空间向量基本定理教案

1、学习必备欢迎下载空间向量基本定理教案一、教学目标：1知识目标： 了解向量与平面平行的意义，掌握它们的表示方法。理解共线向量定理、共面向量定理和空间向量分解定理，理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。会用空间向量的基本定理解决立体几何中有关的简单问题。2能力目标： 通过空间向量分解定理的得出过程，体会由特殊到一般，由低维到高维的思想方法。培养学生类比、联想、维数转换的思想方法和空间想象能力。3情感目标： 创设适当的问题情境，从生活中的常见现象引入课题，开始就引起学生的学习兴趣，让学生容易切入课题，培养学生用数学的意识，

2、体现新课程改革的理念之一，加强数学与生活实践的联系。二、教学重点：运用空间向量基本定理表示空间任一向量，并能根据表达式判断向量与基底的关系。三、教学难点：空间向量的分解作图，用不同的基底表示空间任一向量。灵活运用空间向量基本定理证明空间直线的平行、共面问题。四、教学过程1复习引入：在平面向量中，我们学习了平行向量基本定理、平面向量基本定理，请大家回忆一下定理的内容。（找同学回答）由上节课的学习，我们可以把平面向量的线性运算推广到空间向量，那么请大家思考：平行向量基本定理在空间中是否成立？结论在空间中也成立。这就是空间中的“共线向量定理”（板书并投影）注意：向量a0 ； abba 是共线向量的性

3、质定理，baab 是空间向量共线的判定定理；2、问题探究：“ 向量与平面平行”的概念：如果向量a 的基线平行于平面或在平面内，就称 a 平行于平面，记作 a 。学习必备欢迎下载平行于同一平面的向量叫做共面向量 。即可以平移到同一平面内的向量就是共面向量。探究 1：空间中任意两个向量一定共面吗？为什么？探究 2：空间中任意三个向量一定共面吗？请举例说明。探究 3：如果空间中三个向量共面，它们存在怎样的关系？演示空间中三向量共面的情况，引导学生猜想。如果两个向量a, b不共线，则c 与a,b共面的充要条件是存在唯一的一对实数x, y，使得cxayb 。猜想的结论需要证明（提醒学生充要条件的证明要从

4、“必要性”、“充分性”两方面进行）（屏幕展示证明过程）这就是共面向量定理： （板书并投影）注意：三个向量共面，又称三个向量线性相关，反之，三个向量不共面, 则称三个向量线性无关。可用来证明四点共面问题。3、问题探究：由共面向量定理知，空间向量 c与a, b共面，则 c可以用 a,b线性表示，当 c与a,b不共面时，还能用 a,b线性表示吗？4、猜想探究：类比平面向量基本定理，引导学生猜想三个不共线向量如何表示空间中任一向量。通过演示课件引导学生猜想空间向量分解定理。空间向量的分解定理：如果三个向量a 、 b 、 c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一的一个有序实数组x, y, z ，使得

5、pxaybzc 师：若猜想正确，则给出证明，若猜想不正确，先给出定理，再证明。板演证明：（存在性和唯一性两方面）唯一性用反证法证明： 若另有不同于x,y,z的实数x1,y1,z1满足OP = x1 a +y1 b+ z1 c ，则 x a +y b +z c = x1 a +y1 b+ z1 c ，即 (x x1)a +(y y1)b +(z z1)c = 0 , 又 a 、 b 、 c 不共面，则x x1=0， y y1=0， z z1=0，所以 x,y,z 是唯一的实数。这样，就把平面向量的基本定理推广到空间向量的基本定理。6、深化探究：表达式 xaybzc 叫做 a,b, c 的线性表达

6、式，或线性组合；学习必备欢迎下载相关概念：其中 a 、 b 、 c 叫做空间向量的一个基底，a 、 b 、 c 都叫做基向量。牛刀小试 ：（对于空间向量的基底 a 、 b 、 c 的理解）1 基底 e1 ,e2 ,e3 的三个向量 e1 ,e2 , e3中允许有 0，但不能全为 0.2 只要是 e1,e2, e3不共面，就可以作为空间的一个基底.3 O, A, B,C为空间四点，且向量 OA, OB,OC不构成空间的一个基底 ,那么点O, A,B, C必定共面。提醒学生注意：空间任意不共面的三个向量都可以作为向量的基底，基底不唯一；三个向量不共面，隐含它们都是非零向量；基底是一个集合，一个向量

7、组，基向量是基底中的某一向量。通常选择共点不共面的三个向量作为空间向量的基底。若 a 、 b 、 c 是空间向量的一个基底，则由这三个基向量还能生成其它的基底。引导学生举例说明，结果不唯一，通过思考培养学生的发散思维。如 :a + b 、 a + c 、 b +c ； 2 a +3 b 、 4 c 、 b 等构成向量的基底。思考：在 OP = x a +y b + z c 中，特别地，当x=0, 则 p 与 b 、 c 共面；若y=0，则 p 与 a 、 c 共面；若 z=0，则 p 与 a 、 b 共面。 当 x=0, y=0 时， p 与 c 共线；当 x=0, z=0 时， p 与 b

8、共线； 当 y=0,z=0 时， p 与 a 共线 . 这说明每一次维数增加了，高维数的定理不但发展了低维数的定理，并包含了低维数的结论，使得原来的定理仍适用，这种发展是继承的发展，是合理的发展。7例题A 1D 1例 1已知平行六面体 ABCD A' B'C ' D ' 中，设 AB =a ，B 1C1AD = b ， AA 1 = c ， 试用用基底 a 、 b 、 c 表示以下向量：（1） AC '，（2） BD ' ，（3） CA ' （4） DB 'ADBC这是空间分解向量定理的直接应用，选定空间不共面的三个向量做基底，并

9、用它们表示出指定的向量，是向量解决立体几何问题的一项基本功。解题时要结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，表示所需向量。8课堂练习：学习必备欢迎下载A1D1已知平行六面体ABCDA' B 'C ' D '中，设 AB = a ，B1C1AD =b ， AA 1 = c ， O为 AC 的'中点， 试用用基底 a 、 b 、 c 表示以下向量： （ 1） AO ，（ 2） BO ，AD（ 3） OA'（4） OB 'BC9课堂小结：引导学生从数学知识和思想方法两方面进行小结。10课后作业：必做：课本85页练习 B：1 2 3思维训练：1有下列 4 个命题：若 p 与 a、 b 共面，则 p xa yb；若 P、M、 A、 B 共面，则 MP xMA yMB .若 p xa yb，则 p 与 a、 b 共面；若 MP xMA yMB，则 P、M 、 A、 B 共面；其中真命题的个数是()A 1B 2C 3D 42如图所示，在平行六面体 ABCD A1B1C1D 1 中， M 为 AC 与 BD 的交点，若 A1B1 a，A1D 1)b，A1