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1、1sinlim0 xxx1.4 两个重要的极限两个重要的极限1.4.1 我们先考察当 0 x时，函数 xxsin的变化趋势： 0.958851 0.998334 0.999983 0.999999 xxxsin5 . 01 . 001. 0001. 0由上表可以看出，当 0 x时， 1sinxx可以证明 例例1.12.3sinlim0 xxx求解解)(3sin(lim0 xx. 3)31sinlim0 xxxx3例例1.13.tanlim0 xxx求求解解xxxtanlim0.cos1limsinlim00 xxxxx)1cossin(lim0 xxxx.cos1sinlim0 xxxx11s

2、inlim0 xxx例例1.141.14.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 1sinlim0 xxx例例1.15 求 2coslim2解解2coslim22)2sin(lim212时， 02，因此当1sinlim0 xxx例例.arcsinlim0 xxx求求解解于于是是有有时时当当则则令令. 0,0,sin,arcsin txtxxt. 1sinarcsinlimlim00 ttxxtx1sinlim0 xxxexxx )11(lim1.4.2 我们先列表考察当

3、 xx时，函数 xx)11 ( 的变化趋势. xxx)11 ( 1 10100100010000100000 2 2.59 2.7052.717 2.7182.71827xxx)11 ( -10-100-1000-10000-100000.2.882.7322.7202.71832.71828从上表可以看出，当 xx时，函数 xx)11 ( 的值无限接近于一个常数，可以证明，这里证明从略 exxx )11(lim这个数e是个无理数，它的值是 .590457182818284. 2eexxx 10)1(lim,1xt 令令. e ttxxtx)11(lim)1(lim10 exxx )11 (lim1例例1.161.16.)(limxxx21求求解解)()()21(limxx原式.2eettt)11 (limettt10)1 (lim12x2例例1.17 求 xxx)11 (lim解解 )()11(lim)(xxx11 e例例1.18 求 xxxcot0)tan1

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