不定积分的概念和性质53170

1、上一页下一页不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表二、基本积分表三、不定积分的性质及直接积分法三、不定积分的性质及直接积分法定义定义1 设函数设函数 f (x) 与与 f(x) 在区间在区间i上有定义，若上有定义，若 则称则称f(x)为为f(x) 在区间在区间i上的一个上的一个原函数原函数原函数举例原函数举例因为因为(sin x)cos x , 所以所以sin x是是cos x的一个原函数的一个原函数. . 上一页下一页一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念因为因为xx21)(, 所以所以x是是x21的一个原函数

2、的一个原函数. . . f (x) f( x) , xi提问：提问： （1 1）什么条件下，一个函数的原函数存在？什么条件下，一个函数的原函数存在？ （2 2）如果如果 f (x) 有原函数，一共有多少个？有原函数，一共有多少个？u几点说明：几点说明： 1原函数存在定理：原函数存在定理：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数. 2若若f(x) = f (x)，则对任意常数则对任意常数c， f(x)+c 都是都是f (x)的原函数的原函数. 如如 (sin x) cos x , 则则 (sin x+c) cos x . 所以所以原函数的个数有无穷多个原函数的个数有无穷多个且且 任意两个原函数之

3、间任意两个原函数之间相差一个常数！相差一个常数！证明：证明：(g(x) f(x) = g (x) f (x) = f (x) f (x) = 0 所所 以以 g(x) f(x) = c ( c为常数为常数)上一页下一页 定义定义2 2 f (x)在区间在区间i上上全体原函数全体原函数成为成为 f (x)在在 i上的不定上的不定积分积分. 记作记作 dxxf)(. 其中其中f (x)叫叫被积函数被积函数，f (x)dx 叫做叫做被积表达式被积表达式，x 叫做叫做积分变量积分变量，记号，记号 “ ” 叫做叫做积分号积分号. 根据定义根据定义, , 如果如果f(x)是是f(x)在区间在区间i上的一个

4、上的一个原函数原函数, , 那么那么f(x) c就是就是f (x)的的不定积分不定积分, , 即即cxfdxxf)()(. l 结论结论：求：求f (x)的不定积分只要求它的一个原函数的不定积分只要求它的一个原函数f(x)再加任意常数再加任意常数c.上一页下一页 如果如果f(x)是是f(x)的一个原函数的一个原函数, , 则则 cxfdxxf)()(. 例例1 1 求求4.x dx解：54().5xx545xx dxc上一页下一页 如果如果f(x)是是f(x)的一个原函数的一个原函数, , 则则cxfdxxf)()(. 例 2. 求函数xxf1)(的不定积分. 例例2 2 解 ： 解：当 x0

5、 时, (ln x)x1, cxdxxln 1(x0) 当 x0 时, ln(x)xx1) 1(1, cxdxx)ln( 1(x0). 合并得：cxdxx|ln 1(x0). 上一页下一页v不定积分的几何意义不定积分的几何意义2x的积分曲线 若若f(x)是是f (x)的一个原函数，的一个原函数，则称则称f(x)的图形为的图形为f (x)的一条积分的一条积分曲线，曲线， f(x)+c的图形是由的图形是由f(x)的图的图形沿形沿 y 轴平移轴平移c(任意的）所得任意的）所得积分曲线组成的曲线轴积分曲线组成的曲线轴. 如图如图f (x)=2x的积分曲线图的积分曲线图 函数函数f (x)的不定积分在几

6、何上表示的不定积分在几何上表示f (x)的全部积的全部积分曲线所组成的平行曲线族分曲线所组成的平行曲线族结论：结论：上一页下一页(1)ckxkdxckxkdx(k 是常数), (2)cxdxx111cxdxx111, (3)cxdxx|ln1cxdxx|ln1, cxdxxarctan112, 2(4)1dxx(1) (5)caadxaxxlncaadxaxxln, (6)cxxdxsincoscxxdxsincos, (7)cxxdxcossincxxdxcossin, (8)cxxdxtansec2cxxdxtansec2, (9)cxxdxcotcsc2cxxdxcotcsc2, (13

7、)cxdxxcsccotcsccxdxxcsccotcsc, (12)cxxdxxsectansec(10)xe dx,xeccxxdxxsectansec, 2(11)1dxxarcsin,xc上一页下一页二、基本积分表二、基本积分表(2)cxdxx111, lnxxaa dxca解解例例4例例3求求例 6 dxxxxdx343cx134134cx313cx33解解例 6 dxxxxdx343cx134134cx313cx33dxxxxdx343cx134134cx313cx33dxxxxdx343cx134134cx313cx33dxxxxdx343cx134134cx313cx33dxx

8、xxdx343cx134134cx313cx33. 求求10 xdx10 xdx10ln10 xc上一页下一页v性质性质1 1 1( )f x( )d f x dx或( )f x dx( )df x或( ).f xcv性质性质2(2(线性性质线性性质) ) ( )kf x dx( )k f x dx2( )f x dx( )f xc( k为常数为常数 k0） ( )( )( )f xg xx dx( )( )( )f x dxg x dxx dx上一页下一页三、不定积分的性质三、不定积分的性质1*2*dxxf)(例例5求求例 14 dxxdxxdxx)cos1 (212cos1 2sin2解解

9、例 14 dxxdxxdxx)cos1 (212cos1 2sin2dxxdxxdxx)cos1 (212cos1 2sin2dxxdxxdxx)cos1 (212cos1 2sin2 cxx)sin(21. 上一页下一页练习练习 )sin()1(3xdxxxdxx sin3xx sin3 )sin()2(3xdxxd dxxx)sin()3(3 )sin()4(3xxdcxx sin3cxx sin3例例6求求21(2)4xxee dxx解解21(2)4xxee dxx2(2 )4xdxe dxe dxx21(2 )ln4ln2xee xxce例例7求421xdxx解解421xdxx421 11xdxx 2222(1)(1)11xxdxdxxx22(1)1dxxdxx3arctan3xxxc例例8求不定积分求不定积分11 cos2dxx解解11 cos2dxx2112cos1dxx2112cosdxx1tan2xc注：以上几例被积函数都需进行恒等变形才能使注：以上几例被积函数都需进行恒等变形才能使用基本积分表计算用基本积分表计算.上一页下一页直接积分法直接积分法 可用基本积分表计