二重积分的计算15116

1、第二节第二节 偏导数偏导数 我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念，我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该点处函数随自变是研究函数的有力工具，它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函数同样需要讨论它的量变化的快慢程度。对于多元函数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数的自变量不止一个，但实变化率问题。虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下，只考虑际问题常常要求在其它自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自变量的变化率，因此这种变化率依函数对其中一个自变量的变化率，因此这种变化率依然是一元函数的变化率

2、问题，这就是偏导数概念，对然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数概念，对此给出如下定义。此给出如下定义。21. 1. 偏导数的定义偏导数的定义 在多元函数中在多元函数中, ,当某个自变量在变化，而其他自变当某个自变量在变化，而其他自变量不变化量不变化( (视为常数视为常数) )时时, ,函数关于这个自变量的变化率函数关于这个自变量的变化率叫做多元函数对这个自变量的偏导数叫做多元函数对这个自变量的偏导数. . 定义定义 设函数设函数( , )zf x y在点在点00,)xy（的某一邻域内的某一邻域内有定义，当自变量有定义，当自变量 y 保持定值保持定值 0y，自变量，自变量 x 在在 x0处有处

3、有增量增量x时，相应地，时，相应地，( , )zf x y有增量有增量 0000(,)(,)xzf xx yf xy （又称为函数关于（又称为函数关于 x 的偏增量） ，若极限的偏增量） ，若极限 000000(,)(,)limlimxxxzf xx yf xyxx 存在存在 一、多元函数的偏导数 3则称此极限为函数则称此极限为函数( , )zf x y在点在点0,)xy0（处处对对 x 的偏导的偏导数，记作数，记作 00 x xy yzx或或00 x xy yfx或或00(,)xzxy或或00(,)xfxy 类似地， 函数类似地， 函数( , )zf x y在点在点00,)xy（处对处对 y

4、 的偏导的偏导数数定义为定义为 000000(,)(,)limlimyyyzf xyyf xyyy， 记作记作 00 x xy yzy或或00 x xy yfy或或00(,)yzxy或或00(,)yfxy 4二元函数偏导数的定义可以类推到三元或三元以上的二元函数偏导数的定义可以类推到三元或三元以上的函数函数. . 如果函数如果函数( , )zf x y在区域在区域 d 内每一点处，对内每一点处，对 x 的偏的偏导数都存在， 那么在导数都存在， 那么在 d 内定义了一个函数， 称为内定义了一个函数， 称为( , )zf x y的偏导函数，记作的偏导函数，记作 zx或或fx或或( , )xzx y

5、或或( , )xfx y 类似地，函数类似地，函数( , )zf x y对对 y 的偏导函数的偏导函数, ,记作记作 zy或或fy或或( , )yzx y或或( , )yfx y. . 偏导函数简称为偏导数偏导函数简称为偏导数. . 2.偏偏导导数数的的求求法法 由由于于在在偏偏导导数数的的定定义义中中，实实际际上上已已将将多多元元函函数数看看成成一一元元函函数数，因因此此偏偏导导数数的的计计算算与与一一元元函函数数的的导导数数运运算算没没有有本本质质的的区区别别. .例例如如，给给定定( , )zf x y，求求zx时时，只只要要把把 y 看看成成常常数数，对对 x 求求导导；求求zy时时，

6、只只要要把把 x 看看成成常常数数，对对 y 求求导导. . 解解 把把 y 看看成成常常数数，对对 x 求求导导，得得2zxyx， 把把 x 看看成成常常数数，对对 y 求求导导，得得2zxyy， 所所以以 22112 2 15,22 10 xxyyzzxy 例例 1 1 求求函函数数22zxxyy在在点点（2 2, ,1 1）处处的的各各偏偏导导数数. . 6三个偏导数三个偏导数.2lnsin)(),(xazzyxfxy 求求解解 求某一点的偏导数时求某一点的偏导数时,12lnsin xx)2 , 0 , 1(yf)2 , 0 , 1(zf )2 , 0 , 1(xf12lncos2 xx

7、x2 , 000 y002 z例例变为一元函数变为一元函数,代入代入,在点在点(1,0,2)处的处的可将其它变量的值可将其它变量的值再求导再求导, 常常较简单常常较简单.偏偏 导导 数数7例例 2 2 设设yzx，求求zx及及zy 解解 把把 y 看成常数时看成常数时, ,z 是幂函数，由一元函数幂函是幂函数，由一元函数幂函数求导公式，得数求导公式，得 1yzyxx 把把 x 看成常数时，看成常数时，z 是指数函数，由一元函数指数函数是指数函数，由一元函数指数函数求导公式，得求导公式，得 lnyzxxx 例例 3 3 求求函函数数222esin()yzxy的的各各偏偏导导数数. . 解解 把把

8、 y 看成常数时，看成常数时，2ey也是常数；故也是常数；故 222222esin()ecos() 2yyxzxyxyxx 2222 ecos()yxxy 8解解 把把, y z看看成成常常数数，对对 x 求求导导，得得 221(2 )22xzzzxyxxyxy 把把, x z看看成成常常数数，对对y求求导导，得得 2212(2 )22yzzzxyyxyxy 把把, x y看看成成常常数数，对对 z 求求导导，得得 2 ln(2 )uzxyz 例例 4 4 求求三三元元函函数数2ln(2 )uzxy的的偏偏导导数数 93 偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导一元函数

9、中在某点可导 连续连续多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续连续不了连续性不了连续性.偏导数都存在偏导数都存在,函数未必有极限函数未必有极限, 更保证更保证偏偏 导导 数数10偏偏 导导 数数 ).0 , 0(),(0),0 , 0(),(),(22yxyxyxxyyxf当当当当解解例例.),(的偏导数的偏导数求求yxf,)0 , 0(),(时时当当 yx ),(yxfxy222)(yx )(22yx xxy 2 ,)()(22222yxxyy ),(yxfy222)(yx )(22yx xyxy 2 .)()(22222yxxyx ,)0 , 0(),(时时当当 yx按按

10、定义定义得得11 )0 , 0(xf00lim0 xx )0 , 0(yf00lim0 yy注注 但前面已证但前面已证,此函数在点此函数在点(0,0)是是不连续不连续的的. xfxfx)0 , 0()0 ,0(lim0 yfyfy)0 , 0()0 , 0(lim0偏偏 导导 数数 由以上计算可知由以上计算可知,),(yxf 在点在点)0 , 0( 处处可偏导可偏导,121997年研究生考题年研究生考题, 选择选择, 3分分 ).()0 , 0()0 , 0(),(0)0 , 0(),(),(22处处在点在点yxyxyxxyyxfa. 连续连续,偏导数存在偏导数存在;b. 连续连续,偏导数偏导

11、数不不存在存在;c. 不连续不连续,偏导数存在偏导数存在;d. 不不连续连续,偏导数不存在偏导数不存在.c偏偏 导导 数数13 二元函数二元函数f(x, y)在点在点 (x0, y0)处两个偏导数处两个偏导数 fx(x0, y0), f y(x0, y0)存在是存在是 f (x, y) 在该点连续的在该点连续的( ).a. 充分条件而非必要条件充分条件而非必要条件b. 必要条件而非充分条件必要条件而非充分条件c. 充分必要条件充分必要条件d. 既非既非充分条件又非必要条件充分条件又非必要条件d1994年研究生考题年研究生考题,选择选择,3分分偏偏 导导 数数14图图8-3zyxoy=y0z=f

12、(x,y)m0z=f(x,y)ozyx图图8-4xx=x0m0 x015 曲线曲线在点在点(2,4,5)处的处的切线切线与与x轴正向所成的倾角是多少轴正向所成的倾角是多少?解解,21),(xyxfx (2,4)1tanxf 4 在点在点(2,4,5)处的处的切线切线与与y轴正向所成的倾角是多少轴正向所成的倾角是多少?,2422 xyxz偏偏 导导 数数 曲线曲线,4422 yyxz16二、高阶偏导数二、高阶偏导数 设函数设函数( , )zf x y在区域在区域d内的偏导数内的偏导数( , )xfx y和和( , )yfx y都存在，如果偏导函数都存在，如果偏导函数( , )xfx y和和( ,

13、 )yfx y对对 x，对，对 y的偏导数也存在，那么称这些偏导数是函数的偏导数也存在，那么称这些偏导数是函数( , )zf x y的的二阶偏导数二阶偏导数. .依照求偏导依照求偏导的次序不同，二阶偏导数由以下的次序不同，二阶偏导数由以下四种类型：四种类型： （1）对对 x 的二阶偏导数的二阶偏导数)zxx（，常用的记号为，常用的记号为2222xxxxzfzfxx或或或 （2）对对 y 的二阶偏导数的二阶偏导数)zxy（常用的记号为常用的记号为 2222yyyyzfzfyy或或或 纯偏导纯偏导1718解解 因为因为 2232310,zyxxyx 2241.5,zxyx yy 所以所以 2222

14、22610,430.zzxyxx yxy 222430.zzyxyx yy x 定理定理 如果函数如果函数( , )zf x y的两个二阶混合偏导数的两个二阶混合偏导数)zyx（和和)zxy（在区域在区域 d 内连续，则在该区域内必有内连续，则在该区域内必有 )zzyxxy（） 例例 5 5 求求232325zxyxx y的二阶偏导数的二阶偏导数 19证证 由于由于 2222,zxzyxyxyxy 故故22222222222221,()xxyxxyzyxxyxyxy 22222222222221,()yxyyxyzxyxyxyxy 所以所以 2222zzxy22222()yxyxy+ +22222()xxyxy 2211.zxy 例例 6 6 设设22,zxy 求证：求证：22221.zzxyz 20偏偏 导导 数数例例xyyxz 23求求的四个二阶偏导数的四个二阶偏导数.解解 xz,322yyx ,23xyx 22xz,62xy 22yz,2