多元函数极限

1、第一节第一节 多元函数多元函数预备知识预备知识多元函数的概念多元函数的概念多元函数的极限多元函数的极限多元函数的连续性多元函数的连续性function of many variables预备知识预备知识平面点集平面点集,),( 2ryxyxrrr 坐标面坐标面坐标平面上具有某种性质坐标平面上具有某种性质p的点的集合的点的集合,称为称为平面点集平面点集, 记作记作.),(),( pyxyxe具有性质具有性质 邻域邻域 设设p0(x0, y0)是是 xoy 平面上的一个点平面上的一个点,几何表示：几何表示：oxy. p0)()(),( ),(20200 yyxxyxpu,0邻域邻域的的点点 p令令

2、, 0 ).(0pu有时简记为有时简记为2r称之为称之为 将邻域去掉中心将邻域去掉中心, 也可将以也可将以p0为中心的为中心的某个矩形内某个矩形内(不算周界不算周界)注注称之为称之为的全体点称之为点的全体点称之为点p0邻域邻域.去心邻域去心邻域.),(0 pu (1) 内点内点,ep 点点,)(epu 使使e (2) 外点外点 如果存在点如果存在点p的某个邻域的某个邻域),(pu则称则称p为为e的的外点外点.(3) 边界点边界点 如点如点p的的任一任一邻域内既有属于邻域内既有属于e的点的点,也有不属于也有不属于e的点的点,称称p为为e的的边界点边界点.任意一点任意一点2rp 2re 与任意一点

3、集与任意一点集之间之间必有以下三种关系中的一种必有以下三种关系中的一种:设设e为一平面点集为一平面点集, 0 若存在若存在称称p为为e的的内点内点.1p )(1p)(2p2p 3p )(3pe的边界点的全体称为的边界点的全体称为e的的边界边界.使使u(p) e = ,聚点聚点 若点若点p的任一去心邻域的任一去心邻域内总有内总有e中的点中的点则称则称p是是e的的 聚点聚点.(p本身可属于本身可属于e,也可不也可不属于属于e ),平面区域平面区域(重要重要)设设d是是点集点集. 连通的开集称连通的开集称区域区域连通集连通集.如对如对d内任何两点内任何两点,都可用折线连都可用折线连且该折线上的点都属

4、于且该折线上的点都属于d,称称d是是 或或开区域开区域. 开集开集 若若e的任意一点的任意一点都是内点都是内点,例例41),( 221 yxyxe称称e为为开集开集.e1为为开集开集.结起来结起来, 开区域连同其边界开区域连同其边界,称为称为有界区域有界区域否则称为否则称为总可以被包围在一个以原点为中心、总可以被包围在一个以原点为中心、适当大的圆内的区域适当大的圆内的区域, 称此区域为称此区域为半径半径 (可伸展到无限远处的区域可伸展到无限远处的区域 ).闭区域闭区域.有界区域有界区域.无界区域无界区域oxyoxyoxy oxy有界开区域有界开区域有界半开半闭区域有界半开半闭区域有界闭区域有界

5、闭区域无界闭区域无界闭区域按着这个关系有确定的按着这个关系有确定的点集点集d称为该函数称为该函数),(yxfz ) )(pfz 或或称为该函数的称为该函数的 dyxyxfzz ),(),(则称则称z是是x, y的的定义定义若变量若变量z与与d中的变量中的变量x, y之间有一个依赖关系之间有一个依赖关系,设设d是是xoy平面上的点集平面上的点集,使得在使得在d内内每取定一个点每取定一个点p(x, y)时时,z值与之对应值与之对应,记为记为称称x, y为为的的数集数集二元二元( (点点) )函数函数. .称称z为为自变量自变量, ,因变量因变量, ,定义域定义域, ,值域值域. .多元函数的概念多

6、元函数的概念二元及二元以上的函二元及二元以上的函数统称为数统称为记为记为 函数函数 在点在点 处的函数值处的函数值),(yxfz ),(00yxp),(00yxf).(0pf或或类似类似, 可定义可定义n元函数元函数.多元函数多元函数. .最后指出最后指出,从一元函数到二元函数从一元函数到二元函数,在内容在内容和方法上都会出现一些实质性的差别和方法上都会出现一些实质性的差别, 而多元而多元函数之间差异不大函数之间差异不大.因此研究多元函数时因此研究多元函数时, 将以将以二元函数为主二元函数为主. 1解解oxy222221xxyzxy1)1(22 yx定义域是定义域是122 yx且且例例 求下面

7、函数的定义域求下面函数的定义域二元函数的几何意义二元函数的几何意义 研究单值函数研究单值函数二元函数的图形通常是一张二元函数的图形通常是一张曲面曲面.),(yxfz dxyzom xyp多元函数的极限多元函数的极限 讨论二元函数讨论二元函数 怎样描述呢怎样描述呢? oxy (1) p(x, y)趋向于趋向于p0(x0, y0)的的),(yxfz .),(),(000时的极限时的极限即即yxpyxp路径又是多种多样的路径又是多种多样的.注注,00yyxx当当方向有任意多个方向有任意多个, ),(00yx),(yx),(yx),(yx),(yx),(yx),(yx ),(00yx),(yx),(y

8、x),(yxoxy(2) 变点变点p(x,y) 2020)()(yyxx ),(),(000yxpyxp 0 0pp总可以用总可以用来表示极限过程来表示极限过程:与定点与定点p0(x0,y0)之间的距离记为之间的距离记为不论不论的过程多复杂的过程多复杂,),(),(00yxpyxp趋向于趋向于, 0 ,)()(02020 yyxx当当, 0 ),(yxfza 为为则则称称ayxfyyxx ),(lim00记作记作)0(),( ayxf或或)( 定义定义1 1有有成立成立.的极限的极限.时时当当),(),(00yxyx 设二元函数设二元函数 p0(x0, y0)是是d的聚点的聚点. 的定义的定义

9、 ),()(yxfpf 义域为义域为d, 如果存在常数如果存在常数 a, ayxfapf),()(apfpp )(lim0也记作也记作).()(0ppapf或或则当则当 22)0()0(0yx, 0 01sin)(lim),(lim22220000 yxyxyxfyxyx试证试证例例证证 01sin)(2222yxyx22yx 22)0()0( yx2 取取 01sin)(2222yxyx有有证毕证毕.)0(22 yx22221sinyxyx 相同点相同点 多元函数的极限与一元函数的极限的多元函数的极限与一元函数的极限的一元函数一元函数在某点的极限存在的充要在某点的极限存在的充要定义相同定义相

10、同.差异为差异为必需是点必需是点p在定义域内以在定义域内以任何方式和途径任何方式和途径趋趋而而多元函数多元函数于于p0时时,相同点相同点和和差异差异是什么是什么条件是条件是左右极限都左右极限都存在且相等存在且相等;都有极限都有极限,且相等且相等.)(pf当当p(x, y) 沿直线沿直线 y = kx 的方向的方向2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化的不同而变化.所以所以,极限不存在极限不存在无限接近点无限接近点(0,0)时时,设函数设函数证明证明: : 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf例例:( , )(0,0)

11、x y 求证 当时，函数f(x,y)极限不存在.极限极限 是否存在？是否存在？24200limyxyxyx 取取,kxy 解解242yxyx ),(lim0yxfkxyx222243kxkxxkxkx 0lim220 kxkxkxyx242yxyx 444xxx 所以，极限不存在所以，极限不存在.取取,2xy 21例例 求极限求极限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解 22200)sin(limyxyxyx其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 2|22xxyyx y

12、xyxyx2200)sin(lim,222yxyx 例例 求极限求极限 .42lim00 xyxyyx解解 将将分母有理化分母有理化, ,得得 42lim00 xyxyyxxyxyxyyx )42(lim00)42(lim00 xyyx4 多元函数的连续性多元函数的连续性 设二元函数设二元函数 则称函数则称函数定义定义2 2),(),(lim0000yxfyxfyyxx p0(x0, y0)为为d的聚点的聚点, 且且 p0d.如果如果连续连续.),(),(000yxpyxf在点在点如果函数如果函数 f (x, y) 在在d内的内的每一点连续每一点连续,则称函数则称函数在在d内连续内连续,),(

13、yxf或称函数或称函数),(yxf是是 d内的连续函数内的连续函数. 的定义域为的定义域为d, ),()(yxfpf 称为多元初等函数称为多元初等函数,积、商（分母不为零）及复合仍是连续的积、商（分母不为零）及复合仍是连续的.同一元函数一样同一元函数一样, 多元函数的和、差、多元函数的和、差、每个自变量的基本初等函数经有限次四则每个自变量的基本初等函数经有限次四则运算和有限次复合运算和有限次复合,由一个式子表达的函数由一个式子表达的函数处均连续处均连续.在它们的定义域的内点在它们的定义域的内点有界闭区域有界闭区域上上连续连续的多元函数的性质的多元函数的性质至少取得它的最大值和最小值各一次至少取

14、得它的最大值和最小值各一次介于这两值之间的任何值至少一次介于这两值之间的任何值至少一次(1) 最大值和最小值定理最大值和最小值定理(2) 介值定理介值定理在在有界闭区域有界闭区域d上的上的多元连续函数多元连续函数, ,在在d上上在在有界闭区域有界闭区域d上的上的多元连续函数多元连续函数, ,如果如果在在d上取得两个不同的函数值上取得两个不同的函数值, , 则它在则它在d上取得上取得想一想想一想 如何证明如何证明 f( x, y)在在 000)(sin),(222222yxyxyxyxxyyxf设设 证证,022时时当当 yx,)0 , 0(),(时时故当故当 yx.)0 , 0(),(也也连连续续在在下下面面证证明明yxfxoy面上处处连续面上处处连续?22)(sin),(yxyxxyyxf 是是初等函数，初等函数