arc885234曲线的凹凸性与拐点

1、第四节 曲线的凹凸性与拐点o一、一、曲线凹凸性的定义曲线凹凸性的定义o二、二、曲线凹凸性的判别曲线凹凸性的判别o三、三、曲线的拐点及求法曲线的拐点及求法o四、四、小结小结一、曲线凹凸性的定义问题问题: :如何研究曲线的弯曲方向?xyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位于所张弦的上方xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位于所张弦的下方上的图形是在则称恒有上任意两点若对上连续在区间设ixfxfxfxxfxxiixf)(,2)()()2(,)(212121,2)()()2(2121xfxfxxf恒有;）（向上）凹的（或凹弧上的图形是在则称ixf)(）（向上）凸的（或凸弧上的图形是在则称的或凸内

2、的图形是凹且在上连续在若,)(,)(),(,)(baxfbabaxf.)(的或凸凹o 注意：注意：凹上凹；凸下凹xyo)(xfy xyo)(xfy abab递增递增)(xf abba0 y递减递减)(xf 0 y定理1.,)(, 0)()2(;,)(, 0)() 1 (),(,),(,)(上的图形是凸的在则上的图形是凹的在则内若在一阶和二阶导数内具有在上连续在如果baxfxfbaxfxfbababaxf 二、曲线凹凸性的判别例1.3的凹凸性判断曲线xy 解,32xy ,6xy 时，当0 x, 0 y为凸的；在曲线0 ,(时，当0 x, 0 y为凹的；在曲线), 0 .)0 , 0(点是曲线由凸

3、变凹的分界点注意到注意到: :注意注意: :拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.三、曲线的拐点及其求法o 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点. 0)()(,(),()(00000 xfxfxxxxf是拐点的必要条件是点内存在二阶导数，则在若定理定理2求法求法: :, 0)(,)(00 xfxxf且的邻域内二阶可导在设函数;)(,(,)() 1 (000即为拐点点变号两近旁xfxxfx .)(,(,)()2(000不是拐点点不变号两近旁xfxxfx 例2.14334的拐点及凹、凸的区间求曲线xxy解),( :d,121223xxy).32(36 xxy, 0 y令.32, 021xx得).,32,

4、32, 0,0 ,(凹凸区间为x)0 ,(),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凸的凹的拐点拐点) 1 , 0()2711,32(.)()(,(,)(000的拐点也可能是连续曲线点不存在若xfyxfxxf 注意注意: :例4.3的拐点求曲线xy 解,0时当 x,3132xy,9435 xy.,0均不存在是不可导点yyx , 0,)0 ,( y内但在;0 ,(上是凹的曲线在 , 0,), 0( y内在.), 0上是凸的曲线在.)0 , 0(3的拐点是曲线点xy 四、小结曲线的弯曲方向曲线的弯曲方向凹凸性凹凸性; ;改变弯曲方向的点拐点;凹凸性的判定.拐点的求法.思考题思考题设

5、设)(xf在在),(ba内二阶可导，且内二阶可导，且0)(0 xf，其中其中),(0bax ，则，则,(0 x)(0 xf是否一定为是否一定为曲线曲线)(xf的拐点？举例说明的拐点？举例说明.思考题解答思考题解答因为因为0)(0 xf只是只是,(0 x)(0 xf为拐点为拐点的的必要条件必要条件，故故,(0 x)(0 xf不一定是拐点不一定是拐点.例例4)(xxf ),( x0)0( f但但)0 , 0(并不是曲线并不是曲线)(xf的拐点的拐点.一、一、 填空题：填空题：1 1、 若函数若函数)(xfy 在在 （ba,） 可导， 则曲线） 可导， 则曲线)(xf在在( (ba,) )内取凹的充

6、要条件是内取凹的充要条件是_._.2 2、 曲线上曲线上_的点，称作曲线的拐点的点，称作曲线的拐点 . .3 3、 曲线曲线)1ln(2xy 的拐点为的拐点为_._.4 4、 曲线曲线)1ln(xy 拐点为拐点为_._.二、二、 求曲线求曲线xeyarctan 的拐点及凹凸区间的拐点及凹凸区间 . .三、三、 利用函数图形的凹凸性，证明不等式：利用函数图形的凹凸性，证明不等式： 22yxyxeee )(yx . .四、求曲线四、求曲线 2sin2cot2ayax的拐点的拐点 . .练练 习习 题题三、三、 证明下列不等式：证明下列不等式：1 1、 当当0 x时，时，221)1ln(1xxxx

7、；2 2、 当当4 x时，时，22xx ；3 3、 若若0 x，则，则361sinxxx . .四、四、 方程方程)0(ln aaxx有几个实根有几个实根. .五、五、 设设)(xf在在 ba, 上连续，在上连续，在( (ba,) )内内)(xf , ,试证试证 明：对于明：对于 ba, 上任意两上任意两1x，2x有有 2)()()2(2121xfxfxxf 提示：方法提示：方法（1 1） 0)( xf，)(xf 单增；方法单增；方法（2 2）0)( xf， 利用泰勒公式利用泰勒公式 五、五、 试证明曲线试证明曲线112 xxy有三个拐点位于同一直线有三个拐点位于同一直线上上 . .六、六、 问问a及及b为何值时，点为何值时，点(1,3)(1,3)为曲线为曲线23bxaxy 的拐点？的拐点？七、七、 试决定试决定22)3( xky中中k的值的值, ,使曲线的拐点处使曲线的拐点处的法线通过原点的法线通过原点 . .一、一、1 1、),()(baxf在在 内递增或内递增或0)(),( xfbax； 2 2、凹凸部分的分界点；、凹凸部分的分界点；3 3、2 ,(), 2),2, 2(2e； 4 4、)2ln, 1(),2ln, 1( . .二、拐点二、拐点),21(21arctane, ,在在21,(内是凹的内是凹的, ,在在),21内是凸的内是凸的. .四、拐点四、拐点)