403分部积分法

1、问题问题 ?dxxex解决思路解决思路利用两个函数乘积的求导法则利用两个函数乘积的求导法则.设设函函数数)(xuu 和和)(xvv 具具有有连连续续导导数数, ,vuvuuv , vuuvvu ,ddxvuuvxvu .dduvuvvu 分部积分公式分部积分公式: :4.3 4.3 分部积分法分部积分法将一个函数的积分转化为将一个函数的积分转化为另一个函数的积分另一个函数的积分.例例1 1 求积分求积分.cos xdxx解解 2coscos2xxdxdxx显然，显然， 选择不当选择不当，积分更难进行，积分更难进行.vu , xxcos22 xdxcos22xdxxxxsin2cos222 解解

2、 xdxxcos xxdsinxxsin .cossincxxx xdxsin.dduvuvvu .2 dxxex求求例例 从以上两例可见：当被积函数是幂函数从以上两例可见：当被积函数是幂函数与三角函数乘积或幂函数与指数函数乘积时与三角函数乘积或幂函数与指数函数乘积时，可用分部积分法，并，可用分部积分法，并拿三角函数和指数函拿三角函数和指数函数凑微分数凑微分.dduvuvvu dxxex解：解： xxde xxe() dxex .)(cxecexexxx 1例例3 3 求积分求积分.2 dxexx解解 dxexx2 xdex2 dxxeexxx22 xxxdeex2222 xex dxexex

3、xcexeexxxx )(22分分法法求求积积分分时时，注注：在在多多次次使使用用分分部部积积函函数数进进去去凑凑微微分分。的的或或同同一一类类型型每每一一次次应应拿拿同同一一个个)(.ln xdxx求例4解：解：xdxxlnln212xx2xdxx1例例5 5 求积分求积分.arctanxdxx 2arctanarctan2xxdxdxx解：解：)(arctan2arctan222xdxxx dxxxxx222112arctan2 2ln21xdxln212xx22xc?lnxdxdxxxx)111(21arctan222 .)arctan(21arctan22cxxxx 总结总结:若被积函

4、数是幂函数和对数函数或幂函数和若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，反三角函数的乘积，拿幂函数去凑微分。拿幂函数去凑微分。例例5 5 求积分求积分.arctanxdxx?arctanxdx例例6 6 求积分求积分.sinxdxex解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexxexxsin)cos(sin xdxexsin.)cos(sin2cxxex 注意循环注意循环例例7 7 求积分求积分.)sin(ln dxx解解 dxx)sin(l

5、n )sin(ln)sin(lnxxdxx dxxxxxx1)cos(ln)sin(ln )cos(ln)cos(ln)sin(lnxxdxxxx dxxxxx)sin(ln)cos(ln)sin(ln dxx)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2cxxx .sectan82 xdxx求求例例 xxdxdxxsectansectan2解解 .tanseclnsectansectancxxxxxdxx 212,sectantanseclnsectan xdxxxxxx2 xdxxxdxxxsectansecsectan2 dxxxxx21tansecsectan xdxxxx2secse

6、csectan xxdxxtansecsectan例例9 9 求积分求积分 .1arctan2dxxxx解解 ,1122xxx dxxxx21arctan 21arctanxxd)(arctan1arctan122xdxxx dxxxxx222111arctan1 dxxxx 2211arctan1令令txtan dxx 211 tdtt22sectan11 tdtsec1ctt )tanln(sec121cxx )ln(xx arctan12 .)1ln(2cxx 例例9 9 求积分求积分 .1arctan2dxxxx解解 dxxfx)( )(xxdf,)()( dxxfxxf,)(2 ce

7、dxxfx两边同时对两边同时对 求导求导, 得得x,2)(2xxexf dxxfx)( dxxfxxf)()(222xex .2cex ,)(2xexf 的原函数为的原函数为是是正正整整数数。求求积积分分例例naxdxinn,)( 2211122222 nnninaniaxx)(dxaxxnaxxinnn 1222222)()(dxaxaaxnaxxnn 122222222)()( 1222222222nnnaxdxnaaxdxnaxx)()()(解：解：,arctancaxai 11时，时，1 n.arctan)(caxaaxxaaxdxiin 1212222222，如如于于是是由由公公式式

8、可可得得出出 221axdxi,)12()(212221nnninaxxnai caxa arctan1合理选择合理选择 ，正确使用分部积，正确使用分部积分公式分公式vu ,dxvuuvdxvu 小小 结结.dduvuvvu ,cos,sin ,arctan ,arcsin, ,cos ,sin ,ln:xexebxxbxxexbxxbxxxxxxkkxkkkk 积积函函数数为为适适合合使使用用分分部部积积分分的的被被思考题思考题 在接连几次应用分部积分公式时，在接连几次应用分部积分公式时， 应注意什么？应注意什么？思考题解答思考题解答注意前后几次所选的注意前后几次所选的 应为同类型函数应为同

9、类型函数.u例例 xdxexcos第一次时若选第一次时若选xucos1 xdxexcosdxxexexx sincos第二次时仍应选第二次时仍应选xusin2 一、填空题：一、填空题：1 1、 xdxxsin_；2 2、 xdxarcsin_；3 3、计算、计算 xdxx ln2， u可设可设_ _ , , dv_；4 4、计算、计算 xdxexcos， u可设可设_ _ _ , , dv_；5 5、计算、计算 xdxx arctan2， u可设可设_ _ , , dv_； 6 6、 计计算算 dxxex， u可可设设_ _ _ _ _ _ _, , dv_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

10、 _ . .二、二、 求下列不定积分：求下列不定积分：1 1、 dxxx2cos22； 2 2、 dxxx23)(ln；练练 习习 题题3、 nxdxeaxcos； 4、 dxex3；5、 dxx)cos(ln； 6、 dxxxex232arctan)1( .三三、 已已知知xxsin是是)(xf的的原原函函数数，求求 dxxxf)(. .四四、 设设 cxfdxxf)()(，)(xf可可微微，且且)(xf的的反反函函数数)(1xf 存存在在，则则 cxffxxfdxxf )()()(111. .一、一、1 1、cxxx sincos； 2 2、cxxx 21arcsin； 3 3、dxxx2,ln； 4 4、,xe xdxcos； 5 5、dxxx2,arctan； 6 6、dxexx ,. .二、二、1、cxxxxxx sincossin21623； 2、cxxxx