数学认知结构

1、3.1.1 认知结构的内涵 信 息原认知结构同化顺应平衡新的认知结构 1、用图式来描述认知结构，图式是指个体对世界的知觉、理解和思考的方式，可以把图式看做是心理活动的框架或组织结构； 2、图式是认知结构的核心。 皮亚杰皮亚杰：奥苏伯尔： 可反映认知结构的优良程度的三个变量： 可利用性； 可辨别性； 稳定性。 认知结构是“指某一个人的各种观念的全部内容和组织；或者就教材学习方面说，指学生在某一特定的知识领域内的各种观念的内容和组织”。 两者的完备性不同，教材中的知识结构在内容上是相对系统的、完备的、无缺口的。 内涵不同，知识结构是以外显的文本形式表现的知识体系，具有客观性；而认知结构是经过学习者

2、主观改造的知识结构，既具有知识结构的客观性，又具有个体对知识建构的主观性。 结构的构造方式不同，作为课程内容的知识是一个相对严密的逻辑体系，结构相对完善3.1.2 数学认知结构的特征 曹才翰认为：“数学认知结构就是学生头脑中的数学知识按照自己理解的深度、广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构。 他将数学认知结构的特点归纳为8点（见书48面）。 刘斌认为，数学认知结构是学习者头脑中的数学知识结构，即数学知识结构通过内化在学习者头脑中所形成的观念的内容和组织。数学认知结构包括横、纵两个方面。 李士锜指出，数学认知结构在形式上看做是由结点和联线组成

3、的复杂的网络。 结点是结构中的元素或对象，联线是元素间存在的稳定关系。最基本的形式有3种：线性结构，树型结构和网络结构。 线性结构 树型结构 网络结构 知识结点间可分为纵向的层次关系和横向的平面关系两类。 结合现代信息加工心理学的观点，喻平对数学认知结构作了更明确的界定。所谓数学认知结构，就是经过学习者对外显知识的感知、理解、内化进而贮存于个人长时记忆系统中、相互联系的陈述性知识、程序性知识和过程性知识组成的结构。 3.2.1 概念域和概念系理论1. 概念域例1 ：关于等差数列的定义 数列an是等差数列，当且仅当an+1an = d，其中d 为常数，n N ，n1 数列an是等差数列，当且仅当

4、an+1an = anan1，n N ，n2 数列an是等差数列，当且仅当an = a1+(n1) d，其中d 为常数，n N n2 数列an是等差数列，当且仅当an = am+(nm) d，其中d 为常数，n，m N ，n1 一个概念C 的所有等价定义的图式，叫做概念C 的概念域具体地说，其含义是： 概念域是个体对数学概念的一种心理表征。 概念域是指某个概念的一些等价定义在头脑中形成的命题网络和表象。 命题网络中各节点的关系是等价关系。“等价”是指两个概念的命题具有相同的真值，或两个概念可以互相推出。 在概念域的命题网络中存在一个典型命题。称一个概念C的基本定义为C的典型定义。广义概念域：具

5、有同构关系的概念网络的图式例：“直线”的广义概念域是下面不同结构中等价定义的图式：平面直角坐标系中一般方程： 其中A、B不全为0.平面直角坐标系中参数方程：极坐标系： 0CByAxsin,cos11yyxxp)cos(例：“四边形”的概念系是下面概念的网络的图式：设A：四边形 ； B：平行四边形；C：矩形；D：菱形；E：正方形；F：梯形；G：等腰梯形；H：直角梯形。这些概念形成下图概念网络。BAFGHCDE2.概念系 徐利治等提出了数学抽象度概念与抽象度分析法，认为数学对象之间可用3 种抽象关系来刻画：（1）弱抽象从数学结构A中选取某一特征（侧面）加以抽象，从而获得比原结构更广的结构B，使原结

6、构成为后者的特例就称A到B的抽象为弱抽象。（2）强抽象通过引入新的特征来强化原结构A，使获得的新的概念或理论B，B是原型A的特例，则称A到B的抽象为强抽象（3）广义抽象在定义概念B 时用到了概念A，或者在证明命题B 时用到了命题A，则称B是A的广义抽象，即B比A抽象。 如果一组概念C1，C2， ，Cn 存在关系： C1 R1 C2 R2 Rn 1Cn （*） 其中Ri（i=1，2， ，n-1）表示强抽象、弱抽象、广义抽象这3 种数学关系中的任意一种，那么称（*）为一条概念链，记为 w =C1，C2， ，Cn 如果2 条概念链的交集非空，则称这2 条链相交如果m 条概念链中至少有一条与其余的链都

7、相交，那么称这m 条链的图式为概念系概念系： 简单地说，就是在个体头脑中形成的概念网络，这个网络中的概念间存在一些特定的数学关系。概念域与概念系有什么关系？概念域与概念系有什么关系？3.2.2 命题域与命题系理论1.命题域 与命题A等价的所有命题组成的命题集叫做命题A的等价类，记为A,并称A为典型命题。 典型命题A的等价命题类A连同这些命题之间的（互推）关系所形成的结构叫做等价命题网络。我们称一个等价命题网络的图式为典型命题A的命题域。 命题域的含义：命题域是个体头脑中的命题网络，是个体数学认知结构的组成部分；命题网络中的所有命题在逻辑上等价；命题域与命题网络的组织形式有关；典型命题往往构成命

8、题域的核心，是个体在应用命题时最容易提取的因素。 如果两个结构之间存在同构关系，则一个结构中的命题在另一个结构中必有对应的等价形式，我们称具有同构关系的命题网络的图式为广义命题域。 例：“两直线平行的充要条件”的命题域是下面一些等价命题的图式：同位角相等 两直线平行； 内错角相等 两直线平行；同旁内角互补 两直线平行。上面的命题与在平面直角坐标系结构中的命题一起构成“两直线平行的充要条件”的广义命题域： 设两直线 ，则 .0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl21212121/CCBBAAll2.命题系 如果一组命题A1，A2 An 存在推出关系（广义抽象）： ， 则称为一条命题链，

9、记为 =A1 ,A2, ，An如果m 条命题链中的每一条都至少与其余一条相交（交集非空），那么称这m 条链组成的系统为半等价命题网络一个半等价命题网络的图式称为命题系。在同构的结构中，可以定义广义命题系。我们称具有潜在关系的命题网络的图式内隐命题系。nAAA213.2.3 CPFS结构理论与数学学习结构理论与数学学习1. CPFS结构的含义 概念域、概念系、命题域、命题系形成的结构称为CPFS结构。 CPFS结构的含义是： 个体头脑中内化的数学知识网络之中各知识点（概念、命题）处于一定位置，知识点之间具有等值抽象关系、或强抽象关系、或弱抽象关系、或广义抽象关系网络中各知识点之间的连结包含着数学

10、方法，即“连线集”为一个“方法系统”2. CPFS结构与数学认知结构的关系(1) CPFS结构是数学学习特有的认知结构 从CPFS 结构来看，它精确地描绘了数学概念、命题及其关系在头脑中的组织形式 CPFS 结构揭示了概念、命题之间的联系。因此,CPFS 结构是一种数学认知结构。 层次网络模型及激活扩散模型给出了一般知识的结构解释，并没有明确说明知识之间的联系方式。CPFS理论更准确刻画了数学知识在个体头脑中的组织形式，从该意义上看， CPFS结构是数学学习特有的认知结构。 （2）CPFS结构是优良的数学认知结构 管鹏认为，良好的认知结构应具备3个条件： “双向产生式”； 层次化、条理化； 与

11、有效的思维策略相联系。 奥苏伯尔认为良好的认知结构取决于三个变量： 可利用性； 可辨别性 ； 稳定性。 作者对CPFS结构做出解析： 第一，个体形成CPFS结构是知识理解的基础，且凸显认知结构的可辨别性和稳定性 ; 第二，CPFS结构有助于知识贮存和提取 ; 第三，CPFS结构融知识与方法于一体。3. CPFS结构与数学理解的关系 基于行为主义、现代认知心理学、派里和基兰的研究，数学理解的本质认识可概括为：对数学概念、规则或方法的理解，指个体建立了关于这些观念的内部网络 数学理解的水平具有层次性，个体的差异往往表现为理解水平的差异数学理解是一个动态过程，是认知结构的建构和知识意义的建构过程。

12、作者将数学理解解释为对知识的正确、完整、合理的表征。根据对知识的分类对数学理解作出解释如下：（1）对陈述性知识的理解 陈述性知识以命题、表象和线性排序3种形式作为基本表征单位，人的知识表征往往组合了这三种形式而形成对知识的综合表征图式。CPFS结构准确地描述了这种综合表征图式，对数学陈述性知识的理解是：知识的基本单元表征形成命题网络获得图式。（2）对程序性知识的理解 程序性数学知识的表征是产生式和产生式系统。个体的CPFS结构中联系各命题之间的关系，包含程序性知识中的策略性知识，其表征是一种双向产生式。 因此，学习者对程序性数学知识的理解，是指他建立了双向产生式和产生式系统。（3）对过程性知识

13、的理解 过程性知识与程序性知识的共通之处是是两者都是动态 型知识，但两者的内涵不同。1、过程性知识是指个体对数学知识发生发展过程的体验性知识；2、程序性知识通过一定量的练习后习得，过程性知识则难；3、程序性知识往往针对某个知识点而言，过程性知识则关注知识点之间的关系。 综上分析，优良的CPFS结构能促进学习者对知识的理解。过程性知识表征的两个层面关系表征：个体对知识发展过程中知识之间存在某些关系的体悟。观念表征：对知识之间发生关系的缘由的体悟，其成分更多是一种元认知体验。4. CPFS结构与数学学习迁移的关系 桑代克提出了迁移的相同要素说；贾德提出了迁移概括说；安德森提出产生式迁移理论。（共同

14、要素说） 奥苏伯尔针对传统迁移理论的不足，提出了认知结构迁移理论。迁移指先前的经验对当前学习的影响，这种先前的经验是累积的获得、依据一定的层次组织，且在组织上是同新的学习任务有机的联系着的原有知识体系；过去经验的特征，不是指前后两个学习课题在刺激和反应方面的相似程度，而是指学生在一定知识领域内的认知结构的组织特征；在一般的课堂学习中，并不存在孤立的课题A和课题B的学习。学习A是学习B的前提和准备，学习B不是鼓励的，而是在同A的联系中学习。凡是认知结构影响新的认知功能，就存在迁移。 总的来说，合理、完善和优良的CPFS结构，一方面表明头脑中贮存了丰富的陈述性知识和程序性知识；另一方面确定了这些知

15、识在长时记忆中的合理定位，更重要的是明晰了各知识点之间的联系，保证有足够的信息提取源且通过命题网络中各知识点之间的相互激活，为迁移的产生提供了通道。下面介绍一个研究案例实验模式（如下图所示）：1 1、被、被 试试 选取南京市某中学高一 5 个班的 316 名学生作为被试2 2、 前前 测测 让被试完成下面 3 项作业 作业 1 自由回忆给定一个目标，让被试回忆与该目标 有关的知识 作业 2 辨认推理给出一个图形以及图形满足的条 件，让被试去推测与图形有关的若干结论。 研究过程 作业 3 命题应用，给出某条定理，要求被试自编该定理应用的题目。 根据我们的研究目标，上述3项作业都是围绕检测被试的

16、CPFS 结构展开的。 3、分 组 求出 316 名被试在测试中得分（3 项作业的分数之和）的平均成绩 X 及标准差 ，从而将被试分为 3 组，第 1 组（104 人）每人的得分均不小于 X +，第 2 组（113 人）每人的得分介于 X 与 X +之间，第 3 组（99 人）每人的得分均小于 X 然后，在第 1 组中随机选取 50 人，记为 A 组，在第 3 组中随机选取 50 人，记为 B 组称 A 组为高 CPFS 结构组，B 组为低 CPFS 结构组4、源题训练 对B组（低 CPFS ）结构组进行源题训练 题目 在图中， ABC 为等腰直角三角形， C90，在 AB 上取一点 D，使

17、BDBC，过点作 DE AB求证：ADEC 题目 2 在图 5 中，AC 是 O 的直径，ABAD求证：BCCD先由学生练习，然后教师引导学生采用多种方法证明这两道题目，但不指出两道题目之间的联系 5、靶题测试 在对 B 组进行源题训练后的第二天，让 A、B 两组被试完成下面解题作业 问题 如图 6，正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点 E， BE=BC，过 E 作 EF BD 于 E求证：ED=FC（要求用尽量多的方法解答计分方式：一种解法且解答正确得 3 分） 靶题与源题之间有内在的联系靶题可以直接采用源题 1 的方法，也可以采用源题 2 的方法，但此时需要解题者洞察两道源题之间的关系

18、，能够从图 6 中发现 B、C、F、E 四点共圆 6、结果与讨论 表 1 给出了 A、B 两组被试在自由回忆、辨认推理、命题应用及解题作业等 4 项任务中的平均分，并对每项任务的得分作了 t 检验 从表 1 中可以看出，高 CPFS（A 组）与低 CPFS 组（B组）在 4 个项目作业中的成绩均存在显著差异虽然，B 组被试经过了源题的训练，而且源题和靶题之间存在内部的相似结构，这是基于问题基础上的实用图式迁移，但组被试在解题作业上的成绩仍然低于组的解题作业成绩从卷面上反映出，许多 B 组的学生不能找出源题 2 与靶题之间的关系，因而无法采用有关圆的知识去解决问题，而组的许多学生则采用了圆的相关

19、性质去解答问题自由回忆、辨认推理及命题应用，其作用在于检测个体是否形成相对完善的CPFS 结构，如果被试在这 3 个项目中取得较好成绩，就说明被试形成较完善的 CPFS 结构，组学生在前 3 项作业的成绩优于 B 组学生，因而有更完善的 CPFS 结构解题作业要求被试用尽量多的方法解答，如果该项作业取得好成绩，那么说明过去的知识基础和解题经验对当前问题的解答产生了较好的迁移由实验结果证实，A、B 两组被试的解题作业成绩存在显著差异这说明个体的 CPFS 结构对解题迁移起着关键作用由于上述解题作业要求被试在长时记忆中调动过去学习而贮存下来的诸多信息，因而这种迁移是一种远迁移，也就是说，个体的 C

20、PFS 结构对解决远迁移问题起着关键作用同时，研究结果也表明，个体的 CPFS 结构是一种优良的数学认知结构 7 、结 论 数学解题中的远迁移与个体形成的 CPFS 结构密切相关；优良的 CPFS 结构有助于远迁移的产生；CPFS 结构中的程序性知识对远迁移的产生和实现影响更大；个体的CPFS 结构是一种优良的数学认知结构 3.3.1 概念图的结构1.概念图的含义与结构 概念图是包含结点和联线的一种对知识的结构化进行形象表征的方法。 两个结点和一个包含标注的联系组成一个命题，命题是概念图中最基本的意义单元，也是用于判断概念间联线是否有效的最小单元。 概念图的特点：相关的概念之间有标注线进行连结

21、，且在线上做标注，说明他们之间的具体关系。概念图中概念的排列有一定的层次结构。概念的层次结构主要依赖当前考察的特定知识单元及研究者希望具体强调的内容。2. 概念图的类型 概念图主要有线性图、圈图、轮图、树图、网络图等几种基本形式。3. 概念图的构造 一般步骤： 罗列某一单元所有的概念找出其中较基本的带有普遍意义的关键概念从关键概念出发，寻求各概念之间的联系，按一定的逻辑关系将所有的概念整理归类建立概念间的连结，并在联线上用联结词标明两者关系不断反思和完善概念图 教学生绘制概念图包括以下部分： 向学生介绍概念图；分析概念图的建构；联系建构概念图；检查和讨论学生绘制的概念图，介绍评分标准；巩固练习绘制概念图。3.3.2 概念图的测量 概念图评分系统大体分为三个不同的评分系统： 第一个系统是就学生概念图的成分评分，其主要成分包括：命题、层次水平、实例。诺瓦克和戈文提出一种较为综合、针对成分的评分系统（详见书本73面表3.3-1）另一个系统通过比较学生的概念图和专家标准图来评分，对他们之间的重叠部分赋予分值。结合学生概念图名称数量和连线强度给出了一个评分表（见书本74面表3.3-2）将前两者结合起来评分，有学者提出：根据学生的概念图与标准图中相同的“概念对”的数量来评分。3.3.3 概念