二重积分的概念和性质11328

1、9.1 9.1 二重积分的概念和性质二重积分的概念和性质 在一元函数积分学中，我们已经知道，定积分是在一元函数积分学中，我们已经知道，定积分是定义在某一区间上的一元函数的某种特定形式的和式定义在某一区间上的一元函数的某种特定形式的和式的极限，由于科学技术和生产实践的发展，需要计算的极限，由于科学技术和生产实践的发展，需要计算空间形体的体积、曲面的面积、空间物体的质量、重空间形体的体积、曲面的面积、空间物体的质量、重心、转动惯量等，定积分已经不能解决这类问题，另心、转动惯量等，定积分已经不能解决这类问题，另一方面，从数学逻辑思维的规律出发，必然会考虑定一方面，从数学逻辑思维的规律出发，必然会考虑

2、定积分概念的推广，从而提出了多元函数的积分学问题积分概念的推广，从而提出了多元函数的积分学问题 具体地说就是推广到：定义在平面区域上的二元具体地说就是推广到：定义在平面区域上的二元函数、定义在空间区域上的三元函数、定义在一段平函数、定义在空间区域上的三元函数、定义在一段平面曲线弧上的二元函数、定义在空间一段曲线弧上的面曲线弧上的二元函数、定义在空间一段曲线弧上的三元函数、定义在空间曲面上的三元函数，从而得到三元函数、定义在空间曲面上的三元函数，从而得到二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分。这就是二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分。这就是多元函数积分学的内容。多元函数积分学的内容。 . .

3、曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积: :以以xo oy面上有界闭区面上有界闭区域域d d为底，侧面是以为底，侧面是以d d为边界曲为边界曲线而母线平行于线而母线平行于z z轴的柱面轴的柱面, ,顶顶是曲面是曲面z=z=f( (x, ,y)(0)d)(0)d的立体的立体. .doz=f(x,y)xyziiinifv),(lim10柱体体积柱体体积=底面积底面积高高特点特点：平顶：平顶.曲顶柱体体积曲顶柱体体积=？doz=f(x,y)ixyz(i,i)求平面薄片的质量求平面薄片的质量 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域d，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(

4、yx ，假假定定),(yx 在在d上上连连续续，平平面面薄薄片片的的质质量量为为多多少少？将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片， 所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量xyo),(iii.),(lim10iiniim 3二重积分的概念二重积分的概念定义定义 设设),(yxf是有界闭区域是有界闭区域d上的有界函上的有界函数，将闭区域数，将闭区域d任意分成任意分成n个小闭区域个小闭区域1 ，,2 ，n ，其中，其中i 表示第表示第i个小闭区域，个小闭区域，也表 示它 的 面积 ， 在每 个也表

5、示它 的 面积 ， 在每 个i 上 任取 一点上 任取 一点),(ii ，作乘积作乘积 ),(iif i ， ), 2 , 1(ni ，并作和并作和 iiniif ),(1，如果当各小闭区域的直径中的最大值如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数时，这和式的极限存在，则称此极限为函数),(yxf在闭区域在闭区域 d d 上的上的二重积分二重积分，记为记为 ddyxf ),(，即即 ddyxf ),(iiniif ),(lim10. . 1. 1.若若f( (x, ,y) )在在闭区域闭区域d d上连续，则上连续，则f( (x, ,y) )在在d

6、d上可积上可积. .dyxfvd),( 2.2.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积: :dyxmd),(平面薄片的密度平面薄片的密度: :3.3.几何意义几何意义: : vdyxfd),(1)1)f( (x, ,y) ) 0,0,vdyxfd),( 2) 2) f( (x, ,y) ) 0,0,3) 3) 一般一般: :表示位于表示位于xoyxoy面上方及下方面上方及下方曲顶柱体曲顶柱体体积的代数和体积的代数和. .由二重积分的定义可知由二重积分的定义可知 若二重积分若二重积分 niiiidofdyxf1),(),(lim 存在存在则其值与区域的分法和小区域上点的取法无关，则其值与区域的分法和小区域

7、上点的取法无关，故可采用一种便于计算的划分方式故可采用一种便于计算的划分方式 在直角坐标系下，用平行于坐标轴的直线族把在直角坐标系下，用平行于坐标轴的直线族把d分成一些小区域，这些小区域中除去靠分成一些小区域，这些小区域中除去靠d的边界的边界的一些不规则小区域外，绝大部分都是小矩形，的一些不规则小区域外，绝大部分都是小矩形，则面积元素为则面积元素为dxdyd kjiyx 4. 4. d d -面积元素面积元素, , 在直角坐标系中在直角坐标系中: :d d =d=dxd dy故二重积分可写为故二重积分可写为 dddxdyyxfdyxf),(),(dddyxfkdyxkf),(),(性质性质1.

8、1dddd, 1),(yxf性质性质4.)(.),(),(),(2121ddddyxfdyxfdyxfddd性质性质3.(区域可加性区域可加性)ddddyxgdyxfdyxgyxf.),(),(),(),(性质性质2.性质性质6.6.设设m、m分别是在分别是在f(x,y)闭区域闭区域d d上的最大值和最上的最大值和最 小值小值, ,则有则有 dmdyxfm.),(性质性质5.5. 在在d d上上 则有不等式则有不等式 ),(),(yxyxf.),(),(dyxdyxfdddyxfdyxf),(),(特殊地特殊地, ,有有dfdyxf),(),(性质性质7 7. .( (设设f(x,y)在闭区域

9、在闭区域d d上连续，上连续， 是是d d的面积的面积, ,则在则在d d上至少存在一点上至少存在一点( ( , , ),),使得使得 例例 1 1 不不作作计计算算，估估计计 deidyx )(22的的值值， 其其中中d是是椭椭圆圆闭闭区区域域： 12222 byax )0(ab .解解区区域域 d的的面面积积 , ab在在d上上 2220ayx ,12220ayxeee 由由性性质质 6 知知,222)(adyxede dedyx)(22 ab.2aeab 例例2 利用性质比较利用性质比较 dddxdyyxdxdyyx32)(,)(其中其中d: 由由x轴轴,y轴及轴及x+y=1围成的区域围

10、成的区域 小结小结二重积分的定义二重积分的定义（和式的极限）（和式的极限）二重积分的几何意义二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）二重积分的性质二重积分的性质 （与定积分类似）（与定积分类似）xyo d设函数),(yxfd 位于 x 轴上方的部分为d1 , ),(),() 1 (yxfyxf),(),()2(yxfyxfd),(dyxf0d),(dyxf当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍1d在 d 上d),(21dyxf在闭区域上连续, 域d 关于x 轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分, 则有1:,221 yxdd 为圆域如dyxyxdd)(22d

11、yxyxdd)(1dd)(422dyxyx0补充补充如果积分区域为：如果积分区域为：, bxa ).()(21xyx x型型)(2xy abd)(1xy dba)(2xy )(1xy 其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续.)(1x )(2x ,ba9.2 9.2 二重积分的计算法二重积分的计算法一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分假定0),( yxf为曲顶的柱体的体积为曲顶的柱体的体积为底，以曲面为底，以曲面的值等于以的值等于以),(),(yxfzddyxfd 应用计算应用计算“平行截平行截面面积为已知的立面面积为已知的立体求体积体求体积”的方法的方法,a0 x

12、bzyx)(2xy)(1xy),( yxfz)(0 xa得得.),(),()()(21 dbaxxdyyxfdxdyxf 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算个立体的体积也可用定积分来计算.)(xa表表示示过过点点x且且垂垂直直于于x轴轴的的截截面面面面积积，xoab)(xa为为x的的已已知知连连续续函函数数,)(dxxadv .)( badxxav立体体积立体体积xdxx 二、平行截面面积为已知的立体的体积二、平行截面面积为已知的立体的体积如果积分

13、区域为：如果积分区域为：,dyc ).()(21yxy y型型)(2yx )(1yx dcdcd)(2yx )(1yx d.),(),()()(21 ddcyydxyxfdydyxf x型区域的特点型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点. y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.yxoyxoabcdd3.3.若积分区域若积分区域d d既不是既不是x-x-型型, ,又不是又不是y-y-型型, , 可以把可以把d d 分

14、成几部分分成几部分, ,使每个部分是使每个部分是x-x-型区域或是型区域或是y y型区域型区域. . )()()()(2121.),(),(xxdcyybadxyxfdydyyxfdx2.2.若积分区域若积分区域d d既是既是x- -型的型的, ,又是又是y- -型的型的. . 则则1. x-型型,y-型域的特点型域的特点;(作线法作线法)1。画出积分区域。画出积分区域d的图形的图形;2。根据。根据d及及f(x,y)的特点的特点, 选取积分顺序选取积分顺序;3。根据区域。根据区域d定出积分限定出积分限;4。把二重积分化为二次积分。把二重积分化为二次积分.yxoy=x12y1x2y=1x=2 计

15、算计算 其中其中d d 是由直线是由直线y=x,y=1,x=2y=x,y=1,x=2 所围成的闭区域所围成的闭区域. .dxyd ,xy211xy o221d yx解法解法1. 将d看作x型区域, 则:di21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2. 将d看作y型区域, 则:dixyx d21d yyyx222121321d2yyy89y1xy2xy 121 x2 xy21 y 计算计算 , ,其中其中d d是由抛物线是由抛物线 及直线及直线 所围成的闭区域所围成的闭区域. .dxyd2 xyxy 2yxo1y=x-21y24xy2解解: 为计算简便, 先

16、对 x 后对 y 积分,:dxyx ddyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845dxy22 xy214oyxy22yxy21y2y2y则 计算计算,sin ddxdyxx其中其中d 是直线是直线 ,0, yxy所围成的闭区域所围成的闭区域.oxydxxy 解解: 由被积函数可知,因此取d 为x 型域 :xxyd00:dyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxx x先对 x 积分不行, （1）根据给出的二次积分，画出）根据给出的二次积分，画出； （2）根据积分区域）根据积分区域d，写出另一二次积分。，写出另一二次积分。 有些二次积分为了积分方便有些二次积分为了积分方便, , 还需交换积分还需交换积分 顺序顺序. . 交换下列积分顺序交换下列积分顺序 22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxi21ddd将解解: 积分域由两部分组成:,200:22