两向量的向量积

1、上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technology二、两向量的向量积一、两向量的数量积7.2 数量积 向量积上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technology一、两向量的数量积 设一物体在常力f作用下沿直线从点m1移动到点m2. 以s表示位移. 数量积的物理背景 由物理学知道, 力f所作的功为w|f|s|cos , 其中 为f与s的夹角. 上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technology 对于两个向量a和b, 它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的余

2、弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作a b, 即ab|a|b|cos . v数量积的定义 根据数量积, 力f所作的功w就是力f与位移s的数量积, 即wfs. 一、两向量的数量积上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technology数量积与投影 由于|b|cos|b|cos(a, b), 当a0时, |b|cos(a, b)是向量b在向量a的方向上的投影, 于是ab|a|prjab. 同理, 当b0时, ab|b|prjba. 所以, 对于两个向量a和b, 它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的余弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作a b, 即ab

3、|a|b|cos . v数量积的定义 一、两向量的数量积上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technologyv数量积的性质 (1) aa|a|2. (2) 对于两个非零向量 a、b, 如果 ab0, 则 ab; 反之, 如果ab, 则ab0. 如果认为零向量与任何向量都垂直, 则abab0. 对于两个向量a和b, 它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的余弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作a b, 即ab|a|b|cos . v数量积的定义 一、两向量的数量积上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical techn

4、ologyv数量积的运算律 (1)交换律: abba; (2)分配律: (ab)cacbc. (3)(a)ba(b)(ab), (a)(b)(ab), 其中、为数. 对于两个向量a和b, 它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的余弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作a b, 即ab|a|b|cos . v数量积的定义 一、两向量的数量积上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technology 例1 试用向量证明三角形的余弦定理.要证c2a2b2-2abcos . 则有 ca-b, 从而 |c|2cc(a-b)(a-b) aabb-2ab |a|2|b|

5、2-2|a|b|cos(a, b), 即 c2a2b2-2abcos. 证明 在dabc中, bca, |cb|a, |ca|b, |ab|c, 记cba, cab, abc, 则有 上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technology提示：v数量积的坐标表示 aaxiay jazk, bbxiby jbzk, ab(axiay jazk)(bxiby jbzk) axbxiiaxbyijaxbzik aybx jiayby jjaybz jk azbxkiazbykjazbzkk axbxaybyazbz . abaxbxaybyazbz . 设

6、a(ax, ay, az ), b(bx, by, bz ), 则 上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technologyv数量积的坐标表示abaxbxaybyazbz . 设a(ax, ay, az ), a(bx, by, bz ), 则 设(a, b), 则当a0、b0时, 有 v向量夹角余弦的坐标表示 提示: a b|a|b|cos . 222222|coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababababa222222|coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababababa. 上页 下页 返回 退出 jlin institute

7、 of chemical technology 例2 已知三点m(1, 1, 1)、a(2, 2, 1)和b(2, 1, 2), 求amb. 从m到a的向量记为a, 从m到b的向量记为b, 则amb 就是向量a与b的夹角. 2011|222a, 2101|222b,因为 ab1110011, b(2, 1, 2)- -(1, 1, 1)a(2, 2, 1)- -(1, 1, 1)(1, 1, 0), (1, 0, 1). 解 所以 21221|cosbabaamb. 从而 3amb. 上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technology从而, 所求

8、液体的质量为 pravn.体积为 a|v|cosavn. 这柱体的高为 |v|cos, 解 单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为a、斜高为|v|的斜柱体. 例3 在流速为(常向量)v的液体内有一个平面区域a, n为垂直于a的单位向量, 计算单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的质量p(液体的密度为r).上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technology二、两向量的向量积 设向量c是由两个向量a与b按下列方式定出: c的模|c|a|b|sin(a, b); c的方向垂直于a与b所决定的平面, c的指向按右手规则从a转向b来确定. v向量积

9、的定义右手规则 那么, 向量c叫做向量a与b的向量积, 记作ab, 即cab. 上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technologyv向量积的定义二、两向量的向量积 向量a与b的向量积cab: |c|a|b|sin(a,b); c的方向垂直于a与b所决定的平面, c的指向按右手规则从a转向b来确定. v向量积的性质 (1) aa0; (2) 对于两个非零向量a、b, 如果ab0, 则a/b; 反之, 如果a/b, 则ab0. 如果认为零向量与任何向量都平行, 则a/bab0. 上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemic

10、al technology 在空间直角坐标系中 iijjkk? ij? jk? ki? (1) 交换律: ab-ba; (2) 分配律: (ab)cacbc; (3) (a)ba(b)(ab)(为数). v向量积的运算律讨论：提示： iijjkk0, ijk, jki, kij.上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technologyv向量积的坐标表示 设aaxiay jazk, bbxiby jbzk, 则提示： ab (aybz-azby)i(azbx-axbz)j(axby-aybx)k. azbxkiazbykj. ab(axiay jaz k

11、)(bxiby jbzk)axbyijaxbzik aybx jiaybz jk(aybz-azby)i(azbx-axbz)j(axby-aybx)k. iijjkk0, ijk, jki, kij.上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technologyaybziazbx jaxbyk-aybxk-axbz j-azbyi 利用三阶行列式符号, 上式可写成 记忆方法 (aybz-azby)i(azbx-axbz)j(axby-aybx)k.v向量积的坐标表示 设aaxiay jazk, bbxiby jbzk, 则 ab (aybz-azby)i(

12、azbx-axbz)j(axby-aybx)k. zyxzyxbbbaaa kjiba 上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technology 例4 设a 2i- -3j k, , b i- -j 3k , 计算ab . . 设aaxiay jazk, bbxiby jbzk, 则(aybz-azby)i(azbx-axbz)j(axby-aybx)k. 解 : zyxzyxbbbaaa kjiba kjikjiba-58311132上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technology 解 : : 例5

13、已知 , , 求doab的面积. ji 3oakj 3ob根据向量积的几何意义, 表示以 和 |oboaoaob为邻边的平行四边形的面积, 于是doab的面积为 |21oboaskjikji-33310301oboa因为 191) 3() 3(|223-oboa所以三角形doab的面积为 1921|21oboas上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technology提示： 例6 设刚体以等角速度绕l轴旋转, 计算刚体上一点m的线速度. 刚体绕l轴旋转时, 我们可以用在l轴上的一个向量 表示角速度, 它的大小等于角速度的大小, 它的方向由右手规则定出: 即以右手握住l轴, 当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时, 大姆指的指向就是 的方向. 解 轴上任取一点o作向量r , 并以 表示 设点m到旋转轴l的距离为a, 再在l 与r的夹角, 那么om上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technology设线速度为v, 那么由物理学可知 |v| |a| |r|sin ; a|r|sin . v垂直于