考研必备最新概率论与数理统计公式大全

1、学习必备欢迎下载第一章随机事件和概率Pmnm!n)!（ 1）排列( m组合公式m!C mnn! (mn)!从 m个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。从 m个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。加法原理（两种方法均能完成此事）： m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成， 第二种方法可由n 种（ 2）加法方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。和乘法原乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）： m×n理某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成， 第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m× n 种方法来完成。（ 3）一些重复排列和非重复排列

2、（有序）对立事件（至少有一个）常见排列顺序问题（ 4）随机如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但试验和随在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。机事件试验的可能结果称为随机事件。在一个试验下， 不管事件有多少个， 总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；（ 5）基本任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。事件、样本空间和事基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字

3、母A，件B，C，表示事件，它们是的子集。为必然事件，? 为不可能事件。不可能事件（ ?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（ ）的概率为1，而概率为1 的事件也不一定是必然事件。关系：如果事件A 的组成部分也是事件B 的组成部分，（ A 发生必有事件B 发生）：AB如果同时有AB ， BA ，则称事件 A与事件 B 等价，或称 A等于 B：A=B。A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者 A+B。（ 6 ）事件属于 A而不属于B 的部分所构成的事件，称为A与 B 的差，记为A-B，也可表的关系与示为 A-AB或者 AB ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。运算A

4、、B 同时发生： A B，或者 AB。A B=?，则表示 A与 B 不可能同时发生，称事件 A 与事件 B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A 称为事件A 的逆事件，或称A 的对立事件，记为A 。它表示A不发生的学习必备欢迎下载事件。互斥未必对立。运算：结合率： A(BC)=(AB)C A (B C)=(A B) C分配率： (AB) C=(A C) (B C) (A B) C=(AC) (BC)（ 7 ）概率的公理化定义（ 8 ）古典概型（ 9 ）几何概型（ 10）加法公式（ 11）减法公式AiAiABAB ， AB AB德摩根率： i 1i 1设 为样本空间，A 为事件，对每一个事

5、件A 都有一个实数P(A) ，若满足下列三个条件：1° 0 P(A) 1，2° P( ) =13° 对于两两互不相容的事件A1 ， A2 ，有PAiP( Ai)i1i1常称为可列（完全）可加性。则称 P(A) 为事件 A 的概率。1°1 ,2n ，2° P( 1) P( 2)P(n )1。设任一事件 A ，它是由n1 ,2m 组成的，则有P(A)= ( 1)(2 )(m )= P(1 )P(2 )P(m )m A所包含的基本事件数n 基本事件总数若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个

6、有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A，L( A)P( A)。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积）。L()P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB) 0 时， P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB)当 B A时， P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A= 时， P( B )=1- P(B)定义 设 A、B 是两个事件，且P( AB)为事件 A 发生条件下，事件P(A)>0 ，则称P( A)（12）条件P( AB) 。B 发生的条件概率，记为 P(B / A)概率P( A)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件

7、概率。例如 P( /B)=1P( B /A)=1-P(B/A)（ 13）乘法公式（ 14）独立性（ 15）全概公式（ 16）贝叶斯公式（ 17）伯努利概型学习必备欢迎下载乘法公式：P( AB)P( A) P(B / A)更一般地，对事件A1， A2， An，若 P(A1A2An-1 )>0 ，则有P( A1A2 An)P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1 A2) P( An | A1A2 An1) 。两个事件的独立性设事件 A 、 B 满足 P(AB)P( A) P(B) ，则称事件 A 、 B 是相互独立的。若事件 A 、 B 相互独立，且P( A) 0 ，则有P(B

8、 | A)P( AB)P( A)P( B)P( A)P( B)P( A)若事件 A 、B 相互独立， 则可得到 A 与 B 、 A 与 B 、A 与 B 也都相互独立。必然事件和不可能事件 ? 与任何事件都相互独立。? 与任何事件都互斥。多个事件的独立性设 ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B) ； P(BC)=P(B)P(C) ； P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么 A、 B、 C 相互独立。对于 n 个事件类似。设事件 B1, B2, Bn 满足1° B1, B2, , Bn 两两互不相容， P(Bi

9、 ) 0(i1,2, , n) ，nABi2°i1，则有P( A) P( B1) P( A | B1) P( B2) P( A | B2)P(Bn )P( A | Bn) 。设事件 B1 ， B2 ， Bn 及 A 满足1° B1 ， B2 ， Bn 两两互不相容，P( Bi ) >0， i1， 2， n ，nABi0 ，2°i 1， P( A)则P( Bi/ A)P(Bi ) P( A / Bi )n， i=1 ， 2， n。P( B j ) P( A / B j )j1此公式即为贝叶斯公式。P( Bi ) ，（ i1 ， 2 ， n ），通常叫先验概率。

10、P(Bi / A) ，（ i1 ， 2 ，n ），通常称为后验概率。 贝叶斯公式反映了 “因果” 的概率规律， 并作出了 “由果朔因”的推断。我们作了 n 次试验，且满足每次试验只有两种可能结果，A 发生或 A 不发生；n 次试验是重复进行的，即 A 发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验 A 发生与否与其他次试验 A 发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为n 重伯努利试验。学习必备欢迎下载用 p 表示每次试验 A 发生的概率， 则 A 发生的概率为1 pnq ，用 P (k) 表示 n重伯努利试验中A出现 k(0kn) 次的概率，k,n 。Pn (k) Cn p k

11、 q n k ， k0,1,2,第二章随机变量及其分布（1）离散设离散型随机变量X 的可能取值为 Xk(k=1,2,) 且取各个值的概率， 即事型随机变件(X=Xk) 的概率为量的分布P(X=xk)=pk ，k=1,2, ，X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形律则称上式为离散型随机变量式给出：x , x , x,Xk|12P( Xxk ) p1, p2, , pk ,。显然分布律应满足下列条件：（1） pk 0 ， k1,2,pk1，（ 2） k 1。（2）连续设 F ( x) 是随机变量 X 的分布函数， 若存在非负函数f (x) ，对任意实数 x ，有型随机变F (x)xf ( x)

12、dx量的分布，密度则称 X 为连续型随机变量。f ( x) 称为 X 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面4 个性质：1°f (x)0 。2°f ( x) dx1。（3）离散P(Xx)P(xXxdx)f (x)dx与连续型随机变量积分元 f ( x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与P( Xxk)pk 在离的关系散型随机变量理论中所起的作用相类似。学习必备欢迎下载（4）分布设 X 为随机变量，x 是任意实数，则函数函数F (x) P( X x)称为随机变量X 的分布函数，本质上是一个累积函数。P(aXb)F (b) F (a) 可以得到X 落入区间

13、 (a, b 的概率。分布函数 F ( x) 表示随机变量落入区间（， x 内的概率。分布函数具有如下性质：1°0 F (x)1,x；2°F (x) 是单调不减的函数，即x1x2 时，有F (x1)F ( x2 ) ；3°F ()lim F ( x)0 ，F ()limF (x)1 ；xx4°F ( x0)F (x) ，即 F ( x) 是右连续的；5° P(Xx) F ( x) F ( x 0) 。对于离散型随机变量，F ( x)pk；xkxx对于连续型随机变量，F ( x)f ( x) dx。（5）八大0-1 分布P(X=1)=p, P(X

14、=0)=q分布二项分布在 n 重贝努里试验中，设事件A 发生的概率为p 。事件 A 发生的次数是随机变量，设为X ，则 X 可能取值为 0,1,2, ,n 。P( X k ) Pn(k) C nk p k q n k，其中q 1p,0 p1, k0,1,2, n ，则 称 随 机 变 量 X 服 从 参 数 为 n ， p 的 二 项 分 布 。 记 为X B(n, p) 。当 n1时， P( Xk )p k q1k ， k0.1 ，这就是（ 0-1 ）分布，所以（ 0-1 ）分布是二项分布的特例。泊松分布超几何分布几何分布均匀分布学习必备欢迎下载设随机变量X 的分布律为kP( Xk )e，0

15、 ， k0,1,2，k!则称随机变量X 服从参数为的泊松分布，记为X ( ) 或者P( )。泊松分布为二项分布的极限分布（np=， n）。kn kk0,1,2 , lP( Xk )CMCNM,min( M , n)CNnl随机变量 X 服从参数为 n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M) 。P( Xk )qk 1 p,k1,2,3,，其中 p0， q=1-p 。随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p) 。设随机变量 X 的值只落在 a ，b 内，其密度函数f ( x) 在 a ，b1上为常数，即ba1,a x bf ( x)ba0,其他，则称随机变量X 在 a ， b 上服

16、从均匀分布，记为XU(a ， b) 。分布函数为0，x<a，xa ,xbaa x bf (x)dxF ( x)1，x>b。当 a x1<x2 b 时， X 落在区间（x1 , x2 ）内的概率为P( x1X x2 )x2x1 。ba学习必备欢迎下载指数分布e x ,x0,f ( x)x0,0,其中0 ，则称随机变量X 服从参数为的指数分布。X 的分布函数为1e x ,x0 ,F ( x)0,x<0。记住积分公式：x n e x dx n!0正态分布的密度函数为设随机变量 X1( x)2f (x)22x，e，2其中、0 为常数，则称随机变量X 服从参数为、的正态分布或高斯

17、（Gauss）分布，记为X N (,2 ) 。f ( x) 具有如下性质：1°f ( x) 的图形是关于 x对称的；2°当 x时， f ()1为最大值；若XN( ,2(t)22)x，则X 的分布函数为F ( x)1e 22dt2。参数0 、1 时的正态分布称为标准正态分布，记为X N (0,1)x 2，其密度函数记为( x)1e 22，x，分布函数为1xt 2( x)e 2 dt 。2( x) 是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。1 (-x) 1- (x) 且 (0) 。如果 X N(,2)，则 X2 N (0,1) 。P( x1 Xx2 )x2x1。学习必备欢迎

18、下载（6）分位下分位表： P( X)；数上分位表： P( X)。（7）函数离散型分布已知 X 的分布列为Xx1, x2, xn,P( Xxi) p1, p2 ,，, pn ,Y g ( X ) 的分布列（ yi g( xi ) 互不相等）如下：Yg(x ), g(x2), g( x ),1n，P(Yyi )p1, p2, pn,若有某些 g (xi ) 相等，则应将对应的pii相加作为 g( x ) 的概率。连续型(x) 写出 Y 的分布函数F (y) P(g(X) 先利用 X 的概率密度 fXYy) ，再利用变上下限积分的求导公式求出f (y) 。Y第三章二维随机变量及其分布（ 1）联合离散

19、型如果二维随机向量（ X， Y）的所有可能取值为至多可列分布个有序对（ x,y ），则称为离散型随机量。设=（ X，Y）的所有可能取值为 ( xi, y j )(i , j 1,2, ) ，且事件 =( xi, y j ) 的概率为 pij, , 称P( X ,Y)( xi , y j) pij(i, j 1,2,)为=（X， Y）的分布律或称为X 和 Y 的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：Yy1y2yjXx1p11p12p1jx2p21p22p2jxipi1pij这里 pij 具有下面两个性质：（ 1） pij 0（ i,j=1,2,）；（ 2）pij 1.ij学习必备欢

20、迎下载连续型对于二维随机向量(X,Y)，如果存在非负函数f (x, y)(x,y) ，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即 D=(X,Y)|a<x<b,c<y<d有P( X,Y)Df (x, y)dxdy,D则称 为连续型随机向量；并称f(x,y) 为 =（ X， Y）的分布密度或称为 X 和 Y 的联合分布密度。分布密度 f(x,y)具有下面两个性质：（ 1） f(x,y) 0;（ 2）f ( x, y)dxdy1.（ 2）二维( Xx,Yy)( Xx Yy)随机变量的本质（ 3）联合设（ X， Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y, 二元函数分布函数

21、F ( x, y)P Xx, Yy称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X 和 Y 的联合分布函数。分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件( 1,2 ) |X( 1)x,Y (2 )y 的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：（ 1）0F ( x, y)1;（ 2） F（x,y ）分别对 x 和 y 是非减的，即当 x21时，有2121时，有 F(x,y21>xF（ x ,y ） F(x ,y); 当 y >y) F(x,y);（ 3） F（x,y ）分别对 x 和 y 是右连续的，即F ( x, y)F ( x0, y), F ( x

22、, y) F ( x, y0);（4）F( ,)F (, y) F ( x,) 0,F(,) 1.（ 5）对于 x1x2， y1y2，F ( x2， y2 )F ( x2， y1 )F (x1， y2 )F (x1， y1 ) 0 .（ 4）离散P( Xx， Yy)P(xXx dx， y Yy dy)f ( x， y) dxdy型与连续型的关系学习必备欢迎下载（ 5）边缘离散型X 的边缘分布为分布PiP( Xxi )pij (i , j1,2,) ；jY 的边缘分布为P jP(Yy j )pij (i , j1,2,) 。i连续型X 的边缘分布密度为f X ( x)f (x, y) dy；Y

23、的边缘分布密度为（ 6 ）条件 离散型分布连续型（ 7 ）独立一般型性离散型连续型f Y ( y)f (x, y)dx.在已知 X=xi 的条件下， Y 取值的条件分布为P(Yy j | Xxi )pij ；pi在已知 Y=yj 的条件下， X 取值的条件分布为P(X xi |Y y j )pij,p j在已知 Y=y 的条件下， X 的条件分布密度为f (x | y)f ( x, y)；fY ( y)在已知 X=x 的条件下， Y 的条件分布密度为f ( x, y)f ( y | x)f X ( x)F(X,Y)=F X(x)F Y(y)pijpi p j有零不独立f(x,y)=fX(x)f

24、Y(y)二维正态分布直接判断，充要条件：可分离变量正概率密度区间为矩形f ( x, y)1e21212 0x 1212 ( x 1 )( y 2 )y2(1 2)11 2222,随机变量的函数若 X1,X 2, Xm,X m+1, Xn 相互独立，h,g为连续函数，则：h（X1， X2, Xm）和 g（ Xm+1, Xn）相互独立。特例：若X 与 Y 独立，则： h（ X）和 g（Y）独立。例如：若X 与 Y 独立，则： 3X+1 和 5Y-2 独立。学习必备欢迎下载（ 8）二维设随机向量（ X， Y）的分布密度函数为均匀分布1( x, y) DSDf ( x, y)0,其他其中 SD 为区域

25、 D的面积，则称（ X，Y）服从 D 上的均匀分布，记为（ X，Y）U（ D）。例如图 3.1 、图 3.2 和图 3.3 。y1D1O1x图 3.1y1D2O2x1图 3.2ydD3cOabx图 3.3学习必备欢迎下载（ 9）二维设随机向量（ X， Y）的分布密度函数为正态分布x 122112 ( x 1 )( y 2 )y 2f ( x, y)e2(1 2)11 22,21212其中1,2,10,20, | 1是 5 个参数，则称（ X，Y）服从二维正态分布，记为（ X，Y） N（1 ,2, 12,22 ,).由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即 XN（

26、1, 12 ),Y N( 2,22 ).但是若 XN（ 1, 12 ),Y N(2,22 ) ， (X， Y) 未必是二维正态分布。（10）函数 Z=X+Y根据定义计算：FZ ( z)P( Zz) P( X Y z)分布对于连续型， f Z(z)fx zx dx( ,)Z=max,min(X 1,X 2, X n)两个独立的正态分布的和仍为正态分布（12 ,22）。12n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。Cii ，222C iiii若 X1, X2X n相互独立，其分布函数分别为Fx1 (x)， Fx2 ( x)Fxn (x) ，则 Z=max,min(X 1 ,X 2, X

27、n)的分布函数为：Fmax ( x)Fx1 (x)Fx2 ( x)Fxn ( x)Fmin ( x) 1 1Fx1 ( x)1Fx2 ( x) 1 Fxn ( x)2 分布t 分布学习必备欢迎下载设 n 个随机变量X 1 , X 2 , X n 相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和nW X i2i 1的分布密度为1n1uu0,nu2e 2f (u)2 2n20,u0.我们称随机变量W服从自由度为 n 的2 分布，记为 W2 ( n) ，其中nn 1x dx.x 2e20所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。2 分布满足可加性：设Yi2 (ni )

28、,则k2 (n1 n2ZYi nk ).i 1设 X， Y 是两个相互独立的随机变量，且X N (0,1),Y 2 (n),可以证明函数TXY / n的概率密度为n 12n 12t2(t).f (t)1nnn2我们称随机变量T 服从自由度为n 的 t 分布，记为T t(n) 。t1(n)t(n)学习必备欢迎下载F 分布设 X 2 ( n1 ), Y 2 (n2 ) ，且X 与 Y 独 立，可以 证明F X / n1 的概率密度函数为Y / n2n1n2n1n1 1n1n2221n1y2f ( y)n1n1y 2, y 0n2n2n2220, y0我们称随机变量F 服从第一个自由度为n1，第二个

29、自由度为 n2的 F 分布，记为 F f(n 1, n 2).1F1(n1 , n2 )F (n2 , n1 )第四章随机变量的数字特征（1）离散型连续型一 维期望设 X 是离散型随机变量， 其分布设 X 是连续型随机变量， 其概率密随 机期望就是平均值律为 P(X xk ) pk ，度为 f(x)，变 量的 数k=1,2, ,n ，E(X )xf ( x)dx字 特n征E(X)xk pk（要求绝对收敛）k1（要求绝对收敛）函数的期望Y=g(X)Y=g(X)n方差D(X)=EX-E(X)2，标准差E(Y )g ( xk ) pkE(Y)g(x) f ( x)dxk1D(X) xk E( X )

30、2D(X ) x E( X ) 2 f (x)dxpkk(X)D(X) ，学习必备欢迎下载矩对于正整数k，称随机变量的 k 次幂的数学期望为X 的阶原点矩，记为vk, 即X 对于正整数 k，称随机变量 X 的kk 次幂的数学期望为X 的 k 阶原点矩，记为vk, 即k)=kk k =E(Xxi pi ,kx f ( x) dx,i k=E(X )=k=1,2, .k=1,2, .对于正整数 k，称随机变量X 对于正整数 k，称随机变量 X 与与 E（X）差的 k 次幂的数学期E（ X）差的 k 次幂的数学期望为 X望为 X 的 k 阶中心矩，记为k ， 的 k 阶中心矩，记为k ，即即E( X

31、E( X ) kE( X ) kkkE( X.=( xE( X ) k f (x)dx,=( xiE(X ) k pi， .ik=1,2,k=1,2, .切比雪夫不等式设随机变量 X 具有数学期望E（X） = ，方差 D（ X） = 2，则对于任意正数 ，有下列切比雪夫不等式2P( X)2切比雪夫不等式给出了在未知X 的分布的情况下，对概率P(X)（ 2） （1）期望 （2）的 性质（3）（ 4）的一种估计，它在理论上有重要意义。E(C)=CE(CX)=CE(X)nnE(X+Y)=E(X)+E(Y) ， E(C i X i )Ci E ( X i )i1i 1E(XY)=E(X) E(Y)，充

32、分条件： X 和 Y 独立；充要条件： X 和 Y 不相关。（ 3）（ 1） D(C)=0； E(C)=C方 差（ 2）D(aX)=a 2D(X) ； E(aX)=aE(X)的 性（ 3）D(aX+b)= a 2D(X) ； E(aX+b)=aE(X)+b质（ 4）D(X)=E(X 2)-E 2(X)（ 5）D(X± Y)=D(X)+D(Y) ，充分条件： X 和 Y 独立；充要条件： X 和 Y 不相关。D(X±Y)=D(X)+D(Y)± 2E(X-E(X)(Y-E(Y)，无条件成立。而 E(X+Y)=E(X)+E(Y) ，无条件成立。（4）期望常 见0-1分布 B(1, p)p分 布方差p(1p)学习必备欢迎下载的 期二项分布 B( n, p)望 和方差泊松分布 P( )几何分布 G ( p)超几何分布H (n, M , N )均匀分布 U (a,b)指数分布 e( )正态分布 N(,2)2 分布t 分布（5）期望二 维随 机变 量的 数字 特征函数的期望方差np1pnMNa b21n0nE( X