偏导xfzxffxzzyffyz同样可得,0),(),(所确定的隐函数是方程设yxfyxfz则zfxz00),(000zfzyx的某邻域内在例例7 7. 设,04222zzyx解法解法1 1 方程两边对x求导0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)( 2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求再对 x 求导解法