第9章不确定性设计技术

1、第九章 不确定性设计技术9.1概述现实生活中的产品从设计、生产到报废的整个寿命周期中都充满了不确定性，例如在产品设计阶段，由于设计知识的缺乏或者对设计对象的不完全认知性，从而产生了基于模型的预估结果与真实结果的不一致性，而在对设计产品的决策过程中也存在一定的模糊性，这就构成了工程产品设计问题的不确定性。这些不确定性因素对产品的质量均有着不同程度的影响。一些大型的复杂系统，如飞行器、汽车和核电设备，如果对于其中的不确定性因素估计不足，则可能导致出现灾难性事故，造成重大损失。所以，不确定性因素必须在设计阶段就子以重视和考虑。不确定性设计是设计理论发展的一个重要方向。由于传统的确定性设计方法无法定量

2、计入不确定性因素的影响，因此所设计的产品要么由于对系统参数不确定性过于敏感而不能稳定地发挥其效能，要么由于采取过于保守的措施而不经济。传统工程设计将系统中不确定性量假定为确定性量，本质上是用该变量的均值来表示。由于忽视了系统本身固有的不确定性因素，这种设计优化所追求的最优解只具有相对或数学上的意义，或仅在非常狭小的范围内存在，而对于复杂系统的设计是不存在真正意义上的最优解。这首先是因为评定方案优劣的标准具有模糊性和主观性，以及随时间和条件而变的随机性，其次是由于作为寻优基础的各种信息和模型具有不确定性。传统的确定性设计方法中未能引入对于不确定性因素的影响，为了克服确定性设计的不足，自上世纪下半

3、叶以来各种不确定性分析与设计理论和方法得到了迅速发展，并在工程中取得了显著成效。飞行器设计中存在大量的不确定因素，主要来源于结构、参数和学科模型定义时的不明确，针对模型或方法简化后所定义的假设条件，仿真过程固有的随机性和仿真误差等。这些不确定性对设计目标和约束均产生一定的影响。图9.1给出了不确定性对最优设计目标的影响。图9.1 不确定优化设计和确定性优化设计比较可以看出，不确定性设计追求的是一个稳健的综合设计目标。相对于确定性设计来说，不确定性设计具有如下潜在优势：1）分析工具的可信度将增加不确定性设计方法是否具有使分析工具更加科学，这一点尚有争议。要达到这一目的，需要一套较为全面的用于评价

4、不确定性的策略。现在大多数计算学科的重点在于描述并处理发散和收敛偏差，以及通过试验数据来修正计算程序。这种狭窄的研究视野必须被拓宽，从而能提供对不确定性的完整描述，亦可增加分析与工程管理人员的信心。2）设计循环的周期、成本、以及风险都将减小减少设计周期的关键在于避免过度计算。在了解不同层次仿真程序的不确定性前提下，就可以采用能满足工程不确定性设计要求的最快的分析程序进行设计。换句话来说，不确定性设计方法允许在计算成本与计算不确定性之间进行定量的权衡。更进一步来说，预先了解更多的关于分析工具的不确定性可以有效提高风险试验的利用效率。3）在保证可靠性需求的同时会使系统性能得到提高为确保安全性能，目

5、前的飞行器设计均采取了保守处理。基于不确定性的设计方法能够在保证可靠性或者安全性能的同时使系统性能得到提高。工程上已经证实了能够在不牺牲安全性能要求的同时减轻结构重量，反之，在重量相同的情况下可以提高系统性能。4）设计结果更为稳健基于不确定性的优化方法能得到更好的设计，它可以减小源于系统操作、生产条件变化以及设计工具自身的不确定性对产品的影响。5）可以从本质上对系统进行评估基于不确定性的设计方法能提供一套用于评价与分析系统及其子系统在异常或破坏情况下工作性能的系统分析工具。这一类方法能被用于确定和识别系统性能的失效与退化状态。9.2不确定性设计理论9.2.1基本概念假设系统输入为=，而系统输出

6、为，n与m分别表示与的维数。系统模型用来描述输出与输入之间的关系。不确定性分析的任务就是找出系统输出分布与输入分布的关系。当系统模型形式比较简单，且输入变量服从某种简单的分布规律时，可以基于概率理论获取输出分布的近似结果。但是，在许多情况下，当这种近似结果很难获取的时候需要采用其他的方法。获取不确定性输入对系统输出影响的方法通常被称为不确定性传播（Uncertainty Propagation）或不确定性分析（Uncertainty Analysis）方法。下面对不确定性的基本概念进行介绍。定义9.1 不确定性（Uncertainty） 指物理系统或环境内在的可变性、模型预估与真实结果的不一致

7、性和设计问题描述及决策过程中存在的模糊性。定义9.2 不确定性建模（Uncertainty Modeling） 指采用不确定性数学方法和其他方法描述并量化不确定性的过程。定义9.3 不确定性分析（Uncertainty Analysis） 指已知设计不确定性类别及其建模方法，对系统输出性能的不确定性进行评估。定义9.4 设计稳健性（Robust） 又称鲁棒性，指系统性能相对于设计不确定性具有稳定性，即系统性能对设计不确定性不敏感。定义9.5 设计可靠性 指系统设计结果满足系统设计约束的能力。定义9.6 设计可靠度 指系统设计结果满足系统设计约束不确定性事件的测度。设计可靠度可用下式表示 （9.

8、1）式中，表示系统设计结果满足系统设计约束不确定性事件，表示不确定性测度。依据系统不确定性事件的属性和设计不确定性建模方法，不确定性测度可选择概率测度、可信性测度、机会测度或类概念测度等。定义9.7 确定性设计优化 指在设计优化过程中，不考虑系统存在的各种不确定性，直接根据设计空间、约束条件和目标性能进行优化。数学模型表述如下 （9.2）其中，和分别为设计变量和系统参数，和分别为设计变量的上下限，为优化目标函数，为不等式约束，为等式约束。定义9.8 不确定性设计优化 指在设计优化过程中考虑系统设计变量、系统参数、分析模型等不确定性因素的影响，以获得可靠的、稳健的优化设计方案。定义9.9 稳健设

9、计优化（Robust Design） 稳健设计通过减小（而不是忽略）造成产品性能波动因素的影响来改进产品性能，从而达到提高产品质量、保持性能稳定、降低制造成本的目的。稳健设计优化问题要求性能目标函数的方差或偏差最小，即通过选择适当的设计变量，减少由于其扰动引起的性能变化，并满足设定的约束条件，稳健设计优化的数学模型表述如下 （9.3）其中，为设计变量向量，为的变化容差，为系统参数，也可能具有不确定性。和分别为目标函数在不确定性设计变量和系统参数影响下的均值和标准差。为优化目标的加权因子，可根据应用需要进行调整。和分别为和的比例因子，用于对和的大小进行调整，使两个目标的大小在一个量级上，从而使优

10、化目标能够综合体现两个目标的性能。由上式可以看出，通过将目标函数标准差加入优化目标，使系统性能的标准差尽量小，从而达到设计稳健的目的。定义9.10 基于可靠性的设计优化（Reliability Based Design） 主要对设计方案的满足约束可靠度进行考虑，要求在性能最优点，在不确定性设计变量和系统参数的影响下，满足约束的概率达到预定可靠度要求。基于可靠性的设计优化数学模型表述如下 （9.4）其中，和分别为满足不等式约束和等式约束的可靠度要求，为大于0的一个小量，用于对等式约束的容差进行限制。在不确定性设计优化中，如果需要得到同时满足目标函数稳健、约束条件可靠的最优方案，则需要对稳健设计优

11、化和基于可靠性的设计优化进行综合，数学模型表述如下 （9.5）如果在设计优化过程中，除了目标函数具有稳健性要求外，还有其他表征系统性能的状态变量具有稳健性要求，记为，则可将这部分状态变量的标准差也作为目标进行优化，数学模型表述如下 （9.6）9.2.2不确定性设计方法分类考虑不确定性的设计技术主要分为两类，即稳健设计与可靠性设计。不确定性设计的两个关键因素是不确定因素频率（扰动）和不确定因素造成的影响（性能影响）。若不确定性因素的小扰动就可导致系统失效，则不存在可行的系统；作为替代，可以选择一个性能对不确定性因素不太敏感的系统，即对每一个小扰动具有稳健性。另一方面，若设计人员期望系统性能在不确

12、定性因素的极限扰动下仍不大可能失效，则应采用可靠性设计方法。如图9.2（a）所示。稳健性的设计目标是寻求一个对不确定性变量有小扰动相对不敏感的设计，而可靠性设计则是寻求一个系统失效概率小于某一特定值的设计。稳健性和可靠性都考虑不确定性因素对系统性能的影响，只是稳健设计侧重于保证性能，而可靠性设计侧重于系统失效的可能性。稳健设计处理在概率密度函数均值附近的事件分布，可靠性设计则处理在概率密度函数尾部的事件分布，如图9.2（b）所示。（a）不确定性设计问题分类 （b）概率密度意义下的可靠性与稳健性图9.2 不确定设计分类说明图1）稳健设计影响产品质量的因素主要可分为两类：一类是在设计中人们可以控制

13、的因素，如设计变量、变量的容差等；另一类是噪声，是由生产条件、使用环境及时间等的变差而影响产品质量的因素，其基本特点是具有不确定性(随机性和模糊性)，是一些不可控因素。工程稳健设计的目的就是如何利用干扰因素与产品质量间的非线性效应，通过调整设计变量及控制其容差，使产品或系统的功能函数具有较好的稳定性(不灵敏性)，即具有较强的抗各种噪声的能力。稳健设计（Robust Design）最早由日本学者Taguchi提出，其基本思想是在不消除或不减小不确定性源的前提下，通过对设计参数的合理设计使不确定性因素对产品质量的影响尽可能小。随着计算机技术和数值方法的普及和发展，Taguchi方法注入了许多新的内

14、容。稳健设计在20世纪80年代后逐步发展成为机械设计领域中的重要分支。现代稳健设计思想是，在追求系统性能优化的同时尽可能使性能偏差最小化，设计可行性、稳健化。这其中既包括了优化设计中的性能优化，也包括了优化设计中的设计约束满足的稳健性问题。目前稳健设计的方法大致可分为两类，一类是基于实验设计的方法，另一类是基于工程模型的方法。Taguchi方法是基于实验设计的最早的一种方法，随后响应面法、双曲响应面法、广义线性模型法先后出现，并用于稳健设计。基于工程模型的方法本质上将工程模型与优化技术相结合，通过优化计算实现产品质量性能的控制。基于工程模型的方法有容差多面体法、容差模型法、随机模型法及灵敏度法

15、，基于质量成本模型的混合稳健设计等。2）可靠性设计可靠性设计最早出现于机械设计领域，由于其工作条件比较恶劣，使用条件苛刻，应力因素多种多样，最终导致性能下降等功能性故障。随着对产品可靠性要求的提高，可靠性设计逐渐得到了工程技术人员的重视。可靠性设计是在原理设计方案基本确定的情况下，综合考虑设计变量的不确定性等因素，使之满足可靠性指标的一种设计方法。产品可靠性设计的重要任务是从产品设计一开始，设法使系统在规定的使用条件下完成规定任务，目的是使设备或系统在设计上达到要求的性能、可靠性和费用之间综合平衡。目前可靠性设计方法较多，较典型的三种方法有：传统的双循环方法（Traditional Appro

16、ximation Method，TAM），单循环单变量方法（Single Loop Single Variable Method，SLSV），次序优化与可靠性评估方法（Sequential Optimization And Reliability Assessment，SORA）。其中SORA方法将可靠性分析与确定性优化分开次序进行，实践表明它是一种较为有效的可靠性设计方法。可靠性设计中有一个较为关键的环节是可靠性分析（概率分析），即计算某一设计点的可靠性，或是MPP（most probable point）的搜寻。这一过程本身即为一个复杂的优化过程，除可以采用传统的非线性规划方法求解该问题外

17、，研究人员还提出了其它的一些方法如AMV (advanced mean value)、CMV (conjugate mean value)、HMV (hybrid mean value)、DD (diagonal direction)方法等。9.3不确定性分析和优化方法不确定性分析是不确定性设计优化的重要环节，用于获得在设计变量和系统参数不确定性的影响下，系统性能和约束的不确定性分布特性。9.3.1可行性的稳健程度评估方法稳健设计通过减小（而不是忽略）造成产品性能波动因素的影响来改进产品性能。稳健性设计的目标可以描述为“优化性能均值”与“减小系统性能波动”（式9.3）。设计目标稳健性的描述方法

18、固然重要，但对于稳健性设计来说，最重要的问题是在不确定性环境下保持设计可行性，即稳健的可行性。对于航空航天领域，我们首要关心的是设计具有稳健的可行性，其次才关心提高设计目标。例如，对于机翼结构设计来说，严格满足强度约束的要求（受随机参数控制）要远比达到设计目标的稳健性（如减小重量等等）重要。因此，在不确定性设计优化中，则需要对稳健设计优化和基于可靠性的设计优化进行综合，既要保证设计目标的稳健性又要保证约束的稳健性（式9.5）。为此，稳健设计首要解决如何评估可行性稳健程度的问题。目前，有许多方法可以用来评估可行性的稳健程度，如概率可行性分析、矩吻合方法、最差情况分析法、角空间评估方法、以及方差模

19、式法等，但各种方法的效率与准确性难以预测，因此，工程中常常使用一些简单的方法，如一阶泰勒展开式和最差情况分析方法。可行性稳健程度的评估是一项非常复杂和耗费时间的过程。在可接受的计算效率前提下，需要选择高效的约束模型描述方法，从而保证评估准确性。（1）基于概率与统计分析的方法1）概率分析法由式9.5可以看出，稳健设计中的可行性即为满足约束的概率大于或等于某个用户定义的概率。以下是一般性的概率可行性表达式： （9.7）其中，为满足不等式约束j的概率或可靠度要求。如果所有不确定性设计变量和系统参数的分布已知，则满足约束的概率可通过下式计算 （9.8）其中，为设计变量与参数的联合概率密度函数。由于和的

20、维数高，的区域难于准确描述，上式很难获取解析解或数值解。如果知道该函数的概率分布，则上式可变为 （9.9）实际应用中，很难获取，因此该方法的应用范围十分有限。对于一些典型的变量分布情况（例如正态与对数正态），将它们用于简单约束函数以及低维问题时，一般能够获取最终的概率表示。2）概率分布矩匹配法为了减轻概率可靠性评估的计算负担，工程中使用了大量简化方法。其中之一就是概率分布矩匹配法（The Moment Matching Formulation）。该方法用于对约束可靠度进行近似估计，并对约束条件进行可靠性等效处理。记约束的均值为，标准差为，假设约束为标准正态分布，则约束的可靠度可近似计算如下，

21、（9.10）根据设计优化的可靠度要求，可将约束条件等效如下： （9.11）其中，为满足不等式约束j的概率或可靠度要求。例如，对于，则取；对于，则取。还有一些方法同样可以用来估计与。一种简单的方法就是利用约束函数在与均值处的泰勒展开式获取。如下所示： （9.12） （9.13）（2）非概率方法1） 最差情况分析法最差情况分析法（The Worst Case Analysis）是稳健设计中用于可行性评估的另外一种简单方法。该方法假设所有不确定性设计变量和参数的不确定性扰动最坏情况可能同时发生，并假设当所有变量和参数为扰动最坏组合情况下系统违反约束的可能性最大。约束的最大扰动范围可通过一阶泰勒展开式

22、进行计算。如果已知条件只给出不确定性变量的变化区间，则可通过下式进行计算 （9.14）由构造可以保持可行性，约束条件变为： （9.15）最差情况下分析所得的结果往往趋于保守。另外，在给定参数波动区间时，使用泰勒展开式确定极值情况（如性能最大值与最小值）的结果并不准确。尽管如此，由于最差情况分析方法的形式和求解简单，使其在不确定性设计优化中仍被大量采用。2） 角空间分析法角空间分析法（The Corner Space Evaluation）与最差情况分析法的思想类似，它不要求精确描述随机变量的分布，由Sundaresan 等于1993年提出。两种方法的区别在于，后者将设计变量与设计参数的方差转换

23、到约束函数的途径与前者不同。假设设计变量X的变化区间为X，不确定性参数P的变化区间为P。定义容差空间（Tolerance Space）为一组接近目标设计点的点集合，而点集合的每一个点代表由于各设计变量的不确定性造成的一种可能性组合 （9.16）定义角空间（Corner Space）由容差空间的所有角点组成，表示如下 （9.17）为了保持设计可行性，X的值应该在可行区域内。这可以通过保持角空间始终在约束范围内来实现，如图9.3所示。由此可将约束条件等效表述如下 （9.18）图9.3 二维问题的角空间分析法示意图如果变量的分布已知，可以较精确地获取容差X与P。例如，对于正态分布的随机变量，在置信度

24、99.87%情况下容差可以选择为3。该方法不需要计算约束函数对各个不确定性设计变量和参数的偏导数，计算简单，便于使用。但是，该方法没有对实际约束满足可靠度进行计算，可能出现角空间均在约束可行范围内但实际可靠度不满足要求的情况。3） 方差模式分析法图 9.4 二维问题方差模型分析法示意图在角空间分析法的基础上，方差模式分析法（The Variation Patterns Formulation）进一步考虑随机变量之间的相关性，对变量的可能组合及其约束的影响进行分析。该方法中， VP（）表示随机变量置信度参数为时可能的变量组合，表示设计变量分布在方差模式（Variation Pattern，VP）

25、之外的概率。该模式的形状由变量分布决定，模式尺寸由置信度参数决定。例如，对于具有相关性的两变量标准正态分布情况，其模式形状为椭圆形，如图9.4所示。根据方差模式空间VP（）的分布，对不确定性设计优化的不等式约束进行等效处理，表述如下 （9.19）该方法比角空间法更能准确描述不确定性变量的临近变化空间，但是在使用该方法时，如果模式的形状不规则，那么稳健设计点的搜索将非常困难。（3）抽样方法1） 基于仿真的抽样方法基于仿真的抽样方法主要指蒙特卡罗取样（MCS）方法，该方法是最精确的不确定性分析方法，可获取系统输出的均值、方差、分布函数和密度函数等。在置信度为100（）条件下，随机模拟抽样误差与抽样

26、数和失效概率的近似关系为 （9.20）其中，为标准正态分布的分位数。当选取置信度为95时，上式近似为 （9.21）如果1，则。可见抽烟数目足够大才能保证概率计算的准确性。由于抽样数目过多，极大地增加了计算复杂度，因此，以蒙特卡罗法为基础，又进一步发展形成了改进的抽样方法，包括重要性抽样法（Importance Sampling），基于最大似然点MPP的重要性抽样法等。2）基于最佳点（Most Possible Point，MPP）的重要性抽样法可行性概率表述是描述稳健可行性的一种很好方法，在设计人员能对参数方差加以描述时，它能够保证结果以一定准确度水平满足约束。可以采用上一节提到的基于MAMV

27、方法的可靠性评估方法描述可行性概率。当最佳点（MPP）确定以后，可采用FORM与SORM来直接评估设计可行性。由于FORM与SORM可能会引入一些由于近似带来的误差，我们推荐一种基于MPP的重点取样方法，它能在适度增加计算负担的情况下，以较高的准确性得到稳健可行性的评估结果。基于最佳点法（MPP）的重点取样方法步骤如下：1) 在给定临界状态函数情况下，通过扩展后的用于可靠性评估的MAMV方法获取MPP。2) 通过重点取样方法在MPP附近选取一些样点进行模拟取样。基于蒙特-卡罗取样（MCS）方程，最终的概率评估公式可以表述为： （9.21）上式中，N为模拟规模，为与的取样点， （9.22）对于重

28、点取样方法，引入重点取样密度到式（9.21）中，可得： （9.23）一种估计式（9.23）所示积分的蒙特-卡罗算法是从中取出一系列样点来评估概率，如下式： （9.24）重点取样方法可以在U-空间中进行，取样密度与标准正态分布保持一致且其均值与MPP重合，如图9.5所示。可以看出，大概有一半的样点落在不可行区域内，另一半则在可行区域内。可以通过这种方法显著改善评估效率。对于同样的置信度水平以及同样的误差，如果满足约束的概率设定为0.99，一般MCS方法与基于MPP的重点取样方法的计算量之比将为99：1，当满足约束概率设置为0.999时，两者之比将增长为999：1。图9.5 重点取样法在U-空间中

29、的取样当可行性概率的评估成为一个不断重复的稳健设计过程的一部分时，在优化过程中使用这种方法，会大大提高计算效率。当安全性能指标能近似反映满足约束概率（越大，此概率越高），且MPP搜索中所获得的与要求概率相距甚远时（例如要求概率为0.95，而），为了减小计算负担，可以在不断循环的优化中使用作为近似概率。这种情况下，不需要进一步的取样工作。在取样过程中，最好能通过预先设置的具有某一置信度水平的指定误差来决定模拟次数。系统将不断追踪落入可行区域的取样数目并且计算由于随机性造成的模拟误差。如果该误差小于设计人员在一定置信度水平下确定的可接受误差，则终止取样过程，得到概率估计结果。（4）各种方法的比较如

30、果忽略计算负担，使用解析微分方法或是蒙特卡罗抽样方法的可行性概率评估方法是描述稳健可行性最理想的方法，它能确保结果以一个较为准确的水平满足约束。但是，MCS方法来估计满足约束的概率是非常消耗计算资源的。通过基于MPP的重要性取样方法，取样数目将得到明显的减少。在牺牲一定准确率的情况下，结合FORM与SORM的MAMV方法能够进一步提高效率。概率分布矩匹配法相对于可行性概率评估来说具有更高的计算效率，如果设计过程需要考虑计算消耗的问题，则可以考虑使用概率分布矩匹配法等方法。在系统性能为正态分布时，矩匹配方法较为准确。另外应该注意的是，对于同样一个约束函数，使用不同的数学构造形式时，由于一阶泰勒展

31、开式的差异，可能会使矩匹配方法得到不一样的结果。非概率方法能够较好地适用于变量和参数分布无法得到的问题。这种情况下最差情况分析方法是一个好的选择。尽管该方法的评估趋于保守，但在某些可行的设计区域仍然有可能违背约束情况出现。为避免统计分析或是约束函数的偏微分计算，可以采用角空间分析方法或是方差模式分析法。这些方法的准确性依赖于约束函数在容差空间对于所有设计变量的单调性，以及设计变量的容差是造成波动的唯一来源。这两种方法的局限性在于不能提供满足约束的分布信息。9.3.2基于MPP和可靠性的不确定性分析方法（1）最佳点法（MPP）的概念MPP的概念源于上个世纪70年代的结构分析。结构可靠性中，系统输

32、出通常为性能指标、相关载荷以及应力参数X的函数。Z=g（X）被称为临界状态函数。失效界面或者是临界区域可以被定义为g（X）=0。在随机变量空间中，它位于失效与安全的边界。g（X）>0，则结构安全，g（X）<0，则结构不能满足设计函数的要求。图9.10为二维问题临界状态。一个临界状态可以为随机变量X的直接或间接函数，并且可以有简单或者是复杂的形式。图9.10 二维问题的临界状态失效概率定义为积分： （9.25）式中，为的联合概率密度函数。最终在失效区域进行多重积分获取失效概率。可靠度R由下式给出： （9.26）由于式（9.25）中的多重积分难以实现。因此通常采用MPP的概念来近似计算

33、此多重积分。在形式上MPP方法是由独立的标准正态向量组成的坐标系统。将输入随机设计变量（X-空间）转化为标准正态分布空间（U-空间）。最常用的转换公式如下： （9.27）其中，为标准正态分布函数的反函数。由式9.27可以看出，该转换保证了CDF在X-空间与U-空间的同一性，如图9.11所示。图9.11 X-空间和U-空间的转换关系转换后临界状态函数可以表示为： （9.28）定义为U-空间中从原点到失效界面的最短距离。因此式（9.28）是一个具有等式约束的最小化问题： （9.29）图9.12 MPP点在U-空间的联合概率密度分布此最小化问题的解即称为最佳点MPP（Most Probable Po

34、int）。由图9.12中可以看出，在MPP处联合概率密度函数具有极大值，因此，在标准正态空间中，MPP点最适合于获取临界状态函数的值。最短距离通常被称为可靠性分析中的安全指标。MPP点成为了评估可靠性或者失效概率的关键点。如果临界状态函数是线性的，则对于临界状态的精确估计如下方程所示： （9.30）式（9.30）提供了安全指标或最短距离与概率评估之间的一种简单关系。如果是非线性的，在临界状态曲面的曲率不太大的情况下，通过上式仍然能够得到一个较好的近似结果。如果临界状态函数高度非线性，可采用概率的二阶近似作为MPP的计算函数。通常采用的二阶近似为抛物线或椭球函数，其中，基于椭球函数的近似最简单，

35、如下式所示： （9.31）式中，表示临界状态函数在MPP点的曲率。（2）R百分点和MPP 对于一组随机向量。设为系统输出模型，不确定性分析的描述为：给定：系统输入的分布求出：系统输出的分布如果仅关心“系统输出超出临界值z”这一事件的概率而不是其概率分布，不确定性分析可以如下表达：给定：系统输入的分布寻求：系统输出大于或等于某值z的概率：。称为可靠性。为简单起见，我们使用临界值0来代替z，则有。如果临界值z不为零，则可以定义新的临界状态。首先，采用MPP概念解决可靠性问题的逆问题给定可靠度R情况下，确定临界状态的百分点。令系统性能g（X）大于或等于定值的概率为R，称定值为g（X）的R百分点。如下

36、式： （9.32）.图9.13描述了g的概率密度函数。当阴影区域面积等于要求可靠度R时，则g轴上的左端点即为R百分点。R百分点表示在指定可靠度R水平下系统的性能。图9.13 性能的概率密度函数当采用MPP概念来评估的R百分点时，关键在于用给定的可靠度R确定MPP点的位置，从而基于不确定性的可靠性分析可描述为：给定：1) 可靠性R或可靠度指标2) X的分布规律3) 临界状态函数Z=g（X）寻求：MPP点图9.14 g(U)值最小对应MPP点以上问题的逆问题可描述为：寻求U-空间中半径为的超球面上的MPP点，使得函数g（U）的值最小，如图9.14所示。数学上，该逆问题可以表述成为一个极小化问题：

37、(9.33) 确定MPP点以后，R百分点可以通过下式计算： （9.34）该式中，函数g在MPP点取值。（3）在球面中确定MPP点的方法1）采用传统的优化过程如式（9.33）所示，在满足约束条件下，寻求MPP使目标函数最小的优化，可采用传统的优化过程，基于优化算法获得，如可行方向法（MFD）、序列线形规划（SLP）、序列二次规划法（SQP）等。但是在某些实例中，采用传统的优化过程寻找MPP并不是十分有效。传统优化搜索过程中，新一轮的搜索起始点基于上一轮搜索点的扰动获得。而以下所提到的方法中，新一轮对MPP的搜索总是从U-空间的原点出发，而搜索方向则基于上一轮或上几轮的结果。2）先进均值方法（AM

38、V）采用以下迭代公式： （9.35）上式中，如下所示： （9.36）上式中，即为g（U）在处的梯度。对于凸性临界状态函数，该方法具有良好的性能，它能够在经过少数几轮搜索之后就找到结果。但当它用于凹性临界状态函数时，往往暴露出很多缺陷，如收敛较慢或难以收敛等。3）对角线方向法（DD）在AMV方法中，只有g（U）在处的梯度信息被用于寻找下一个。通过使用g（U）在处的梯度信息，以及向量自身，从而改进了AMV方法。新的搜索方向为由与构成两边的平行四边形的对角线方向。迭代算法由下式给出： （9.37）相对于AMV方法，DD方法更具稳健性，也适用于凹性函数。但是DD方法对于高度非线性问题仍存在收敛困难的问

39、题。4）变化均值方法（CMV）为了克服AMV方法的缺陷，Choi和Youn（2001）提出了一种变化均值的方法（CMV）。通过采用前面三个MPP（，以及）的信息而不是现有MPP的相关信息（g（U）在的梯度）来产生新的搜索方向。新的搜索方向由，以及的不同权值组合产生，如下式所示： （9.38）上式中，定义与AMV方法中一样。 该方法的优点在于，对于凹性临界状态函数问题，比AMV方法收敛速率高且稳定性更好。但是CMV方法对于凸性函数来说往往无效。由于原问题（9.33）为一个极小化问题，CMV方法并不使用极小值作为收敛准则，因此该方法不能保证找到合适的MPP。它可能会终止于临界状态函数的极大点或是鞍

40、点。5）混合均值方法（HMV）为了有效、稳健地寻求MPP，Choi和Youn（2001）结合AMV方法与CMV方法，提出了另一种混合均值方法。假如临界状态函数带凸性，则使用AMV方法；否则，使用CMV方法。关于判断目标函数在当前点为凸性或凹性的方法如下： （9.39）上式中，定义与AMV方法中一样，为第k+1步处时函数特性判定准则，则为凸，采用AMV方法；反之为凹，采用CMV方法。6）改进的先进均值方法（MAMV）MAMV方法是在AMV方法的基础上进行改进，弥补了AMV方法的不足。包括使用最速下降方向作为搜索方向、最速下降方法搜索无结果时进行相反方向的搜索、以及采用在数值微分计算时取用合适的步

41、长等。l 效率：经过少量的迭代次数即能找到MPP；l 稳健性：对于非常规临界状态函数也能找到MPP。a. MPP条件如式（9.35）所示，MPP是在最初的AMV方法中通过Kuhn-Tucker条件获取的，为-球面与U-空间中临界状态界面的切点。该点处向量连接MPP点与原点，且与函数的梯度重合（图9.15为二维情况）。与之间的夹角为： （9.40）基于（9.35）的原始AMV方法，在MPP处，夹角应该为零。以下为MPP的两步搜索过程。第一步为沿最速下降方向搜索MPP，当沿该方向的搜索使临界状态函数增加时，执行第二步，逆向搜索。下面作详细讨论。图9.15 二维空间的MPP条件b. 沿最速下降方向搜

42、索MPP如果事先没有给定MPP的起始点，则程序从原点出发，假设当前点为（k表示搜索MPP的第k次迭代）。首先，最速下降方向被用于获取新的一点，如下所示： （9.41）由于最速下降方向仅在点附近适用，所以有必要检验由（9.41）式所获得的临界状态函数值。如果，则搜索成功且可以继续使用（9.41）式进行下一轮迭代。如果，则表明相对于来说并无改进，需要进行逆向的搜索以获取新的点，它的临界状态函数值是减小的。c. 逆向搜索图9.16 二维问题逆向搜索过程如图9.16所示，逆向搜索是为了搜索位于-球面和由与确定的平面相交部分的临界状态函数最小值点。显然，该平面经过原点且搜索路径为-球面中的一段弧。再由（

43、9.40）可得： （9.42）则，为 ： （9.43）整个搜索公式为： （9.44）图9.17 三维问题的逆向搜索过程该方法的执行过程见图9.17，它以三维搜索为例。设当前点为，新的一点在由与向量决定的平面中搜索。几何上它是的投影（-球面中的一段弧）与投影（-球面中的另一段弧）的切点。显然在点，临界状态函数值比点处的小。类似的，可以采用同样过程寻找，直到向量与重合。d. MAMV方法的步骤设当前点为-球面中的，计算步骤如下：（1）计算处的斜率。（2）利用（9.40）计算与之间的夹角；（3）如果，为MPP点，停止计算，否则，进行步（4）。为一小量，例如，或者。（4）计算临界状态函数值；（5）如果

44、，计算下一点：，令k=k+1,转向步骤（1）；否则，使用方程3-25和9.32执行反搜索以寻找新的点并令k=k+1。再转向步骤（1）。为了使该搜索过程更加有效以及更具稳健性，可以采用合适的步长。每一轴上的步长尺度可选择为当前U点的1%。对于一个“表现良好”的临界状态函数，例如凸性临界状态函数，最速下降方向法非常有效，并且临界状态函数值会持续下降。因而，此种情况下MAMV方法同传统AMV方法一样具有高度有效性。当临界状态函数为凸，非凹或非凸的时候，MAMV方法中的弧搜索能够保证临界状态函数的收敛性能。因此，MAMV方法具有较高的稳健性，而且适用于任何种类的临界状态函数。（4）基于MAMV方法的可

45、靠性分析MAMV方法评估系统性能R百分点相对于其他方法更加有效和稳健。其可以应用在可靠性分析中。可靠性分析描述为：给定：系统输入X=的分布函数求： 可靠性（或可靠度）：上式中，g（X）表示优化问题的约束，可靠性代表满足约束的概率。为评估可靠性，首先要对于给定临界状态g（X）确定MPP，然后使用FORM或者SORM方法来计算可靠性。与在-球面中确定MPP的过程不同，这里，MPP通过临界状态g（X）=0或者是g（U）来确定。基于MAMV方法的可靠性分析即是，在一系列-球面中找到MPP点，直至临界状态函数值趋向于零。具体过程为：首先，在起始搜索点处评估-球面半径，并在该球面上确定MPP点；然后，在下

46、一个-球面中确定MPP点，注意该球面的半径经过修改以使临界状态函数在MPP点的值趋向于零。因为MAMV方法在给定起始点的情况下能够迅速找到MPP点，所以可以使用回归方法生成MPP轨迹，从而为MPP搜索提供起始搜索点，根据MPP轨迹，可以预测下一个-球面的半径以及此时的起始MPP点。然后再次在新的-球面上使用MAMV方法。重复这一过程直至满足结束要求或临界状态函数为零（g（X）=0）。确定MPP点的过程为：1）估计起始可靠性指标起始可靠度指标通过起始点的均值与标准偏差的商来估计。标准差由临界状态函数在起始点的泰勒展开式近似获取。 （9.45）该式中，为的方差。下一步即为在-球面中搜索MPP点。从

47、现在开始，对于所有（k表示迭代次数），确定MPP的过程不变，因此最好是讨论一般情况下的步骤。当我们在第k次迭代中找到位于-球面的MPP后，下一步就是预测第k+1次迭代中-球面的半径。2）预测半径通过临界状态函数及其导数在前两点与的值来建立三阶响应面模型。响应面模型形式如下： （9.46）然后用获取的模型估计下一个-球面的半径。3）预测MPP在球面上的起始点-球面的半径被确定以后，下一步就是预测在该-球面上搜索MPP的起始点。可以通过建立一个二阶响应面模型来预测起始MPP。4）使用MAMV方法在-球面上搜索MPP5）检验结束条件给定小量与，如果满足： （9.47）和 （9.48）则停止计算。否则

48、，返回步骤（1）。9.3.3不确定性优化方法在以上各种评估可行性稳健程度的方法中，基于概率的方法是一种最严格的方法。基于概率分析方法和上节中的不确定性分析方法，可以进行不确定问题的优化。（1）基于概率的优化方法典型的基于概率的优化方法有：1）“双循环”方法“双循环”方法的计算流程如图9.18所示。首先，对于每一个概率性约束采用嵌套优化循环确定MPP，然后针对可靠性需求优化设计目标。由于设计过程中牵涉到双重循环，因此该方法的计算效率较差。图9.18双循环优化方法计算流程图2）“单级循环与单变量方法”（SLSV）该方法采用了一系列的级优化循环，如图9.19所示。在每一次优化循环中对概率性约束进行近

49、似，从而逐渐达到可靠性要求。对于某些情况，这种方法能够迅速找到优化解。但是，由于一些情况下该方法将导致失败的设计结果，所以并不具有稳健性。它同样具有一定的应用范围。例如说它仅适用于随机变量正态分布或者是设计变量是确定性的情况。图9.19 单循环单变量方法计算流程图以下将引入一种稳健有效的方法序列优化与可靠性评估（Sequential Optimization and Reliablity Assessment，SORA）方法。对于概率设计问题，SORA采用了基于MAMV方法进行概率评估和概率分析的分解优化策略，相对于其它方法来说可以显著减少函数评估次数。MAMV方法的稳健性同样增强了SORA方

50、法的稳健性。（2）概率优化设计方法基础SORA方法借鉴了一些现有概率设计方法。为了更好地理解SORA方法的原则并且能加以修正，下面首先介绍两种基本的概率设计方法：1）采用概率描述的双重循环方法概率优化设计的典型模型如下：Minimize： Design Variable DV= （9.49）Subject to：设计可行性的描述如图9.20所示，的概率为g的PDF曲线下对应的的区域面积，该面积应该大于或等于R。图9.20 可行性示意图图9.21 双循环概率优化设计方法的数据流向图通过前面分析可知，满足约束的概率评估是一个迭代的过程，还可能包含优化。这样的结果就是在概率设计中将引入双重循环。外循

51、环为优化循环，用以减小目标函数值且维持概率性约束的可行性；内部循环为迭代评估所有的概率性约束。这就是为什么解决模型（9.49）的方法被称为具有概率描述的双循环方法。双循环方法的数据流向如图9.21所示。为完成优化，外部优化需要大量的函数评估来计算目标函数以及可靠性。为使不确定性约束的函数评估区别于确定性约束函数，我们称用于可靠性的函数评估为“概率函数评估”，而确定性约束函数称为“性能函数估计”。显然，采用具有概率评估的双重循环方法时，整个优化需要大量的概率函数评估，因此，计算总次数将会非常庞大。例如，假设外部优化循环需要100次概率函数评估，对于10个概率性约束，如果每次概率评估平均需要50次

52、函数计算，那么函数计算的总次数为！如果不考虑任何不确定性，函数计算的总次数将与外部循环中概率函数评估的次数在同一水平，即为100。这种情况下概率设计的函数计算次数为确定性设计的500倍。从这个例子可以看出，不确定性设计比确定性设计计算负担重得多。因此，有必要提出一种用于概率设计的高效率方法。2）采用R-百分点表述的双重循环方法可以采用R-百分点描述的双重循环方法来进行可靠度评估，又被称为性能度量方法（PMA）。它仍然是一种双重循环的方法，但是对于约束的可靠性评估只在要求水平R上进行。式（9.49）中的问题描述可以重新定义为：Minimize： DV= （9.50）Subject to：对于给定可靠度R，则可靠度指标可以通过下式获取： （9.51）采用MAMV方法可以求出MPP（），在此基础上可以计算的R百分点： （9.52）这样，式（9.50）可以重新表述为：Minimize： DV= （9.53）Subject to：（3）SORA方法 为改进概率优化的效率，采用“连续单循环”方法推导出SORA方法。这种方法不同于现有单循环方法，它对于概率性约束建立了等价的确定性约束。同样采用有效的逆MPP搜索算法作为整个问题解决过程的一部分。1）SORA方法所采用的策略a. 仅在要求水平（R百分点）上进行可靠性评估由于采用确定性约束函数进行可行性的评估，该模型建立了一种在概率优化与确定性