不定积分的概念与性质52877

1、上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technology4.1 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质 上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technology一、原函数与不定积分的概念v原函数的概念 如果在区间i上, 可导函数f(x)的导函数为f(x), 即对任一xi, 都有f (x)f(x)或df(x)f(x)dx, 那么函数f(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间i上的原函数. 原函数举例所以sin x是cos x的原函数. 因为(sin x)cos x

2、, 提问：cos x 和x21还有其它原函数吗？ 因为xx21)(, 所以xx21)(, 所以x是x21的原函数. 上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technologyv原函数存在定理 如果函数f(x)在区间i上连续, 那么在区间i上存在可导函数f(x), 使对任一xi 都有f (x)f(x). 简单地说就是: 连续函数一定有原函数. 两点说明： 1. 如果函数f(x)在区间i上有原函数f(x), 那么f(x)就有无限多个原函数, f(x)c都是f(x)的原函数, 其中c是任意常数. 2. 函数 f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果(

3、x)和f(x)都是f(x)的原函数, 则(x)f(x)c (c为某个常数). 上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technology不定积分中各部分的名称： - 称为积分号, f(x) - 称为被积函数, f(x)dx - 称为被积表达式, x - 称为积分变量. v不定积分的概念 在区间i上, 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx )在区间i上的不定积分, 记作 dxxf)(. 上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technology根据定义, 如果f(x)是f(x)在区间i上的

4、一个原函数, 那么f(x)c就是f(x)的不定积分, 即 在区间i上, 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx )在区间i上的不定积分, 记作 v不定积分的概念dxxf)(. cxfdxxf)()(. 上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technology 例1 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以 如果f(x)是f(x)的一个原函数, 则因为x是x21的原函数, 所以cxfdxxf)()(. cxxdxsincos. cxdxx21. 上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical

5、technology 求函数xxf1)(的不定积分. 例2 合并上面两式, 得到 解 如果f(x)是f(x)的一个原函数, 则解：当 x0 时, (ln x)x1, cxfdxxf)()(. cxdxxln 1(x0) 当 x0 时, ln(x)xx1) 1(1, cxdxx)ln( 1(x0). cxdxx|ln 1(x0). 上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technology 因为 例3一曲线通过点(e2, 3), 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数, 求该曲线的方程. 解 设所求的曲线方程为yf(x), 则曲线上任一点(x, y)

6、处的切线斜率为 , 即f(x)是 的一个原函数.xxfy1)(x1cxdxxy|ln1故必有某个常数c使f(x) c, 即曲线方程为y c. 因所求曲线通过点(e2, 3), 故3f(e 2)ln|e 2|c2c , c321 . 于是所求曲线方程为yln|x|1 . |ln x|ln x上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technology 函数f(x)的积分曲线也有无限多. 函数f(x)的不定积分表示f(x)的一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲线的斜率.积分曲线 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线. 2x的积分曲线上页 下页 返回

7、退出 jlin institute of chemical technologyv微分与积分的关系 从不定积分的定义可知又由于f(x)是f (x)的原函数, 所以 由此可见, 如果不计任意常数, 则微分运算与求不定积分的运算是互逆的. )()(xfdxxfdxd, 或)()(xfdxxfdxd 或dxxfdxxfd)()( cxfdxxf)()(, 或记作 或记作cxfxdf)()(. 上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technology二、基本积分表(1)ckxkdx(2)cxdxx111(3)cxdxx|ln1(4)cedxexx(5)caad

8、xaxxln(6)cxxdxsincos(7)cxxdxcossin(8)cxxdxtansec2(9)cxxdxcotcsc2(10)cxdxxarctan112(11)cxdxxarcsin112(12)cxxdxxsectansec(13)cxdxxcsccotcsc(14)cxdxxch sh (15)cxdxxsh ch ckxkdx(k 是常数), cxdxx111, cxdxx|ln1, cedxexx, caadxaxxln, cxxdxsincos, cxxdxcossin, cxxdxtansec2, cxxdxcotcsc2, cxdxxarctan112, cxdxxa

9、rcsin112, cxxdxxsectansec, cxdxxcsccotcsc, cxdxxch sh , cxdxxsh ch . 上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technology 例5 例4 例6 (2)cxdxx111, dxx21dxx2cxcx112112dxxdxxx3732cxxcx331371031371dxxdxxmnmncxmnmcxmnmnmmn111上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technology三、不定积分的性质 这是因为, f(x)g(x). v性质1 下页dxx

10、gdxxfdxxgxf)()()()(. )()()()(dxxgdxxfdxxgdxxf)()()()(dxxgdxxfdxxgdxxf上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technology三、不定积分的性质v性质1 v性质2 例7 例8 dxxgdxxfdxxgxf)()()()(. dxxfkdxxkf)()(k 是常数, k 0). 例 8 dxxxxdxxxxxdxxx)133(133) 1(222323cxxxxdxxdxxdxdxx1|ln3321113322dxxxxdxxxxxdxxx)133(133) 1(222323dxxxxd

11、xxxxxdxxx)133(133) 1(222323 cxxxxdxxdxxdxdxx1|ln3321113322. dxxx)23(2dxdxxdxx232cxxx2233123上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technology 例10 三、不定积分的性质v性质1 v性质2 例9 例11 dxxgdxxfdxxgxf)()()()(. dxxfkdxxkf)()(k 是常数, k 0). 例 10 ceceedxedxexxxxxx2ln12)2ln()2()2(2ceceedxedxexxxxxx2ln12)2ln()2()2(2cecee

12、dxedxexxxxxx2ln12)2ln()2()2(2ceceedxedxexxxxxx2ln12)2ln()2()2(2. dxxx221cxxdxxdxxxarctan)111 (111222dxxex)32(dxxdxex132cxex|ln32上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technology 例12 例13 tan xxc. 例14 例15 积分表例 12 dxxxxdxxxdxxx222242411) 1)(1(1111dxxdxdxxdxxx222211)111(cxxxarctan313. 例 13 dxxdxdxxdxx222sec) 1(sectandxxxxdxxxdxxx222242411) 1)(1(1111dxxxxdxxxdxxx222242411) 1)(1(1111 dxxdxdxxdxxx222211)111( dxxdxdxxdxx222sec) 1(sectandxxdxdxxdxx222sec) 1(sectan dxx2cos2dxx