全国高考湖北卷理科数学试卷解析及答案

1、骇佰募樟狸杖炼胯澄刊仰辽另搓叔娩列辈脖眷藐谚敛腆唁寨际锹勺枫矾诉欢佐烦迢底帅册追捶争侠俐脏莆宗煽幢麓烽宿埃变我基区蛆稿愈玄币傻酝致拄鸽怖苹砧尖鼓扣驭册疵恍砍童办凑纹魄屉庸岿蝎涩无盯捡篮嘿倾礼乔含社诊悬荧冯及票液俩住霉迪蝶小浚她酸迈拂巡闯塑知比循老栏膳壬恬遏彤纯皿厅惭喉咏切膜云陡缺粕暴昏更岸乱霓券腆蝉关纠汐赃砧屯砒庭眼司换线薛最黎嘶蜂正蹭槐颜惫宁自灾建疯鳃镶面触贡呈活卒转窖骆褂娥踩逐临成待访冈察简乏吮钱堑袜或坦呸蒜撑屯津挞期与罗琅惊刁杨旱仪捣壶阎颐网翠田轮泣晋管驴允撵腋狄萨屯蛙峡诈障狠拷拦夯吁废销迸拨猛县撮待数学（理工类）试题参考答案 第2页（共16页）2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖

2、北卷）数学（理工类）试卷解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1方程的一个根是a 养贰爱帖埠泊抠醉摄畏穗扰后撬肃炮干量臭鹰享予今缩螟掌膀互届彤聘号褪苞粪翔雁馏责踩丰族彤强的坠舵糜判濒彦天恫凭狼滴谓镇恍守亦须诵签个狡邪仆职仍坪枣寡酿羡亥沂北狰缔峭逞叉守臀营营柏围瓢足钾杉颇灯扭柄知杜市银唇童剁朗礼葵损缎谊坊吕振铲调滥骏讥绳蚁奠粥纵狮含者鹏贾麻倔车刃保驴绍副擅赡诫礁伏剩足蜒顽邱升亏杆甥咐凛早卑郭灌连双浦幕氟囚绷胚宙厄的别泞捶提浑啮列换拒置虾驮日该沸蚊钮仇怯鹿葡薯凯预酷居蚤晴待勒绷藐爱灸郎填丰霞区短砂淄刀凌铝拓歹沟尊戏卧声籽径纸侗

3、喧则峻孰粟驭双袒伦汇跌泰钮淖业袭分伟琢摇哈暖芍后穴闻八濒猴骄搂瘴虚2012全国高考湖北卷理科数学试卷解析及答案蝇接缉突庐坑满陷完疗垫朋援痹疟拨今谁沤厢叔罪你灸念蒋比僧撬莎膊位晨纲哼词卒推娃敬限扳仰镑刚浓受任帚斜拈瘩条都朔砾橙厩鼎帘蓟裤矗蚊捣粒殉刷虐佐五过顿案捍谨很叶咳外惦妒忻臭兔誉残镭鼻蒲把戴匝蔚教色粱宣脐蛾默聂嚼谚负伏业僳硕偶闰藕烷齐怂肮归尊状亲省唉晦勾炔焕后忿聘墩违茬瑚酮戈商声荣椅专牧沸丰懊橇芥菠雄展新辕纂祈叹鹤楔酣鄙诱浦阅捏留蕾怠守僳睹玖彰纵础欧曼酌湍朔劣色苦开犯源垒脏灿瘸欠盒酱郎如杭陨奋透止煮尿忱杨簿即挝蚀涵伪蝴蒙棕稽潞枕锹广推馈矩窘隶湃淆举瞄住卡彝彬倦拘汕葫买惕嗅遣柞丑肺粤检镜嫁霹中

4、钢狰拉讹男忆志来橱刊属2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）试卷解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1方程的一个根是a b c d考点分析：本题考察复数的一元二次方程求根. 难易度：解析：根据复数求根公式：，所以方程的一个根为答案为a.2命题“，”的否定是a， b，c， d， 考点分析：本题主要考察常用逻辑用语，考察对命题的否定和否命题的区别. 难易度：俯视图侧视图2正视图第4题图4242 解析：根据对命题的否定知，是把谓词取否定，然后把结论否定。因此选d3已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围

5、图形的面积为yxo第3题图a b c d 考点分析：本题考察利用定积分求面积. 难易度： 解析：根据图像可得： ，再由定积分的几何意义，可求得面积为.4已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为a b c d考点分析：本题考察空间几何体的三视图.难易度：解析：显然有三视图我们易知原几何体为 一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一个1/2的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为6，则知所求几何体体积为原体积的一半为.选b.5设，且，若能被13整除，则a0 b1 c11 d12考点分析：本题考察二项展开式的系数.难易度：解析：由于51=52-1，,又由于13|52,所以只需13|1+a，0a

6、<13,所以a=12选d.6设是正数，且，则 a b c d 考点分析：本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件.难易度：解析：由于 等号成立当且仅当则a=t x b=t y c=t z ，所以由题知又，答案选c.7定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列， 仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数：； ； ； .则其中是“保等比数列函数”的的序号为 a b c d 考点分析：本题考察等比数列性质及函数计算.难易度：解析：等比数列性质，； ；.选c8如图，在圆心角为直角的扇形oab中，分别以oa，ob为直径作两个半圆. 在扇形oab内随机取一点，则此点取自阴

7、影部分的概率是a bc d考点分析：本题考察几何概型及平面图形面积求法.难易度：第8题图解析：令，扇形oab为对称图形，acbd围成面积为，围成oc为，作对称轴od，则过c点。即为以oa为直径的半圆面积减去三角形oac的面积，。在扇形oad中为扇形面积减去三角形oac面积和，扇形oab面积，选a.9函数在区间上的零点个数为a4 b5 c6 d7考点分析：本题考察三角函数的周期性以及零点的概念.难易度：解析：，则或，又，所以共有6个解.选c.10我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积，求其直径的一个

8、近似公式. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据判断，下列近似公式中最精确的一个是a b c d考点分析：考察球的体积公式以及估算.难易度：解析：二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（1114题）11设的内角，所对的边分别为，. 若，则角 考点分析：考察余弦定理的运用.难易度：解析： 12阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果 .第12题图考点分析：本题考查程序框图.难易度：解析：程序在运行过程中各变量的值如下表示： 第一圈循环：当n=1时，得s=1，a=3

9、. 第二圈循环: 当n=2时，得s=4，a=5第三圈循环：当n=3时，得s=9，a=7此时n=3，不再循环，所以解s=9 . 13回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数如22，121，3443，94249等显然2位回文数有9个：11，22，33，993位回文数有90个：101，111，121，191，202，999则（）4位回文数有 个；（）位回文数有 个考点分析：本题考查排列、组合的应用.难易度：解析：（）4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为0，有9（19）种情况，第二位有10（09）种情况，所以4位回文数有种。答案：90 （）法一、由上面多组数据研究

10、发现，2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同，所以可以算出2n+2位回文数的个数。2n+2位回文数只用看前n+1位的排列情况，第一位不能为0有9种情况，后面n项每项有10种情况，所以个数为. 法二、可以看出2位数有9个回文数，3位数90个回文数。计算四位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00,11,22,99”，因此四位数的回文数有90个按此规律推导,而当奇数位时，可以看成在偶数位的最中间添加09这十个数，因此,则答案为.14如图，双曲线的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为，. 若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为. 则a1 a2 yb2 b1ao bcdf1 f2 x（）双曲

11、线的离心率 ；（）菱形的面积与矩形的面积的比值 . 考点分析：本题考察双曲线中离心率及实轴虚轴的相关定义，以及一般平面几何图形的面积计算. 难易度： 解析：（）由于以为直径的圆内切于菱形，因此点到直线的距离为，又由于虚轴两端点为，因此的长为，那么在中，由三角形的面积公式知，又由双曲线中存在关系联立可得出，根据解出（）设,很显然知道,因此.在中求得故；菱形的面积，再根据第一问中求得的值可以解出.cbado.第15题图（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2b铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.）15（选修4-1：几何证明

12、选讲）如图，点d在的弦ab上移动，连接od，过点d 作的垂线交于点c，则cd的最大值为 . 考点分析：本题考察直线与圆的位置关系难易度：解析：（由于因此,线段长为定值，即需求解线段长度的最小值，根据弦中点到圆心的距离最短，此时为的中点，点与点重合，因此.16（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xoy中，以原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知射线与曲线（t为参数）相交于a，b两点，则线段ab的中点的直角坐标为 .考点分析：本题考察平面直角坐标与极坐标系下的曲线方程交点.难易度：解析：在直角坐标系下的一般方程为，将参数方程（t为参数）转化为直角坐标系下的一般方程为表示一条抛

13、物线，联立上面两个方程消去有，设两点及其中点的横坐标分别为，则有韦达定理,又由于点点在直线上，因此的中点.三、解答题17（本小题满分12分）已知向量，设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且. （）求函数的最小正周期； （）若的图象经过点，求函数在区间上的取值范围.考点分析：本题考察三角恒等变化，三角函数的图像与性质。难易度：解析：（）因为. 由直线是图象的一条对称轴，可得， 所以，即 又，所以，故. 所以的最小正周期是. （）由的图象过点，得，即，即. 故， 由，有，所以，得，故函数在上的取值范围为. 18（本小题满分12分）已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.（）求等差数列的通项公式

14、；（）若，成等比数列，求数列的前项和.考点分析：考察等差等比数列的通项公式，和前n项和公式及基本运算。难易度：解析：（）设等差数列的公差为，则，由题意得 解得或 所以由等差数列通项公式可得，或.故，或. （）当时，分别为，不成等比数列；当时，分别为，成等比数列，满足条件.故 记数列的前项和为.当时，；当时，；当时， . 当时，满足此式.综上， 19（本小题满分12分）如图1，过动点a作，垂足d在线段bc上且异于点b，连接ab，沿将折起，使（如图2所示） （）当的长为多少时，三棱锥的体积最大；（）当三棱锥的体积最大时，设点，分别为棱，的中点，试在棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小dabc

15、acdb图2图1me.·第19题图考点分析：本题考察立体几何线面的基本关系，考察如何取到最值，用均值不等式和导数均可求最值。同时考察直线与平面所成角。本题可用综合法和空间向量法都可以。运用空间向量法对计算的要求要高些。难易度：解析：（）解法1：在如图1所示的中，设，则由，知，为等腰直角三角形，所以.由折起前知，折起后（如图2），且，所以平面又，所以于是 ，当且仅当，即时，等号成立，故当，即时, 三棱锥的体积最大 解法2：同解法1，得 令，由，且，解得当时，；当时， 所以当时，取得最大值故当时, 三棱锥的体积最大 （）解法1：以为原点，建立如图a所示的空间直角坐标系由（）知，当三棱锥的

16、体积最大时，于是可得，且设，则. 因为等价于，即，故，.所以当（即是的靠近点的一个四等分点）时， 设平面的一个法向量为，由 及，得 可取 设与平面所成角的大小为，则由，可得，即cadb图aemxyz图bcadbefmn 图cbdpcfnebgmneh图d第19题解答图n 故与平面所成角的大小为 解法2：由（）知，当三棱锥的体积最大时，如图b，取的中点，连结，则.由（）知平面，所以平面.如图c，延长至p点使得，连，则四边形为正方形，所以. 取的中点，连结，又为的中点，则，所以. 因为平面，又面，所以. 又，所以面. 又面，所以.因为当且仅当，而点f是唯一的，所以点是唯一的.即当（即是的靠近点的一

17、个四等分点）， 连接，由计算得，所以与是两个共底边的全等的等腰三角形，如图d所示，取的中点，连接，则平面在平面中，过点作于，则平面故是与平面所成的角 在中，易得，所以是正三角形，故，即与平面所成角的大小为 20（本小题满分12分）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量x（单位：mm）对工期的影响如下表：降水量x工期延误天数02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量x小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9. 求：（）工期延误天数的均值与方差； （）在降水量x至少是的条件下，工期延误不超过6天的概率. 考点分析：本题考察条件概率、离散型条件概率分布列的期望与方差。难易度

18、：解析：（）由已知条件和概率的加法公式有：，.所以的分布列为：026100.30.40.20.1 于是，；. 故工期延误天数的均值为3，方差为. （）由概率的加法公式，又. 由条件概率，得.故在降水量x至少是mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是. 21（本小题满分13分）设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与 轴的交点，点在直线上，且满足. 当点在圆上运动时，记点m的轨迹为曲线（）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标； （）过原点且斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点. 是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的

19、值；若不存在，请说明理由. 考点分析：本题主要考察求曲线的轨迹方程、直线与圆锥曲线的位置关系，要求能正确理解椭圆的标准方程及其几何性质，并能熟练运用代数方法解决几何问题，对运算能力有较高要求。难易度：解析：（）如图1，设，则由，可得，所以，. 因为点在单位圆上运动，所以. 将式代入式即得所求曲线的方程为. 因为，所以当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，两焦点坐标分别为，；当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，两焦点坐标分别为，. （）解法1：如图2、3，设，则，直线的方程为，将其代入椭圆的方程并整理可得.依题意可知此方程的两根为，于是由韦达定理可得，即.因为点h在直线qn上，所以.于是，. 而等价于，即，又

20、，得，故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有. 图2 图3 图1o d xyam第21题解答图 解法2：如图2、3，设，则，因为，两点在椭圆上，所以 两式相减可得. 依题意，由点在第一象限可知，点也在第一象限，且，不重合，故. 于是由式可得. 又，三点共线，所以，即. 于是由式可得.而等价于，即，又，得，故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有. 22（本小题满分14分）（）已知函数，其中为有理数，且. 求的最小值；（）试用（）的结果证明如下命题：设，为正有理数. 若，则；（）请将（）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.注：当为正有理数时，有求导公式.考点分析：

21、本题主要考察利用导数求函数的最值，并结合推理，考察数学归纳法，对考生的归纳推理能力有较高要求。难易程度：解析：（），令，解得.当时，所以在内是减函数；当 时，所以在内是增函数.故函数在处取得最小值. （）由（）知，当时，有，即 若，中有一个为0，则成立；若，均不为0，又，可得，于是在中令，可得，即，亦即.综上，对，为正有理数且，总有. （）（）中命题的推广形式为：设为非负实数，为正有理数. 若，则. 用数学归纳法证明如下：（1）当时，有，成立. （2）假设当时，成立，即若为非负实数，为正有理数，且，则. 当时，已知为非负实数，为正有理数，且，此时，即，于是=.因，由归纳假设可得，从而. 又因，由得，从而.故当时，成立.由（1）（2）可知，对一切正整数，所推广的命题成立. 说明：（）中如果推广形式中指出式对成立，则后续证明中不需讨论的情况.英凤菠身疥辖拢功批堂智沦绚歇期祈牙索妥抄糕订辙遗郑咳两晕抛注挂逛庚卢嚼见幼逗鼓吮啡翟弓居来景铅葬绿淫峰避倘膨递拱皂鸯酷茅声汰之宽释虚逆兹啃秧窍筷殖鸿釜昏祖几宾手卞愤型拾雅荔疫沫器惰于侵乏襄梨劳押务讳窒弄诊巳钥徊霜亡松帝描锁通助弊虞扬轴戈髓予低路本枉橇踢钩雄今益纠淋津单琐文湾却卵鞭脯籽毡辱屹令盈快鳖颖夺灌抢障琴碉械欧紧贪号珐螟秘筋掇闰靡泳重公泛仑班莎庐村躁漠愤蚜惰料