考研数学一历年真题(1987-2010)

1、全国硕士研究生入学统一考试数学 (一)试卷一、填空题 (本题共 5 小题 ,每小题3 分 ,满分 15 分 .把答案填在题中横线上)(1)当 x =_ 时 ,函数 yx 2x 取得极小值 .(2)由曲线 yln x 与两直线 ye1x 及 y0 所围成的平面图形的面积是_.x1(3)与两直线y1t 及 x1y2z1都平行且过原点的平面方程为_.111z2 t(4)设 L 为取正向的圆周x2y29, 则曲线积分(2 xy2 y)dx( x24 x) dy = _.L(5) 已知三维向量空间的基底为(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1), 则向量 (2,0,0)在此基底下的123坐标是

2、 _.二、 (本题满分 8分 )求正的常数 a与 b, 使等式 lim1xt2dt1成立 .sin xax0 bx0t 2三、 (本题满分 7分 )(1)设 f 、 g 为连续可微函数,uf ( x, xy), vg( xxy), 求 u ,v .xx301(2)设矩阵 A 和 B 满足关系式 AB = A2B, 其中 A110 ,求矩阵 B.014四、 (本题满分 8分 )求微分方程 y6 y(9a2 ) y1的通解 ,其中常数 a0.五、选择题 (本题共 4 小题 ,每小题 3 分 ,满分 12 分 .每小题给出的四个选项中 ,只有一个符合题目要求 ,把所选项前的字母填在题后的括号内 )(

3、1)设 limf ( x)f (a)1,则在 xa 处( xa)2x a(A) f ( x) 的导数存在 ,且 f (a) 0(B) f ( x) 取得极大值(C) f ( x) 取得极小值(D) f (x) 的导数不存在s(2) 设 f ( x) 为已知连续函数, I tt f ( tx) dx, 其中 t0, s 0, 则 I 的值0(A) 依赖于 s 和 t(B) 依赖于 s 、 t 和 x(C)依赖于 t 、 x,不依赖于 s(D) 依赖于 s ,不依赖于 t(3) 设常数则级数n knk 0,( 1)n2n 1(A) 发散(B) 绝对收敛(C)条件收敛(D) 散敛性与 k 的取值有关

4、(4) 设 A 为 n阶方阵，且 A 的行列式 | A | a0, 而 A * 是 A 的伴随矩阵，则|A* |等于(A) a1(B)a(C) an 1(D) an六、（本题满分10 分）求幂级数1n xn 1 的收敛域，并求其和函数 .n 1 n 2七、（本题满分10 分）求曲面积分Ix(8 y1)dydz2(1y 2 ) dzdx4 yzdxdy ,是由曲线 f (x)zy11 y 3其中x绕 y 轴旋转一周而成的曲面 ,其法向量与 y 轴正向的夹角恒0大于.2八、（本题满分 10分）设函数 f ( x) 在闭区间0,1上可微 ,对于 0,1上的每一个x, 函数 f ( x) 的值都在开区

5、间(0,1) 内 ,且f ( x )1,证明在 (0,1)内有且仅有一个x, 使得 f ( x)x.九、（本题满分8 分）问 a,b 为何值时 ,现线性方程组x1x2x3x40x2x23x12x3 (a 2x22x43) x3x312x4ax4b1有唯一解,无解 ,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题 (本题共 3 小题 ,每小题 2 分 ,满分 6 分 .把答案填在题中横线上)(1) 设在一次实验中,事件A 发生的概率为p , 现进行n 次独立试验, 则 A 至少发生一次的概率为_; 而事件 A 至多发生一次的概率为_.(2)有两个箱子 ,第 1 个箱子有3 个白球 ,2 个红球

6、 , 第 2 个箱子有4 个白球 ,4 个红球 .现从第 1 个箱子中随机地取 1 个球放到第 2 个箱子里 ,再从第 2 个箱子中取出1 个球 ,此球是白球的概率为 _.已知上述从第 2 个箱子中取出的球是白球 ,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为_.(3)已知连续随机变量 X 的概率密度函数为 f (x)1 e x2 2 x 1 , 则 X 的数学期望为 _, X 的方差为 _.十一、（本题满分6 分）设随机变量X ,Y 相互独立 ,其概率密度函数分别为f X (x)10 x 1, fY ( y)e yy00其它0y,0求Z2XY 的概率密度函数.1988 年全国硕士研究生入学统一考试

7、数学 (一)试卷一、 (本题共3 小题 ,每小题 5 分 ,满分 15分 )(1)求幂级数( x3)n的收敛域 .n 1n3n(2)设 f ( x)ex2, f ( x)1x 且( x)0,求 ( x) 及其定义域 .(3)设为曲面 x2y2z21的外侧 ,计算曲面积分Ix 3 dydzy 3 dzdxz3 dxdy .二、填空题 (本题共4 小题 ,每小题 3 分 ,满分 12 分 .把答案填在题中横线上)(1)若 f (t ) lim t(11 ) 2tx , 则 f(t) = _.xx(2)设 f ( x) 连续且x 3 1f (t )dtx, 则 f (7) =_.0(3)设周期为2的

8、周期函数 ,它在区间 ( 1,1上定义为 f (x)21x0,则的傅里叶 ( Fourier ) 级x2数在 x1 处收敛于 _.0x1(4)设 4阶矩阵 A ,2, 3, 4 , B,2, 3, 4, 其中 ,2 ,3, 4 均为4 维列向量 ,且已知行列式A 4,B1,则行列式 AB = _.三、选择题 (本题共5 小题 ,每小题 3分 ,满分15 分 .每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设f ( x)可导且f(x0 ),则x0 时, f (x)在xdy是10 处的微分2(A) 与x 等价的无穷小(B) 与x 同阶的无穷小(C)比x 低阶

9、的无穷小(D) 比x 高阶的无穷小(2)设 yf ( x) 是方程 y2 y4y0的一个解且f ( x0 )0, f ( x0 )0, 则函数 f ( x) 在点 x0 处(A) 取得极大值(B) 取得极小值(C)某邻域内单调增加(D)某邻域内单调减少(3)设空间区域1 : x2y 2z2R2 , z0,2 : x 2y 2z2R2 , x0, y0, z 0, 则(A)xdv4dv(B)ydv4ydv1212(C)zdv4zdv(D)xyzdv4xyzdv1212(4) 设幂级数an (x1)n 在 x1 处收敛 ,则此级数在x2 处n1(A) 条件收敛(B) 绝对收敛(C)发散(D) 收敛

10、性不能确定(5)n维向量组 , , , (3 sn) 线性无关的充要条件是12s(A) 存在一组不全为零的数k1 ,k2 , ks ,使 k11 k2 2kss 0(B) , , , 中任意两个向量均线性无关1 2s(C) , , , 中存在一个向量不能用其余向量线性表示1 2s(D) , 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示12s四、 (本题满分6 分 )设 u yf ( x )xg ( y), 其中函数 f 、 g 具有二阶连续导数,求 x2uy2u .yxx2x y五、 (本题满分8 分 )设函数 yy( x) 满足微分方程y3y2 y 2 ex , 其图形在点 (0,1)处的切线与曲

11、线y x2x 1在该点处的切线重合 ,求函数 yy( x).六、（本题满分9 分）设位于点 (0,1)的质点 A 对质点 M 的引力大小为k2 (k 0 为常数 , r 为 A 质点与 M之间的距离 ),质点rM 沿直线 y2xx 2 自 B(2,0)运动到 O(0,0), 求在此运动过程中质点A 对质点 M 的引力所作的功 .七、（本题满分6 分）100100已知 APBP, 其中 B000,P 210 ,求 A,A5.001211八、（本题满分8 分）200200已知矩阵 A001与 B 0y0 相似.01x001(1)求 x 与 y.(2)求一个满足 P 1 APB 的可逆阵 P.九、（

12、本题满分9 分）设函数 f ( x) 在区间 a,b 上连续 ,且在 ( a, b) 内有 f ( x)0, 证明 :在 (a,b) 内存在唯一的,使曲线y f ( x) 与两直线 yf (), x a 所围平面图形面积 S1 是曲线 yf ( x) 与两直线 y f (), x b 所围平面图形面积 S2 的 3 倍.十、填空题 (本题共 3 小题 ,每小题 2 分 ,满分 6 分 .把答案填在题中横线上 )(1) 设在三次独立试验中 ,事件 A 出现的概率相等,若已知 A 至少出现一次的概率等于19 ,则事件 A 在一27次试验中出现的概率是_.(2)若在区间 (0,1)6”的概率为 _.

13、内任取两个数 ,则事件 ”两数之和小于5(3)设随机变量 X 服从均值为 10,均方差为 0.02的正态分布 ,已知x1u2e 2 du,(2.5) 0.9938,(x)2则 X 落在区间 (9.95,10.05) 内的概率为 _.十一、（本题满分6 分）设随机变量 X 的概率密度函数为 f X (x)12, 求随机变量 Y1 3 X 的概率密度函数 fY ( y).(1x)1989 年全国硕士研究生入学统一考试数学 (一)试卷一、填空题 (本题共 5 小题 ,每小题3 分 ,满分 15 分 .把答案填在题中横线上 )(1)已知 f (3)2, 则 lim f (3h)f (3)= _.h02

14、h(2)设 f ( x) 是连续函数 ,且 f ( x)x21f (t)dt, 则 f (x) =_.0(3)设平面曲线 L 为下半圆周 y1x2 , 则曲线积分( x 2y2 )ds =_.L(4)向量场 div u 在点 P(1,1,0)处的散度 div u =_.300100(5)设矩阵 A140 , I010, 则矩阵 (A2I) 1=_.003001二、选择题 (本题共 5 小题 ,每小题 3 分 ,满分 15 分 .每小题给出的四个选项中 ,只有一个符合题目要求 ,把所选项前的字母填在题后的括号内 )(1)当 x 0 时 ,曲线 yx sin 1x(A) 有且仅有水平渐近线(B)

15、有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线 ,又有铅直渐近线(D)既无水平渐近线 ,又无铅直渐近线(2)已知曲面 z 4 x2y 2 上点 P处的切平面平行于平面2x 2 y z 1 0, 则点的坐标是(A) (1, 1,2)(B) (1,1,2)(C) (1,1,2)(D) (1, 1,2)(3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是(A) c1 y1c2 y2y3(B) c1 y1c2 y2(c1c2 ) y3(C) c1 y1c2 y2(1c1c2 ) y3(D) c1 y1c2 y2(1c1 c2 ) y3(4)设函数 f (x)x2 ,0x1, 而

16、S( x)bn sin n x,x, 其中n 1bn 21xdx, n1,2,3, , 则 S(1) 等于f (x)sin n0211(A)(B)2411(C)(D)(5)设 A 是 n阶矩阵 ,且 A 的行列式 A0,则A中(A) 必有一列元素全为 0(B) 必有两列元素对应成比例(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合(D) 任一列向量是其余列向量的线性组合三、 (本题共 3 小题 ,每小题 5 分 ,满分 15 分 )(1)设 z f (2 xy ) g( x, xy ), 其中函数 f (t ) 二阶可导 , g( u, v) 具有连续二阶偏导数,求2 z .x y(2)设曲线积分xy

17、2 dx y (x)dy 与路径无关 ,其中( x) 具有连续的导数 ,且 (0)0, 计算c(1,1)xy 2 dxy( x)dy 的值 .(0,0)(3) 计算三重积分(xz)dv, 其中是由曲面zx2 y2 与 z1x2y2 所围成的区域 .四、 (本题满分6 分 )将函数 f ( x)arctan 1x 展为 x 的幂级数 .1x五、 (本题满分7 分 )xt) f (t)dt ,其中 f 为连续函数 ,求 f ( x).设 f ( x) sin x( x0六、（本题满分7 分）证明方程 ln xx1 cos2xdx 在区间 (0,) 内有且仅有两个不同实根 .e0七、（本题满分6 分

18、）问为何值时 ,线性方程组x1x34x1x22x326x1x24x3 23有解 ,并求出解的一般形式 .八、（本题满分8 分）假设 为 n 阶可逆矩阵 A 的一个特征值 ,证明(1)1 为 A1 的特征值 .42(2) A 为 A 的伴随矩阵 A* 的特征值 .九、（本题满分9 分）设半径为 R 的球面的球心在定球面 x2y2z2a2 (a0) 上,问当 R 为何值时 ,球面在定球面内部的那部分的面积最大?十、填空题 (本题共3 小题 ,每小题 2 分 ,满分 6 分 .把答案填在题中横线上)(1) 已知随机事件A 的概率 P(A) 0.5, 随机事件 B 的概率 P(B) 0.6及条件概率

19、P (B | A) 0.8, 则和事件 A B的概率 P(AB) =_.(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6 和 0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为 _.(3)若随机变量在 (1,6) 上服从均匀分布 ,则方程 x2x1 0 有实根的概率是 _.十一、（本题满分6 分）设随机变量X 与 Y 独立 ,且 X 服从均值为1、标准差 (均方差 )为2 的正态分布 ,而 Y 服从标准正态分布.试求随机变量Z2 XY3 的概率密度函数.1990 年全国硕士研究生入学统一考试数学 (一)试卷一、填空题 (本题共 5 小题 ,每小题 3 分 ,满分 15 分 .把答案填

20、在题中横线上)xt2(1)过点 M(1,21) 且与直线y3t4 垂直的平面方程是 _.zt1(2)设 a为非零常数 ,则 lim( xa )x =_.xxa(3)设函数f (x)1x1,则 f f (x) =_.0x1(4)积分2dx2e y 2dy 的值等于 _.0x(5)已知向量组 1(1,2,3,4),2(2,3,4,5), 3 (3,4,5,6), 4 (4,5,6,7),则该向量组的秩是 _.二、选择题 (本题共5 小题 ,每小题3 分 ,满分 15 分 .每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设 f ( x) 是连续函数 ,且 F

21、( x)e xf (t )dt , 则 F ( x) 等于x(A) ex f (ex ) f (x)(B) ex f (ex )f (x)(C) e xf (ex )f ( x)(D) e xf (e x )f (x)(2) 已知函数f (x) 具有任意阶导数,且 f (x) f ( x)2 , 则当 n为大于2 的正整数时, f ( x) 的 n 阶导数f ( n) (x) 是(A) n! f ( x) n1(B) n f (x)n 1(C) f (x)2n(D) n!f ( x) 2n(3)设 a为常数 ,则级数 sin(na)1 n 1n2n(A) 绝对收敛(B) 条件收敛(C)发散(D

22、)收敛性与 a的取值有关(4) 已知 f ( x) 在 x0 的某个邻域内连续,且 f (0)0,limf ( x)2, 则在点 x0 处 f (x)cos xx 0 1(A) 不可导(B) 可导 ,且 f (0)0(C)取得极大值(D) 取得极小值(5) 已知 1、 2 是非齐次线性方程组AXb 的两个不同的解, 1 、 2 是对应其次线性方程组 AX0 的基础解析, k1则方程组AXb 的通解一般解必是、 k2 为任意常数 ,()(A) k11k2(12 )12(B) k11k2 (12 )1 222 (C) k11k2(12 )12(D) k11k2 (12)1222三、 (本题共3 小

23、题 ,每小题 5 分,满分 15 分)(1) 求1 ln(1x)0(2x)2 dx.(2) 设 zf (2 xy, y sin x), 其中 f (u, v) 具有连续的二阶偏导数 ,求2z .x y(3) 求微分方程 y4y4 ye 2x的通解 (一般解 ).四、 (本题满分6 分 )求幂级数(2 n1)xn 的收敛域 ,并求其和函数 .n 0五、 (本题满分8 分 )求曲面积分Iyzdzdx 2dxdyS其中 S 是球面 x2y2z24 外侧在 z0的部分 .六、（本题满分7 分）设不恒为常数的函数f ( x) 在闭区间 a,b 上连续 ,在开区间 (a,b) 内可导 ,且 f (a)f

24、(b). 证明在 (a,b) 内至少存在一点,使得 f ()0.七、（本题满分6 分）设四阶矩阵1100213401100213B011,C0210000010002且矩阵A 满足关系式A(EC 1B)CE其中E 为四阶单位矩阵,C1 表示C 的逆矩阵,C表示C的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵A.八、（本题满分8 分）求一个正交变换化二次型fx124 x224 x324 x1 x24 x1 x38 x2 x3 成标准型.九、（本题满分质点 P 沿着以8 分）AB 为直径的半圆周,从点A(1,2) 运动到点B(3, 4)的过程中受变力F 作用 ( 见图 ). F 的大小等于点P 与原点O 之

25、间的距离,其方向垂直于线段OP且与y 轴正向的夹角小于.求变力F 对质点P 所作的功.2十、填空题 (本题共 3 小题 ,每小题 2 分 ,满分 6 分 .把答案填在题中横线上)(1)已知随机变量X 的概率密度函数f ( x)1 ex ,x则 X 的概率分布函数 F ( x) =_.2(2)设随机事件 A 、B 及其和事件的概率分别是0.4、0.3 和 0.6,若 B 表示 B 的对立事件 ,那么积事件 AB 的概率 P( AB) =_.(3)已知离散型随机变量 X 服从参数为2 的泊松 (Poisson) 分布 ,即 P Xk2k e 2, k 0,1,2, , 则k !随机变量 Z 3X

26、2的数学期望 E (Z ) =_.十一、（本题满分6 分）设二维随机变量(X,Y)在区域 D :0x 1, yx 内服从均匀分布 ,求关于 X 的边缘概率密度函数及随机变量 Z2 X1的方差 D(Z).1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学 (一)试卷一、填空题 (本题共5 小题 ,每小题3 分 ,满分 15 分 .把答案填在题中横线上)(1)设 x1 t 2,则 d 2 y=_.ycostdx2(2) 由 方 程 xyzx2y2z22所 确 定 的 函 数 zz(x, y)在 点 (1,0,1)处的全微分dz=_.(3) 已知两条直线的方程是l1 : x 1y2 z 3 ; l 2 :

27、x2y 1z .则过 l1 且平行于 l2 的平面方程101211是_.1(4)已知当 x0时,(1ax2 ) 31与 cos x1 是等价无穷小 ,则常数 a=_.52002100(5)设 4 阶方阵 A01, 则 A 的逆阵 A 1 =_.020011二、选择题 (本题共 5 小题 ,每小题 3 分 ,满分 15 分 .每小题给出的四个选项中 ,只有一个符合题目要求 ,把所选项前的字母填在题后的括号内 )1e x2(1)曲线 y 1e x2(A) 没有渐近线(B) 仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线(2)若连续函数f (x) 满足关系式f ( x)2f (

28、 t )dtln 2, 则 f ( x) 等于02(A) ex ln 2(B) e2 x ln 2(C) ex ln 2(D) e2 xln 2(3)已知级数( 1)n 1 an2,a2 n 15, 则级数an 等于n1n 1n1(A)3(B)7(C)8(D)9(4)设 D 是平面xoy 上以 (1,1)、 (1,1)和 (1, 1) 为顶点的三角形区域, D1 是 D 在第一象限的部分,则(xycos x sin y)dxdy 等于D(A) 2cos x sin ydxdy(B) 2 xydxdyD1D1(C) 4( xy cos x sin y)dxdy(D)0D 1(5)设 n 阶方阵A

29、 、B 、C 满足关系式 ABCE, 其中 E 是 n阶单位阵 ,则必有(A) ACBE(B) CBAE(C) BACE(D) BCAE三、 (本题共 3 小题 ,每小题 5 分 ,满分 15 分 )(1)求 lim (cosx) 2 .x 0(2)设 n 是曲面2x23 y2z26 在点 P(1,1,1)处的指向外侧的法向量,求函数 u6 x28y 2在点 Pz处沿方向 n 的方向导数 .(3)( x2y 2z)dv, 其中 是由曲线 y22z 绕 z 轴旋转一周而成的曲面与平面z 4 所围城的立x0体 .四、 (本题满分6 分 )过点 O(0,0) 和A( ,0) 的曲线族 y a sin x(a0) 中 ,求一条曲线 L, 使沿该曲线 O 从到 A 的积分(1 y3 ) dx(2 xy) dy 的值最小 .L五、 (本题满分8 分 )将函数 f ( x)2 x ( 1 x 1) 展开成以2 为周期的傅里叶级数,并由此求级数1的和 .n 1n2六、（本题满分7 分）1f (0), 证明在 (0,1) 内存在一点 c , 使 f (c) 0.设函数 f ( x) 在 0,1 上连续 ,(0,1) 内可导 ,且 3 2 f ( x)dx3七、（本题满分 8 分）已知 1 (1,0,2,3), 2(1,1,3,5), 3(1, 1, a 2,1), 4 (1,2,4, a 8) 及