二阶常系数线性微分方程61806

1、一、二阶常系数齐次线性方程一、二阶常系数齐次线性方程 (9.42)的通解的通解二、二阶常系数非齐次线性方二、二阶常系数非齐次线性方程的通解程的通解第五节第五节二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程一般形式为x( ) (9.41)yaybyf x其中a,b为已知常数,f(x)为已知函数.称f(x)为方程(9.41)的非齐次项.方程(9.41)的对应齐次方程为0 (9.42)yayby一、二阶常系数齐次线性方程一、二阶常系数齐次线性方程(9.42)的通解的通解 设方程(9.42)有特解y=ex,其中为待定常数.将2e ,e ,exxxyyy代入方程(9.42),得

2、(+a+b)ex=0由于ex0,故由上式得2+a+b=0 (9.43)称代数方程(9.43)为方程(9.42)或(9.41)的特征方程,特征方程(9.43)的解称为特征根或特征值. 显然,函数y=ex是方程(9.42)的解的充分必要条件是,常数为特征方程(9.43)的解,即为特征根. 由上述分析可知,求方程(9.42)特解的问题转化为求特征方程(9.43)的根的问题. 因特征方程(9.43)是的二次代数方程,故可能有两个根,记为1, 2.下面根据判别式=a24b=0 (9.44)0时,特征根为相异实根:121(),() (9.45)2aa 这时齐次方程(9.42)有两个特解1212e, exx

3、yy因12()12eexxyy常数故特解y1和y2线性无关.因此,方程(9.42)的通解为1212( )e+e (9.46)xxccyy xcc其中1,2由式(9.45)确定,c1,c2为任意实数.(2)=0时,特征根为重根:=1=2=a/2 (9.47)因此,(9.42)有一个特解,y1=ex.直接验证可知, y2=xex是(9.42)的另一特解.因y1/y2=1/x常数,故y1与y2线性无关.因此,方程(9.42)的通解为1212ee()e (9.48)xxxcycc xcc x其中=a/2,c1,c2为任意常数.(3)0时,特征根为共轭复根:12, ii/2, /2 (9.49)a 其中

4、 为虚数单位.1i 直接验证可知,函数12ecos, esinxxyxyx是方程(9.42)的两个线性无关的特解.因此,方程(9.42)的特解为12e (cossin) (9.50)axcycxcx其中,由式(9.49)确定.c1,c2为任意实数.综上所述,求齐次方程(9.42)通解的步骤是:(1)写出特征方程(9.43);(2)求特征方程(9.43)的根;(3)由求出的特征根写出通解,见表9.1.表9.1特征方程特征根通解2+a+b=0相异实根12重实根=a/2共轭实根1,2=i1212eexxcycc12()excycc x12(cos sin)ecxycxcx例例9.11 求方程 的通解

5、.7100yyy解解 特征方程为2 7+10=(2)(5)=0故有两个相异的特征根1=2,2=5.因此,所给方程的通解为251212ee ,(, )xxcyccc c为任意常数例例9.12 求方程 的通解.690yyy解解 特征方程为2+6+9=(+3)2=0故有重根=3.因此,所求方程的通解为31212()e,(, )xcycc xc c为任意常数例例9.13 求方程 的通解.4130yyy解解 特征方程为2 4+13=(2)2+9=0有一对共轭复根,1,2=23i.因此,所求方程的通解为212(cos3sin3 )excycxcx其中c1,c2为任意常数.二、二阶常系数非齐次线性方程的通解

6、二、二阶常系数非齐次线性方程的通解 根据定理9.2(2),求非齐次线性方程(9.41)的通解,归结为求(9.41)的一个特解y,及其对应齐次方程(9.42)的通解y,则y=yc+y*即为(9.41)的通解.上面已介绍求对应齐次方程(9.42)通解的办法,剩下的问题是如何求非齐次线性方程(9.41)的一个特解. 求非齐次线性方程(9.41)特解的一个常用的有效方法是“待定系数法”.其基本思想是,用与(9.41)中非齐次项f(x)形式相同但含有待定系数的函数,因为作为(9.41)的特解,称为试解函数.然后,将试解函数代入(9.41),确定试解中的待定系数,从而求出(9.41)的一个特解.自由项f(

7、x)的常见形式有如下两类:(1) ( )e( ),xmf xp x(2) ( )e( cossin)xf xaxbx其中,a,b为常数,pm(x)的m次多项式,即pm(x)=a0 xm+a1xm1+am1x+am ,a00. 当非齐次项f(x)为上述两类函数时,设试解函数的原则列于表9.2.f(x)的类型取试解函数条件试解函数y*的形式f(x)=expm(x)为常数.不是特征根y*=exqm(x)是单特征根y*=xexqm(x)是重特征根y*=x2exqm(x)f(x)=ex(acosx+bsinx),a,b为常数.i不是特征根y*=ex(acosx+bsinx)i是特征根y*=xex(aco

8、sx+bsinx)注pm(x)=a0 xm+a1xm1+am1x+am为已知m次多项式qm(x)=b0 xm+b1xm1+bm1x+bm为待定m次多项式表9.2例例9.14 求方程 的通解.71012yyy解解 例9.11已求出对应齐次方程的通解为yc=c1e2x+c2e5x下面求非齐次方程的一个特解.因f(x)=12,对应于表9.2中=0(不是特征根),pm(x)=12(零次多项式).故设特解为y*=a,a为待定常数.将y*=a代入所给方程的a=6/5.因此,所求特解为y*=6/5.于是,所给方程的通解为y=yc+y*=c1e2x+c2e5x+6/5其中c1,c2为任意常数.例例9.15 求

9、方程 的通解.69exyyyx解解 例9.12已求出对应齐次方程的通解为yc=(c1+c2x)e3x因f(x)=xex,故对应于表9.2中=1(不是特征根), pm(x)=x(一次多项式).故设特解为y*=ex(b0 x+b1),b0,b1待定系数.将上式代入所给方程,得16b0 x+8b0+16b1=x(16b0 x+8b0+16b1)ex=xex由此可得上式对任意x恒成立,故有16b0=1, 8b0+16b1=0由此解得 .因此,所求特解为0111,1632bb *1e ()1632xxy 1e (21)32xx因此,所给方程的通解为3121()e(21)e32xxycc xx其中c1,c

10、2为任意常数.例例9.16 求方程 的通解.413145sin2yyyx解解 例9.13已求出对应齐次方程的特征根为1,2=23i而齐次方程的通解为yc=(c1cos3x+c2sin3x)e2x因f(x)=145sin2x,故对应于表9.2中=0,=2 (i=2i不是特征根);a=0,b=145.因此,设特解为0*12e(cos2sin2 )xyaxax12cos2sin2axax将上式代入所给方程,得(9a18a2)cos2x+(8a1+9a2)sin2x=145sin2x上述对任意x恒成立,故有9a18a2=0, 8a1+9a2=145解得a1=8,a2=9,因此,所求特解为y*=8cos

11、2x+9sin2x于是,所给方程的通解为y=(c1cos3x+c2sin3x)e2x+8cos2x+9sin2x其中c1,c2为任意常数.注意: 对于f(x)=acosx或f(x)=bsinx,不能设试解函数为y*=a1cosx或y*=a2sinx,而仍应设y*=a1cosx+a2sinx,如上例所示.例例9.17 求方程 的通解.212 exyyyx解解 特征方程为22+1=(1)2=0故有重特征根=1,从而对应齐次方程的通解为yc=(c1+c2x)ex下面求所给方程的特解.由于f(x)=12xex,对照表9.2可知,=1为重特征值,pm(x)=12x为一次多项式.因此,由表9.2可知,应设特解为y*=x2(b0 x+b1)ex由此得3b0 x+b1=6x,此式对任意x恒成立,故有b1=0,b0=2.因此,特解为y*=2x3ex.于是,所给方程的通解为y=(c1+c2x)ex+2x3ex=(c1+c2x+2x3)ex其中c1,c2为任意常数.其中b0,b1为待定常数.将y*代入所给方程,可得(6b0 x+2b1)ex=12xex注意:(1)上面介绍的二阶常系数线性微分方程的求解,可推广到一般的n阶常系数线性微分方程.(2)求常系数非齐次线性方程特解的待定系数法,我们用列表方法给