A—无穷级数112

1、第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 无穷级数是高等数学的一个重要组成无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，是表示函数、研究函数的性质以及部分，是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。进行数值计算的一种工具。(常常) 数项级数数项级数级数级数幂级数幂级数函数项级数函数项级数正项级数正项级数交错级数交错级数傅里叶级数傅里叶级数本章重点本章重点v 无穷级数的概念与无穷级数的概念与性质性质v 正项级数正项级数的的审敛法审敛法v 级数的级数的绝对收敛绝对收敛与与条件收敛条件收敛v 幂级数幂级数的的收敛域收敛域与与和函数和函数v 函数展开成幂级数函数展开成幂级数v 傅里叶级数傅里叶级数（正弦

2、级数正弦级数与与余弦级数余弦级数）1. 常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质一、概念一、概念1. 定义定义： , 321nuuuu nuuuu321则式子则式子称为称为(常数项常数项)无穷级数无穷级数， 简称简称(常数项常数项)级数。级数。设给定一个数列设给定一个数列 un : nnuuuun211即即，记作记作 1nnu问题：问题： 1n(即有没有和即有没有和)其中其中 un 称为级数的称为级数的一般项一般项（或通项（或通项），），存在不存在？存在不存在？nu(p.186)2 . 部分和数列部分和数列一数列中有限项相加总是有和的，一数列中有限项相加总是有和的，无限项相加是否有和？无限

3、项相加是否有和？可能有，可能没有。可能有，可能没有。答：答：如何研究它？如何研究它？通过有限项去认识和研究无限项。通过有限项去认识和研究无限项。 nnuuuun211 ns定义定义： 级数前级数前n 项之和项之和 :nnuuus 21称为级数的称为级数的部分和数列部分和数列。 nkku1,11us .,321nnuuuus ns构成的新数列构成的新数列部分和数列部分和数列 sn：nnuuus 21显然显然, ,212uus ,3213uuus 与原数列与原数列 un 建立了一一对应的关系建立了一一对应的关系:, 00110ssus 设设,122ssu .,1 nnnssu nknkus11 k

4、kkssu),.2 , 1, 0(0nks ,233ssu 来研究级数。来研究级数。可通过研究可通过研究ns 发散的级数没有和。发散的级数没有和。，级数级数设设 1nnu,1收敛收敛则称则称 nnu ，对应的部分和数列对应的部分和数列ns存在，存在，若若ssnn lim 极限极限 s 称为级数的和，称为级数的和， 321uuu3. 级数的收敛和发散级数的收敛和发散定义定义：不存在，不存在，若若ssnn lim，发散发散则称则称 1nnu 1nnu收敛收敛(converge)(c)发散发散(divergence)(d)(c)(d) s )(cun )(csn)1(含有极限的意义，不同于一般等号。

5、含有极限的意义，不同于一般等号。”中的“中的“ nuuus21)2(说明：说明：说明了说明了数数可用一个收敛级数来表示。可用一个收敛级数来表示。)(1cunn 的近似值，的近似值，是和是和nss时时，)(1cunn 21nnnuuss.0, nnrssn，时时且且,nnrss产生的误差为产生的误差为近似代替近似代替用用(3)其差值其差值 rn =称为级数的称为级数的余项余项。例题讨论例题讨论qqan 1)1(讨论等比级数（几何级数）的敛散性：讨论等比级数（几何级数）的敛散性： 1. nnaqaqas解：解：qa 11 q1 q .20 nnnaqaqaqaaq为公比）为公比）qa, 0( 例例

6、1.部分和数列部分和数列 00nnnaaq时，时，1 q 00)1(nnnnaaq时，时，1 q不存在。不存在。nns limansn ,1, )(1, )(0 qdqcqann)( n aaan)1( aa 121nn如：如：)(, 121cq . 112121 .1qas 的敛散性。的敛散性。判别级数判别级数 1)11ln(nnnnnunln)1ln()11ln( 解：解：nnln)1ln( 2ln3ln1ln2ln ns)1ln( n (d) )( n例例2.3ln4ln )1(lnln nn例例3. 的敛散性。的敛散性。判别级数判别级数 1)2)(1(1nnn 解：解： 2111 nn

7、un3121 ns2111111 nnnn2121 n 原级数原级数 (c)(21 n 4131例例4. 的部分和的部分和已知级数已知级数 1nnu,12 nnsn 解解: 1 nnnssu.)1(211 nnnnnu所求级数所求级数12limlim nnsnnn,2)1(21 nnns. 210161311 即即作出此级数，并求其和。作出此级数，并求其和。12 nn= 2，)1(2 nnnn)1(2 ininuk 1 又设又设,sk(n)有相同的敛散性。有相同的敛散性。与与)0(11 kukunnnn证明证明: niinus1设设,s(n)二二. 基本性质基本性质性质性质1. ，若若sunn

8、 1. )0(11 kskukuknnnn则则nniiksuk 1性质性质2. ,1sunn ,1 nnv 1)(nnnvu则则收敛级数可逐项相加减。收敛级数可逐项相加减。设两个收敛级数设两个收敛级数.11 svunnnn推论：推论： , )(1cunn 若若, )(1dvnn . )()(1dvunnn 则则由性质由性质2： 11)(nnnnnnuvuv 矛盾！矛盾！ . )()(1dvunnn 推论推论： (c) + (d) = (d)反证：反证：，若若)()(1cvunnn (c) + (c) = (c) 111)(nnnnnnnvuvu此时此时发散级数不能逐项相加减。发散级数不能逐项相

9、加减。在级数前加上或去掉有限项，不影响在级数前加上或去掉有限项，不影响级数的敛散性，但收敛时其和要改变。级数的敛散性，但收敛时其和要改变。， 3322989898(c), 178)98(198 s且且例：例：,19898 q性质性质3.， 33229898981， 33229898，且且179)98(11 s.9178)98(198222 s且且(c)(c)收敛级数加括号后所成的级数收敛级数加括号后所成的级数仍然收敛于原来的和。仍然收敛于原来的和。证：证：suuuunnn 211设设 部分和为部分和为 sn ， )()(54321uuuuu，部分和为部分和为m 1 2 ,21s 时，时， m，

10、 nmm limnns lim得证。得证。.s 性质性质4.按某一规律加括号后的级数：按某一规律加括号后的级数：nms ,52s 收敛于收敛于0 ， )11()11(去括号后去括号后 111110122 mmss。不存在不存在nns lim (d) 收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛。收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛。注意：注意：1.例：例： 发散级数加括号后所成级数不一定发散。发散级数加括号后所成级数不一定发散。2. 例：例： )11()11(而而 1111(d)(c)两个发散级数逐项相加减却不一定发散。两个发散级数逐项相加减却不一定发散。例：例： ),(dun , )(dvn 不一定

11、发散。不一定发散。但但)(vnvu 加括号后所成的级数发散，加括号后所成的级数发散，3.即即)(111d )()1()1(d )()11()11(c 但但4 . 则原级数也发散。（反证即得）则原级数也发散。（反证即得） (c) + (c) = (c)(c) + (d) = (d)(d) + (d) = (d)？不确定不确定)(1dunn 性质性质5. ，若若)(1cunn .0lim nnu则则证：证： ,1sunn 设设1 nnnssu1limlim nnnnss)(limlim1 nnnnnssu（级数收敛的必要条件）（级数收敛的必要条件）反之不成立！反之不成立！0 ss说明：说明：0li

12、m nnu)(1cunn . 10lim nnu.2例例1. 的敛散性。的敛散性。判别判别nnn)11(1 级数发散。级数发散。解：解：nnnnnu)11(limlim 0 e例例2. nnn13121111证明调和级数证明调和级数发散。发散。证证：（反证）：（反证），设设)(11cnn )( nssn则则也应有也应有)(2 nssn; )(02 nssssnnnnnssnn21.21112 但：但：项项nnnn21.2121 矛盾！矛盾！. )(11dnn 可见可见 , ,11 nn, )(0 nun. )(11dnn 但但212 nn0课外作业课外作业习题习题 6 11（3，4），），2（

13、2，3），），3（1，2，4）4（1 ,3, 5, 7, 8） 2. 常数项级数的审敛常数项级数的审敛法法一、一、 正项级数正项级数及其及其审敛法审敛法1. 定义：定义：,01 nnnuu 中，中，若若。为正项级数为正项级数则称则称 1nnu许多级数的敛散性归结为许多级数的敛散性归结为 正项级数的敛散性。正项级数的敛散性。2. 正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件 证：证： ”：”：“收敛数列必有界，收敛数列必有界， 有界。有界。ns)(1cunn )()0(1cuunnn 定理：定理： 有界有界部分和数列部分和数列nsssnn lim”：”：“ ,有界有界ns,21nnuuus 又由

14、又由,11 nnnuss, 011nnnssu 单增，单增，ns,limssnn 1nnu(单调有界数单调有界数列必有极限列必有极限)(c)发散。发散。则则)0(1 nnnuu 无界，无界，若部分和数列若部分和数列对正项级数，对正项级数，nsqaqaqasnn 11 如：如： , )1(11 qaqnn)(c有界有界nsn1211 ,11 nn1111 nsn,)1(11 nnn无界无界)(d有界有界)(c, )11(ln1 nn)1ln(nsn 无界无界)(d)0(1 nnnuu)0(1 nnnvv nv若若), 2 , 1( nvunn且且 nu则则注意注意 ： 其它情形都不能判定。其它情

15、形都不能判定。3.审敛法（判别法）审敛法（判别法）比较审敛法：比较审敛法： 设有两个正项级数设有两个正项级数(c) ,(c) .(1)(2) nv若若(d) ,), 2 , 1( nvunn且且 nu则则(d) . 大的大的 (c) 小的也小的也 (c) 小的小的 (d) 大的也大的也 (d) 证明：证明： (1), )(1nnnnvucv 且且 niinus1 )(有界有界或或n ),( n . )(1cunn 即即 sn 有界有界(2) 反证法反证法 . , )(1dvnn 设设 niinus1 无界无界即即nsnniiv 1nniiv 1)( n. )(1dunn 推论推论1. 若若 ，

16、且从第，且从第n项起项起 ，则，则 也（也（c）.)( )0(1cvvnnn )0( kkvunn 1nnu 若若 ，且从第，且从第n项起项起 ，则，则 也（也（d）.)( )0(1dvvnnn )0( kkvunn 1nnu 即级数若从即级数若从某项后某项后满足比较审敛法，满足比较审敛法，仍得同样结果。仍得同样结果。(重要级数重要级数) 11npnp级数级数证明证明收敛，收敛，时时当当1 p发散。发散。时时当当1 p证：证：时，时，1 p)(11dnn 为调和级数，为调和级数，时，时，1 pnnp11 , )(11dnn 且且. )()1(11dpnnp 时，时，1 p，作作pxy1 ppp

17、nns131211 npxdx11)11(1111 pnpmp 111即即 有界有界 ns)()1(11cpnnp xy0123np21pxy1 nppx1111 11npn 要与已知敛散的级数一般项进行比较，要与已知敛散的级数一般项进行比较，等比级数等比级数 11nnaq(c) 1(d) 1qq p-级数级数 11npn(c) (d) 1 p1 p必须掌握一些已知敛散的级数。常用：必须掌握一些已知敛散的级数。常用：)1(11 pnn调和级数调和级数(d)推论推论2. 若若，对对)0(1 nnnuu), 2 , 1(1 nnupn 1nnu则则), 2 , 1(1 nnupn即即), 2 ,

18、1(1 nnunp 1,(c) 1nnu则则(d)p 1, 1nnu则则(d) 判别下列正项级数的敛散性：判别下列正项级数的敛散性：(1) 12)1(1nnn解：解：)(113cnn nnnn 321)1(1由由13 p)()1(112cnnn 例例1.,13n (2) 1211nnn解：解：211nn 111nn. )(1112dnnn n13121 2)1(1nn n 112211nnn )(d(3) 12)1(2nnn解：解：nn2)1(2 ,)21(2111 nnnn, 121 q)(211cnn )(2)1(21cnnn n23 123nn而而 1213nn)(c 从前例中已看到，可

19、先从从前例中已看到，可先从无穷小等价无穷小等价的的 观点来估计级数的敛散性，然后观点来估计级数的敛散性，然后找找一个一个 已知敛散的适当级数已知敛散的适当级数与之比较。与之比较。为此把比较法表示成为此把比较法表示成极限形式极限形式，使应用，使应用更方便。更方便。须选择适当级数使比较法有效，须选择适当级数使比较法有效，)0(lim llvunnn若若 比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式: 设正项级数设正项级数 ， 1nnu 1nnv，若若)(0, 0( nvunn)为同阶无穷小为同阶无穷小与与则知则知nnvu有相同的敛散性。有相同的敛散性。与与则则 11nnnnvu,0 l若若, )(1c

20、vnn 且且)(1cunn 则则, l若若, )(1dvnn 且且)(1dunn 则则 判别前例中级数判别前例中级数(1),(2)的敛散性：的敛散性：1)1(12lim nnn),(113cnn 原级数收敛。原级数收敛。例例2：)1(1)1(21 nnn31n解：解：211limnnn , )(11dnn 原级数发散。原级数发散。2111)2(nnn 21)1(limnnnn n1= 1 ，解：解：例例3： )11(ln)1(1 nn1)11(lnlim nn解：解：判别级数的敛散性：判别级数的敛散性：n1, )(11dnn 原级数发散。原级数发散。 1)12(21)2(nnn 解：解：)12(21lim nnn 原级数收敛。原级数收敛。21n, )(112cnn n1,41 nnnn2422lim 课外作业课外作业习题习题 6 2（a）1（2，3，4）1lim nnn1（4）注：）注：比值审敛法比值审敛法（达朗贝尔判别法）（达朗贝尔判别法）设正项级数设正项级数 ，若，若)0(1 nnnuu nnnuu1lim则则 当当,1 )(1cunn )(1d