电磁场与电磁波(西电)第7章 电磁波的辐射

1、第七章 电磁波的辐射 第七章 电磁波的辐射 7.1 滞后位滞后位7.2 电基本振子的辐射场电基本振子的辐射场7.3 对偶原理与磁基本振子的辐射场对偶原理与磁基本振子的辐射场7.4 天线的电参数天线的电参数7.5 对称线天线和天线阵的概念对称线天线和天线阵的概念7.6 面天线的辐射场面天线的辐射场7.7 互易原理互易原理 第七章 电磁波的辐射 7.1 滞滞 后后 位位 jaka2222k时谐场中，电荷源和电流源j之间以电流连续性方程 jj第七章 电磁波的辐射 将与j联系起来，而标量位和矢量位a之间也存在一定的关系。这一关系就是洛仑兹条件，即式(5 - 77)： ja电磁场与标量位和矢量位a之间的

2、关系式为 akajeab2)(第七章 电磁波的辐射 7.1.1 亥姆霍兹积分及辐射条件亥姆霍兹积分及辐射条件 dsuwwudvuwwuvs)()(22求式(5 - 79)中的标量位，并且导出辐射条件。格林定理中的u和w是任意标量函数，且要求u和w以及它们的一阶和二阶导数在v内连续。 容易验证标量函数 rejkr第七章 电磁波的辐射 满足齐次亥姆霍兹方程 022k令格林定理中的u代表标量位，即u=，满足式(5-79)，即 ) () () (22rrkr再令w=，且r=|r-r|，如图7 - 1所示。r是场点；r是源点， 亦即格林定理中的积分变点。 (7 - 6)第七章 电磁波的辐射 图 7 -

3、1 求解式(7 - 6)用图 第七章 电磁波的辐射 于是积分在体积v1=v-v2及其表面s1=s+s2上进行： 21) () () () ()() (22ssvdsnrnrdsnrnrdvrr 在s2上积分时，外法线方向指向小球球心p点于是 ； 面元ds=a2d，d是ds对p点所张的立体角元。这样， rn/) (1) () () (22222danrreerjkrrdanrrererrsarjkrjkrsarjkrjkr第七章 电磁波的辐射 令a0，小球面s2收缩成点p。考虑到 有限，上式中的积分只剩下被积函数是(r)e-jkr/r2的一项不等于零。此时小球面s2上的（r)可以用小球球心处的(

4、r)代替： r/)(4)() (lim22220rdrdarersarsjkra) () (41) (41)(dsrerrrerrdverrrsjkrjkrvjkr第七章 电磁波的辐射 矢量位a的每个直角坐标分量均可用形如上式的积分表示，于是 ) () (41) (4)(dsrerrarerradverrjrasjkrjkrvjkrdedejkrrjkrsjkrs考虑无限空间的电磁问题时，取以r为半径的球面作为s，ds=r2d，式(7 - 8)中的面积分可以写成 (7 - 8)(7 - 10)第七章 电磁波的辐射 而要排除在无限远处的场源(设无限远处的场源为零)， 就必须使上式为零。为此，要求

5、r时， 有限值rrlim0limjkrrr在这个限制条件下，式(7 - 10)的第二项积分等于零， 即要求在远离场源处标量位至少按r-1减少；第一项积分在满足 时也等于零。式(7 -11b)称为辐射条件。对于矢量位亦有类似条件。 (7-11b)第七章 电磁波的辐射 7.7.2 滞后位滞后位 标量位满足辐射条件式(7-11b)时，排除无限远处的场源，式(7-8)中的面积分一项为零，标量位(r)仅表示向外传播的电磁波，即 vjkrdvrerr) (41)(如果我们把k=/v代入上式，并重新引入时间因子ejt，则得 ) (41),(dverrtrvvrtj第七章 电磁波的辐射 vjkrdverrjr

6、a) (4)(引入时间因子ejt后则有 vrtjdverrjtra) (4),(vdvrrr) (41)(vdvrrjra) (4)(第七章 电磁波的辐射 7.2 电基本振子的辐射场电基本振子的辐射场 图 7 - 2 电流元与短对称振子 第七章 电磁波的辐射 7.2.1 电基本振子的电磁场计算电基本振子的电磁场计算 图 7 - 3 电基本振子 第七章 电磁波的辐射 取短导线的长度为dl，横截面积为s，因为短导线仅占有一个很小的体积dv=dls，故有 zzidlesdlesidvrj) (又由于短导线放置在坐标原点，dl很小，因此可取r=0，从而有r=|r-r|r。 jkrzjkrlzeridl

7、eeridlera44)(sincoszzrrraeaeaeaeaea第七章 电磁波的辐射 0sincossinsin11)(2zzrraarerreerarh由此可解得 jkrrekrkrjidlkhhh2214sin00）（第七章 电磁波的辐射 7.2.2 电基本振子的电磁场分析电基本振子的电磁场分析 1. 近区场近区场 当kr1时，r1时，r/2，即场点p与源点距离r远大于波长的区域称为远区。 在远区中， 32)(1)(11krkrkr远区电磁场表达式简化为 jkrjkrjkrjkreridljeridlkjeeridljeridlkjesin24sinsin24sin2第七章 电磁波的

8、辐射 场的方向：电场只有e分量；磁场只有h分量。其复坡印廷矢量为 2*2121*21eeheehesrr可见，e、h互相垂直，并都与传播方向er相垂直。因此电基本振子的远区场是横电磁波(tem波)。 场的相位：无论e或h，其空间相位因子都是-kr，即其空间相位随离源点的距离r增大而滞后，等相位面是r为常数的球面， 所以远区辐射场是球面波。由于等相位面上任意点的e、h振幅不同，所以又是非均匀平面波。e/h=是一常数，等于媒质的波阻抗。 第七章 电磁波的辐射 场的振幅：远区场的振幅与r成反比；与i、dl/成正比。值得注意，场的振幅与电长度dl/有关，而不是仅与几何尺寸dl有关。 场的方向性：远区场

9、的振幅还正比于sin，在垂直于天线轴的方向(=90)，辐射场最大；沿着天线轴的方向(=0)， 辐射场为零。这说明电基本振子的辐射具有方向性， 这种方向性也是天线的一个主要特性。 第七章 电磁波的辐射 如果以电基本振子天线为球心，用一个半径为r的球面把它包围起来，那么从电基本振子天线辐射出来的电磁能量必然全部通过这个球面，故平均坡印廷矢量在此球面上的积分值就是电基本振子天线辐射出来的功率pr。因为电基本振子天线在远区任一点的平均坡印廷矢量为 222*sin221212121re*21reridleheeeheehesrrrrav第七章 电磁波的辐射 所以辐射功率为 223022202023134

10、222sin222sinsin221idlidldidlddrridldsspsavr第七章 电磁波的辐射 以空气中的波阻抗 12000022240idlpr代入， 可得 式中i的单位为a(安培)且是复振幅值，辐射功率pr的单位为w(瓦)，空气中的波长0的单位为m(米)。 第七章 电磁波的辐射 电基本振子幅射出去的电磁能量既然不能返回波源， 因此对波源而言也是一种损耗。利用电路理论的概念，引入一个等效电阻。 设此电阻消耗的功率等于辐射功率，则有 rrrip221式中rr称为辐射电阻。 2022802dlipprr第七章 电磁波的辐射 例例7 - 1 已知电基本振子的辐射功率pr， 求远区中任意

11、点p(r, , )的电场强度的振幅值。 解：解： 利用 jmeiik,2远区辐射场的电场强度振幅为 sin200rdliemm2040/rmpdlirpermsin103第七章 电磁波的辐射 例例7-2 计算长度dl=0.10的电基本振子当电流振幅值为2 ma时的辐射电阻和辐射功率。 解：解： 8957. 7) 1 . 0(808022202dlrr辐射功率为 辐射电阻 wpiprr791.158957. 7)102(2121232第七章 电磁波的辐射 7.3 对偶原理与磁基本振子的辐射场对偶原理与磁基本振子的辐射场 7.3.1 磁基本振子的辐射场磁基本振子的辐射场 图 7 - 4 磁基本振子

12、 第七章 电磁波的辐射 lrrjkljkrdlrreidlreira| |44)(| | 上式的积分严格计算比较困难，但因r=ax, r0y，上式可以近似为 第七章 电磁波的辐射 0000cossin)cossinsin(cossin)cossinsin()cos1 (2)cos1 (2),(0)sincos(sin00jkrsbbdyyxjkaajkrspekbkbkakarabejedxreejrecossin)cossinsin(cossin)cossinsin()cos1 (),(kbkbkakaf当r0a、r0b时，可以近似取, 1/r1/r0。如果场点采用球坐标表示，即取x=r0s

13、incos，y=r0sinsin，那么 由上式可知，均匀同相矩形口径场的方向性函数为 第七章 电磁波的辐射 00max04jkrspperabejee222222000max3224spebaerpsabppd220416相等电场强度最大辐射方向在=0处， 此时， 2|44|20saveababsp第七章 电磁波的辐射 7.7 互互 易易 定定 理理 )()()(baabba)()()(211221heehhehjjhhje, 假设空间区域v1中的电流源j1产生的电磁场为e1和h1，空间区域v2中的电流源j2产生的电磁场为e2和h2，两电流源振荡在同一频率上，且空间区域v1和v2及它们之外的空

14、间区域v3中的媒质是线性的，根据矢量恒等式 第七章 电磁波的辐射 2121212211221)()()(jeeehhjejjehjhhe1212121122112)()()(jeeehhjejjehjhhe21121221)()(jejehehedvjejendshehevs)()()(21121221第七章 电磁波的辐射 0)()(1221ndshehes1. 洛仑兹互易定理洛仑兹互易定理 设两个电流源j1和j2均在空间区域v外，则空间区域v内为无源空间，因而式(7 - 86)右端的体积分等于零，故其左边的封闭面积也等于零， 即 上式是洛仑兹互易定理的简化形式。 第七章 电磁波的辐射 2.

15、卡森互易定理卡森互易定理 图 7 - 16 卡森互易定理用图 第七章 电磁波的辐射 3210)()(21122112vvvvdvjejedvjeje0)(2112dvjejev0)(32112dvjejev即当两个电流源均在v时， 仍然有下式成立： 注意到空间区域v3为无源区，因此 第七章 电磁波的辐射 dvjedvjevv211221dvjedvjevv21121dleidleillll21122121综上可见， 由卡森互易定理知， 两种情况下的源与场的关系为 当天线为细导线时，对于线电流，jdv=idl，从而上式变为 第七章 电磁波的辐射 22121211212211122121dleidleidleidleillll221112uiui即 如果天线为理想导体，其上电场切向分量为零，则上式左边第二项积分和右边第一项积分为零；在l1上除输入端mn 处 外， 电场切向分量仍为零，在mn段有由天线2上电压u2产生的短路电流i2=i12。 因此上式左边应等于i12u1。同理，该式右边等于i21u2。于是 mnudle111第七章 电磁波的辐射 ),(),(112121发fkuyi2112yy令天线1对天线2的互