人教A版数学必修二教案：167;2.3.4平面与平面垂直的性质

1、人教版高中数学必修精品教学资料§2.3.4 平面与平面垂直的性质一、教材分析 空间中平面与平面之间的位置关系中,垂直是一种非常重要的位置关系,它不仅应用较多,而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面垂直的性质定理具备以下两个特点：（1）它是立体几何中最难、最“高级”的定理.(2)它往往又是一个复杂问题的开端,即先由面面垂直转化为线面垂直,否则无法解决问题.因此,面面垂直的性质定理是立体几何中最重要的定理.二、教学目标1知识与技能（1）使学生掌握平面与平面垂直的性质定理；（2）能运用性质定理解决一些简单问题；（3）了解平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互关系. 2过程与方法（

2、1）让学生在观察物体模型的基础上,进行操作确认,获得对性质定理正确性的认识； 3情感、态度与价值观通过“直观感知、操作确认、推理证明”,培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力.三、教学重点与难点教学重点:平面与平面垂直的性质定理.教学难点:平面与平面性质定理的应用.四、课时安排1课时五、教学设计（一）复习（1）面面垂直的定义.如果两个相交平面所成的二面角为直二面角,那么这两个平面互相垂直.（2）面面垂直的判定定理.两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.两个平面垂直的判定定理符号表述为：.两个平面垂直的判定定理图形表述为：图1（二）导入新课

3、思路1.(情境导入)黑板所在平面与地面所在平面垂直,你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？思路2.(事例导入)如图2,长方体abcdabcd中,平面aadd与平面abcd垂直,直线aa垂直于其交线ad.平面aadd内的直线aa与平面abcd垂直吗？图2（二）推进新课、新知探究、提出问题如图3,若,=cd,ab,abcd,abcd=b.请同学们讨论直线ab与平面的位置关系.图3用三种语言描述平面与平面垂直的性质定理,并给出证明.设平面平面,点p,pa,a,请同学们讨论直线a与平面的关系.分析平面与平面垂直的性质定理的特点,讨论应用定理的难点.总结应用面面垂直的性质定理的口诀.活动:问题引导学生作图

4、或借助模型探究得出直线ab与平面的关系.问题引导学生进行语言转换.问题引导学生作图或借助模型探究得出直线a与平面的关系.问题引导学生回忆立体几何的核心,以及平面与平面垂直的性质定理的特点.问题引导学生找出应用平面与平面垂直的性质定理的口诀.讨论结果：通过学生作图或借助模型探究得出直线ab与平面垂直,如图3.两个平面垂直的性质定理用文字语言描述为：如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面.两个平面垂直的性质定理用图形语言描述为：如图4.图4两个平面垂直的性质定理用符号语言描述为：ab.两个平面垂直的性质定理证明过程如下：图5如图5,已知,=a,ab,aba于b.求证：

5、ab.证明：在平面内作becd垂足为b,则abe就是二面角cd的平面角.由,可知abbe.又abcd,be与cd是内两条相交直线,ab.问题也是阐述面面垂直的性质,变为文字叙述为：求证：如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内.下面给出证明.如图6,已知,p,pa,a.求证：a.图6证明：设=c,过点p在平面内作直线bc,b.而a,pa,经过一点只能有一条直线与平面垂直,直线a应与直线b重合.那么a. 利用“同一法”证明问题,主要是在按一般途径不易完成问题的情形下所采用的一种数学方法,这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线b,不易想到,二是证明直

6、线b和直线a重合,相对容易些.点p的位置由投影所给的图及证明过程可知,可以在交线上,也可以不在交线上. 我认为立体几何的核心是：直线与平面垂直,因为立体几何的几乎所有问题都是围绕它展开的,例如它不仅是线线垂直与面面垂直相互转化的桥梁,而且由它还可以转化为线线平行,即使作线面角和二面角的平面角也离不开它.两个平面垂直的性质定理的特点就是帮我们找平面的垂线,因此它是立体几何中最重要的定理. 应用面面垂直的性质定理口诀是：“见到面面垂直,立即在一个平面内作交线的垂线”.（四）应用示例思路1例1 如图7,已知,a,a,试判断直线a与平面的位置关系.图7解:在内作垂直于与交线的垂线b,b.a,ab.a,

7、a.变式训练 如图8,已知平面交平面于直线a.、同垂直于平面,又同平行于直线b.求证：(1)a；(2)b. 图8 图9证明：如图9,(1)设=ab,=ac.在内任取一点p并在内作直线pmab,pnac.,pm.而a,pma.同理,pna.又pm,pn,a.(2)在a上任取点q,过b与q作一平面交于直线a1,交于直线a2.b,ba1.同理,ba2.a1、a2同过q且平行于b,a1、a2重合.又a1,a2,a1、a2都是、的交线,即都重合于a.ba1,ba.而a,b.点评：面面垂直的性质定理作用是把面面垂直转化为线面垂直,见到面面垂直首先考虑利用性质定理,其口诀是：“见到面面垂直,立即在一个平面内

8、作交线的垂线”.例2 如图10,四棱锥pabcd的底面是ab=2,bc=的矩形,侧面pab是等边三角形,且侧面pab底面abcd. 图10 图11（1）证明侧面pab侧面pbc；（2）求侧棱pc与底面abcd所成的角；（3）求直线ab与平面pcd的距离.（1）证明：在矩形abcd中,bcab,又面pab底面abcd,侧面pab底面abcd=ab,bc侧面pab.又bc侧面pbc,侧面pab侧面pbc.（2）解：如图11,取ab中点e,连接pe、ce,又pab是等边三角形,peab.又侧面pab底面abcd,pe面abcd.pce为侧棱pc与底面abcd所成角.pe=ba=,ce=,在rtpec

9、中,pce=45°为所求.（3）解：在矩形abcd中,abcd,cd侧面pcd,ab侧面pcd,ab侧面pcd.取cd中点f,连接ef、pf,则efab.又peab,ab平面pef.又abcd,cd平面pef.平面pcd平面pef.作egpf,垂足为g,则eg平面pcd.在rtpef中,eg=为所求.变式训练如图12,斜三棱柱abca1b1c1的棱长都是a,侧棱与底面成60°角,侧面bcc1b1面abc.求平面ab1c1与底面abc所成二面角的大小.图12活动:请同学考虑面bb1c1c面abc及棱长相等两个条件,师生共同完成表述过程,并作出相应辅助线.解：面abc面a1b1

10、c1,则面bb1c1c面abc=bc,面bb1c1c面a1b1c1=b1c1,bcb1c1,则b1c1面abc.设所求两面交线为ae,即二面角的棱为ae,则b1c1ae,即bcae.过c1作c1dbc于d,面bb1c1c面abc,c1d面abc,c1dbc.又c1cd=60°,cc1=a,故cd=,即d为bc的中点.又abc是等边三角形,bcad.那么有bc面dac1,即ae面dac1.故aead,aeac1,c1ad就是所求二面角的平面角.c1d=a,ad=a,c1dad,故c1ad=45°.点评:利用平面与平面垂直的性质定理,找出平面的垂线是解决问题的关键.思路2例1

11、如图13,把等腰直角三角形abc沿斜边ab旋转至abd的位置,使cd=ac,图13（1）求证：平面abd平面abc；（2）求二面角cbda的余弦值.（1）证明：(证法一):由题设,知ad=cd=bd,作do平面abc,o为垂足,则oa=ob=oc.o是abc的外心,即ab的中点.oab,即o平面abd.od平面abd.平面abd平面abc.(证法二):取ab中点o,连接od、oc,则有odab,ocab,即cod是二面角cabd的平面角.设ac=a,则oc=od=,又cd=ad=ac,cd=a.cod是直角三角形,即cod=90°.二面角是直二面角,即平面abd平面abc.（2）解:

12、取bd的中点e,连接ce、oe、oc,bcd为正三角形,cebd.又bod为等腰直角三角形,oebd.oec为二面角cbda的平面角.同（1）可证oc平面abd,ocoe.coe为直角三角形.设bc=a,则ce=a,oe=a,cosoec=即为所求.变式训练 如图14,在矩形abcd中,ab=33,bc=3,沿对角线bd把bcd折起,使c移到c,且c在面abc内的射影o恰好落在ab上.图14（1）求证：acbc；（2）求ab与平面bcd所成的角的正弦值；（3）求二面角cbda的正切值.（1）证明：由题意,知co面abd,coabc,面abc面abd.又adab,面abc面abd=ab,ad面a

13、bc.adbc.bccd,bc面acd.bcac.(2)解:bc面acd,bc面bcd,面acd面bcd.作ahcd于h,则ah面bcd,连接bh,则bh为ab在面bcd上的射影,abh为ab与面bcd所成的角.又在rtacd中,cd=33,ad=3,ac=3.ah=.sinabh=,即ab与平面bcd所成角的正弦值为.(3)解:过o作ogbd于g,连接cg,则cgbd,则cgo为二面角cbda的平面角.在rtacb中,co=,在rtbcd中,cg=.og=.tancgo=,即二面角cbda的正切值为.点评:直线与平面垂直是立体几何的核心,它是证明垂直问题和求二面角的基础,因此利用平面与平面垂

14、直的性质定理找出平面的垂线,就显得非常重要了.例2 如图15,三棱柱abca1b1c1中,bac=90°,ab=bb1=1,直线b1c与平面abc成30°角,求二面角bb1ca的正弦值.图15活动:可以知道,平面abc与平面bcc1b1垂直,故可由面面垂直的性质来寻找从一个半平面到另一个半平面的垂线.解：由直三棱柱性质得平面abc平面bcc1b1,过a作an平面bcc1b1,垂足为n,则an平面bcc1b1（an即为我们要找的垂线）,在平面bcb1内过n作nq棱b1c,垂足为q,连接qa,则nqa即为二面角的平面角.ab1在平面abc内的射影为ab,caab,cab1a.a

15、b=bb1=1,得ab1=.直线b1c与平面abc成30°角,b1cb=30°,b1c=2.在rtb1ac中,由勾股定理,得ac=.aq=1.在rtbac中,ab=1,ac=,得an=.sinaqn=,即二面角bb1ca的正弦值为.变式训练 如图16,边长为2的等边pcd所在的平面垂直于矩形abcd所在的平面,bc=2,m为bc的中点.(1)证明：ampm；(2)求二面角pamd的大小. 图16 图17(1)证明：如图17,取cd的中点e,连接pe、em、ea,pcd为正三角形,pecd,pe=pdsinpde=2sin60°=.平面pcd平面abcd,pe平面a

16、bcd.四边形abcd是矩形,ade、ecm、abm均为直角三角形.由勾股定理可求得em=,am=,ae=3,em2+am2=ae2.amem.又em是pm在平面abcd上的射影,ame=90°.ampm.(2)解:由(1)可知emam,pmam,pme是二面角pamd的平面角.tanpme=1.pme=45°.二面角pamd为45°.（五）知能训练课本本节练习.（六）拓展提升(2007全国高考,理18)如图18,在三棱锥sabc中,侧面sab与侧面sac均为等边三角形,bac=90°,o为bc中点.(1)证明so平面abc;(2)求二面角ascb的余弦值. 图18 图19(1)证明：如图19,由题设,知ab=ac=sb=sc=sa.连接oa,abc为等腰直角三角形,所以oa=ob=oc=sa,且aobc.又sbc为等腰三角形,故sobc,且so=sa.从而oa2+so2=sa2.所以soa为直角三角形,soao.又aobc=o,所以so