高三数学一轮复习第七章平面集合圆的方程课件文

1、2013届高三数学一轮复习课件第七章平面集合圆 的 方 程 考点考 纲 解 读1圆的方程掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.2点与圆的位置关系会用几何法和代数法判断点与圆的位置关系. 从近几年的高考试题来看,求圆的方程或已知圆的方程求圆心坐标、半径等是高考的热点,题型有选择、填空和解答题,客观题突出“小而巧”的特点.可以预测2013年高考用待定系数法求圆的方程仍是考查的重点,同时注重考查方程思想和数形结合思想的运用. 一、圆的方程1.圆的定义:平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹叫做圆.2. 圆的标准方程 :(x-a)2+(y-b)2=r2 ,圆心为c(a,b),半径为r.若圆心

2、在坐标原点上,这时a=b=0,则圆的方程就是x2+y2=r2.3.圆的一般方程:x2+y2+dx+ey+f=0(d2+e2-4f0) .(2)当d2+e2-4f=0时,方程只有实数解x=-,y=-,即只表示一个点(- ,- );2d2e2d2e(1)当d2+e2-4f0时,表示以(- ,- )为圆心, 为半径的圆;2d2e12224def(3)当d2+e2-4f0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.二、点与圆的位置关系判断点a(x0,y0)与圆c:(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系,可用下列方法:(1)几何法:|ac|r点a在圆外.(2)代数法:(x0-a)2+(y0-b)2r2

3、点a在圆外.三、对称问题圆(x-a)2+(y-b)2=r2关于直线x=0的对称圆的方程为(x+a)2+(y-b)2=r2;关于直线y=0的对称圆的方程为(x-a)2+(y+b)2=r2;关于直线y=x的对称圆的方程为(x-b)2+(y-a)2=r2;关于直线y=-x的对称圆的方程为(x+b)2+(y+a)2=r2.对于一般的直线方程ax+by+c=0,先求出圆心p(a,b)关于直线的对称点p1,然后以p1为圆心r为半径写出圆的方程即可. 1.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是( )(a)a. (b)-a0.(c)-2a0. (d)-2a0知-3a2-4a+

4、40,即3a2+4a-40,-2a.232.圆(x+2)2+y2=5关于原点o(0,0)对称的圆的方程为( )(a)(x-2)2+y2=5. (b)x2+(y-2)2=5.(c)(x+2)2+(y+2)2=5. (d)x2+(y+2)2=5.【解析】点(-2,0)关于(0,0)对称点(2,0),则所求圆的方程为(x-2)2+y2=5.【答案】a3.点p(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )(a)(x-2)2+(y+1)2=1.(b)(x-2)2+(y+1)2=4.(c)(x+4)2+(y-2)2=4.(d)(x+2)2+(y-1)2=1.【答案】a【解析】设圆上任一

5、点坐标为(x0,y0),则+=4,设连线中点坐标为(x,y),20 x20y则 代入 + =4中得(x-2)2+(y+1)2=1.0024,22xxyy0024,22xxyy20 x20y4.以直线2x+y-4=0与两坐标轴的一个交点为圆心,过另一个交点的圆的方程为 .【答案】x2+(y-4)2=20或(x-2)2+y2=20【解析】令x=0得y=4,令y=0得x=2,直线与两轴交点坐标为a(0,4)和b(2,0),|ab|= ,以点a为圆心过点b的圆方程为x2+(y-4)2=20,以点b为圆心过点a的圆方程为(x-2)2+y2=20.20 题型1圆的方程 例1求经过点a(-2,-4),且与直

6、线l:x+3y-26=0相切于点b(8,6)的圆的方程.【分析】求圆的方程,既可以设圆的一般方程,也可以设圆的标准方程,用待定系数法求解.【解析】(法一)设所求圆的方程为x2+y2+dx+ey+f=0,则圆心c(-,-),kcb= . 由kcbkl=-1得 (-)=-1.又(-2)2+(-4)2-2d-4e+f=0,2d2e6282ed6282ed1382+62+8d+6e+f=0.由联立解得d=-11,e=3,f=-30.所求圆的方程为x2+y2-11x+3y-30=0.(法二)设所求圆的圆心为c,则cbl,从而可得cb所在直线的方程为y-6=3(x-8),即3x-y-18=0.由a(-2,

7、-4),b(8,6),得ab的中点坐标为(3,1).又kab= =1,ab的垂直平分线的方程为y-1=-(x-3),即x+y-4=0.6482由联立后,解得 即圆心的坐标为( ,- ).11,23.2xy 11232所求圆的半径r= = .所求圆的方程为(x-)2+(y+)2= .【点评】用待定系数法求圆的方程的步骤大致是:根据题意选择方程的形式标准方程或一般方程;根据条件列出关于a、b、r或d、e、f的方程组;解出a、b、r或d、e、f,代入标准方程或一般方程.22113(8)(6)221252112321252变式训练1 (1)求经过两点a(-1,4)、b(3,2),且圆心在y轴上的圆的方

8、程.(2)求与x轴切于点(5,0),并且在y轴上截得的弦长为10的圆的方程.【解析】(1)圆心在y轴上,可设圆的标准方程是x2+(y-b)2=r2.该圆经过a、b两点, 所以圆的方程是x2+(y-1)2=10.222222( 1)(4),3(2),brbr 21,10.br(2)设所求圆的方程为(x-5)2+(y-b)2=b2,并且与y轴交于a、b两点,则|ab|=10,|b|=5 ,b=5 ,所求圆的方程为(x-5)2+(y5 )2=50.222 题型2与圆有关的最值问题 例2 (1)由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,求切线长的最小值.(2)若实数x,y满足方程x2+

9、y2-4x+1=0,求 的最值.1yx【分析】(1)由于切线垂直于过切点的半径,故切线长的平方等于圆外的点到圆心的距离与半径的平方差.(2)将 看作斜率,数形结合求最值.1yx【解析】(1)如图所示,设直线上一点p,切点为q,圆心为m,则|pq|即为切线长,mq为圆m的半径,长度为1, |pq|= = ,要使|pq|最小,即求|pm|的最小值,也即求直线y=x+1上的点到圆心m的最小距离,即圆心到直线y=x+1的距离d,则d= =2 ,|pm|的最小值为2 ,|pq|= = .22|pmmq2|1pm22|30 1|1( 1) 222|1pm2(2 2)17(2) = , 表示过点p(-1,0

10、)与圆(x-2)2+y2=3上的点(x,y)的直线的斜率.1yx0( 1)yx 1yx由图象知 的最大值和最小值分别是过p与圆相切的直线pa、pb的斜率.设圆心c(2,0).又kp a= = = ,kpb=- =- =- .即 的最大值为 ,最小值为- .1yx|capa3622|cbpb36221yx2222【点评】求与圆有关的最值问题常采用几何法,就是利用一些代数式的几何意义进行转化.如形如m= 的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;形如t=ax+by的最值问题,可转化为直线在y轴上的截距的最值问题;形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为两点间的距离平方的最值问题.ybxa变式训练2 已知实数x、y满足方程y= .求(1) 的最大值和最小值;241xx21yx(2)x-2y的最大值和最小值.【解析】(1)y= 所表示的图形为x轴上方的半圆,设半圆与x轴的交点从左至右分别为a、b, 看成圆上一点与(-1,-2)连线l的斜率,可知当l与圆切在x轴上方和过点b时分别达到最大值 和最小值 .241xx21yx6306333(2)x-2y看成是直线x-2y=b在x轴上的截距,当直线与圆切于x轴的上方和过点b时分别取得最小值2- 和最大值2+ .153 1.求圆的方程时,要选择适当的方程:(1)若条件与半径、圆心坐标有关,