【人教A版】高中数学必修二：3.3.1两条直线的交点坐标学案设计 新人教A版必修2

1、人教版高中数学必修精品教学资料第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1两直线的交点坐标学习目标1.理解两直线的交点坐标与两直线方程的关系,两直线的交点个数与两直线方程中系数的关系.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.知道交点系直线方程,并会简单应用.合作学习 一、设计问题、创设情境问题1:已知点a(2,-1),直线l:3x+4y-2=0.点a与直线l的位置关系是怎样的?若点b(a,2)在直线l上,求实数a的值.你解答上面问题的依据是什么? 问题2:已知直线l1:x-y-1=0,l2:x+y-1=0,试判断直线l1,l2是否相交?若相交,请你求出交点坐标,并说明求解的

2、依据;若不相交,请说明理由.二、学生探索,尝试解决问题3:这种依据可以推广到一般情形吗?已知两条直线l1:a1x+b1y+c1=0,l2:a2x+b2y+c2=0相交,请同学们看下表,并填空:几何元素及关系代数表示点aa(a,b)直线ll:ax+by+c=0点a在直线l上直线l1与直线l2的交点是a三、信息交流,揭示规律问题4:请你说出用代数法求两条直线l1:a1x+b1y+c1=0,l2:a2x+b2y+c2=0的过程,以及可能出现的结果.四、运用规律,解决问题【例1】 判断下列各对直线的位置关系.如果相交,求出交点的坐标:(1)l1:x-y=0,l2:3x+3y-10=0;(2)l1:3x

3、-4y+4=0,l2:6x-8y-1=0;(3)l1:3x+4y-5=0,l2:6x+8y-10=0.问题5:由本例中的(2)你能得到,当两直线方程满足什么特征时,两直线平行吗?直线的方程由直线方程中的系数a,b,c决定,当系数具备什么特征时,两直线平行、重合、相交呢?问题6:由例1中的(3)思考,当0时,方程(3x+3y-10)=0表示的直线与方程3x+3y-10=0表示的直线是否是同一条直线?那么当变化时, 方程(x-y)+(3x+3y-10)=0表示什么图形?该图形有何特点?该图形与直线l1:x-y=0,l2:3x+3y-10=0有没有联系呢?请大家探究.五、变式演练、深化提高【例2】

4、已知a为实数,两直线l1:ax+y+1=0,l2:x+y-a=0相交于一点,求证:交点不可能在第一象限及x轴上.【例3】 求经过两条直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线l的方程.六、信息交流、教学相长问题7:直线是几何图形,而直线方程是代数式子,直线的有关问题可以完全由其代数方程来研究吗?为什么?用方程来研究直线,即用坐标法研究直线,有什么好处呢?布置作业课本p109习题a组第1,2,3题,选做第4题.参考答案一、问题1:点a在直线l上;a=-2;坐标满足直线方程的点在直线上;直线上任意一点的坐标都是直线方程的解.问题2:联立两直线方程,得解得因此,两

5、直线的交点坐标为(1,0).求解的依据是:两直线的交点坐标是两直线方程的公共解,即两直线方程构成的方程组的解.二、问题3: 几何元素及关系代数表示点aa(a,b)直线ll:ax+by+c=0点a在直线l上aa+bb+c=0直线l1与直线l2的交点是a点a的坐标是方程组的解三、问题4:一般地,将两条直线的方程联立,得方程组若方程组有唯一解,则两直线相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两直线平行;若方程组有无数个解,此时两直线重合.四、【例1】 (1)l1与l2相交,交点m();(2)l1与l2平行;(3)l1与l2重合.问题5:一般地,对于直线l1:a1x+b1y+c

6、1=0,l2:a2x+b2y+c2=0(其中系数满足a2b2c20),可以得到方程组(*)有下列结论:方程组(*)解的情况两直线的位置关系系数的特征唯一解相交无解平行无数个解重合问题6:不难发现该方程是二元一次方程,因此它表示直线.当变化时,可以根据的不同的具体值,画出相应的直线,发现这些直线始终过直线l1与l2的交点m().也可以思考直线方程的特点反映了直线的特点,通过观察该方程恒有一个确定的解,即方程组的解.即直线(x-y)+(3x+3y-10)=0表示过直线l1:x-y=0,l2:3x+3y-10=0的交点除直线l2外的所有直线.五、【例2】 解:考虑方程组l1,l2有交点,a1.方程组的解为当a>1时,x<0,y>0;当a<1时,x>0,y<0.点(-)不可能在第一象限,又y=0点(-)不在x轴上.【例3】 解:解法一:由解得即交点坐标为(-,-).又因为l与直线3x+y-1=0平行,故直线l的斜率为-3,所以直线l的方程为y+=-3(x+),即15x+5y+16=0.解法二:设直线l:2x-3y-3+(x+y+2)=0,变形为.(+2)x+(-3)y+2-3=0.因为l与直线3x+y-1=0平行,故直线l的斜率为-3,即-=-3,解得=.所以直线l的方程为15