41不定积分的概念与性质53888

1、返回返回第四章第四章 不定积分不定积分第一节第一节 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表二、基本积分表三、不定积分的性质三、不定积分的性质四、小结四、小结求不定积分的运算，就是求导数运算的逆运算。求不定积分的运算，就是求导数运算的逆运算。)(sin xxcos xcos )(? )()(?xf 问题的提出问题的提出微分法微分法积分法积分法?)( xf返回返回例例1 xx22 )0(1ln xxxxln是是x1在区间在区间), 0( 内的原函数内的原函数.定义：定义：一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念, ix

2、 若对若对)()( xfxf 有有ixfxf )( )( 在在是是则称则称上的原函数上的原函数anti-derivative返回返回原函数存在定理原函数存在定理连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数,)( cixf 即若即若),( xf 则则, ix 使对使对)()( xfxf 有有2例例2)(xxf cr ,31)(3xxf )()(xfxf 初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数初等函数在定义区间上有原函数返回返回原函数存在定理原函数存在定理连连续续函函数数一一定定有有原原函函数数,)( cixf 即若即若),( xf 则则, ix 使对使对)()(

3、 xfxf 有有2例例2)(xxf cr ,31)(3xxf )()(xfxf 问题：问题：, 若原函数若原函数是否唯一？是否唯一？. 否否),()( xfxf 若若)()( xfcxf 则则的原函数，的原函数，是是即若即若 )( )( xfxf. )( 亦是亦是则则cxf 返回返回关于原函数的说明：关于原函数的说明：（1）若）若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，)()(xfxf ccxf )(都都是是)(xf的的原原函函数数.（2）若）若 和和 都是都是 的原函数，的原函数，)(xf)(xg)(xf则则cxgxf )()(（ 为任意常数）为任意常数）c证证 )()()()(xgxfxgx

4、f 0)()( xfxfcxgxf )()(（ 为任意常数）为任意常数）c返回返回定义定义, ix 对对)()( xfxf 若若则称则称cxf )(的不定积分的不定积分为为 )( xf记记号号分分积积数数函函积积被被被积表达式被积表达式项项数数常常 dxxf)(积分变量积分变量cxf )(的所有原函数的所有原函数 )(xf返回返回3例例dxx 5求求解解,)6(56xx 665xdxx 4例例dxx 211求求解解 211arctanxx xdxxarctan112c c 返回返回 dxxf)( )(xdf )(dxxf dxxfdxd)( dxxfd)(cxf )(cxf )()(xf )(

5、xfdxxf)(积分运算与导数运算的互逆关系积分运算与导数运算的互逆关系)( cxf)(xf 先积后导，不积不导先积后导，不积不导先导后积，加上常数先导后积，加上常数返回返回同一函数的不定积分的结果形式会不同同一函数的不定积分的结果形式会不同 ;arctan112cxdxx可用求导数的方法验证正确性可用求导数的方法验证正确性. cxarcdxxcot112返回返回ckx dxx 01 kdx0203 dxx104 dxx21105 dxx21106 xdxcos07 xdxsin08 dxx2sec09 xdx2csc010 dxxxtansec011 xdxxcotcsc012 dxex01

6、3 dxax)1( 二、基本积分表二、基本积分表返回返回6例例解解dxx 求求 x)(1 x)1( 11 即即)(1 x)1(1 x x dxx 11 xc 返回返回 dxx 01 kdx0203 dxx104 dxx21105 dxx21106 xdxcos07 xdxsinckx cx 11 )1( cx arctan08 dxx2sec09 xdx2csc010 dxxxtansec011 xdxxcotcsc012 dxex013 dxax二、二、 基本积分表基本积分表返回返回7例例解解 dxx1求求xdxxln1 ?0 x若若此时此时 )ln( xx 1)1( x1 时时综上，综上，

7、0 xxdxxln1 c c 返回返回 dxx 基本积分表基本积分表二二.01 kdx0203 dxx104 dxx21105 dxx21106 xdxcos07 xdxsinckx cx 11 )1( cx lncx arctancx arcsin08 dxx2sec09 xdx2csc010 dxxxtansec011 xdxxcotcsc012 dxex013 dxaxcx sincx coscx tancx cotcx seccx csccex 返回返回8例例解解 dxax求求xa )(xaaln)ln( aaxaaxln)( 即即xa dxaxaaxln c 返回返回 dxx 基本积

8、分表基本积分表二二.01 kdx0203 dxx104 dxx21105 dxx21106 xdxcos07 xdxsinckx cx 11 )1( cx lncx arctancx arcsin08 dxx2sec09 xdx2csc010 dxxxtansec011 xdxxcotcsc012 dxex013 dxaxcx sincx coscx tancx cotcx seccx csccex caax ln返回返回cxdxx 11 dxxx 2 求求9例例解解10例例解解dxxx 31 求求dxxx 2dxx 25125125 x.7227cx dxxx 31dxx 27127127

9、x.5225cx c c 返回返回 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf证证 dxxgdxxf)()( dxxgdxxf)()().()(xgxf 等式成立等式成立.（此性质可推广到（此性质可推广到有限有限多个函数之和的情况）多个函数之和的情况）三、三、 不定积分的性质不定积分的性质 dxxkf)()2(.)( dxxfk（k是是常常数数，)0 k返回返回12例例 dxxx)3( 32求求解解 dxxx)3(32661x 3x 13例例解解.)1213( 22dxxx 求求dxxx)1213(22 xarctan3 xarcsin2 c c 14例例dxxx 23)1(dxx

10、xxx 223133 dxxdxx253 dxxxx)133(2返回返回例例1515 求积分求积分解解.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.lnarctancxx 需借助代数需借助代数作恒等变形作恒等变形本题可用分项方法化简本题可用分项方法化简返回返回18例例解解 xdx2cot 求求 xdx2cot dxx)1(csc2xcot x c 19例例解解 dxx2sin 2求求 dxx2sin2 dxx)cos1(21x(21 )sin x c 需借助三角公式作恒等变形需借助三角公式作恒等变形返回返回例例20

11、 求积分求积分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx2cos121.tan21cx 说明：说明： 以上几例中的被积函数都需要进行以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表恒等变形，才能使用基本积分表.需借助三角公式作恒等变形需借助三角公式作恒等变形 xdx2sec21返回返回16例例),2 , 1(已知某曲线过点已知某曲线过点处切线处切线点点其上其上),(yx 的两倍，的两倍，的斜率为的斜率为x求其方程求其方程解解)( xfy 设曲线方程设曲线方程则由题意知则由题意知xxf2)( )(xfdxx 22x ),2 , 1(曲线过点曲线过点又又,12c 1 c即即1

12、2 xy故所求曲线为故所求曲线为xy0c 返回返回),2 , 1(已知某曲线过点已知某曲线过点处切线处切线点点其上其上),(yx 的两倍，的两倍，的斜率为的斜率为x求其方程求其方程解解则由题意知则由题意知xxf2)( ),2 , 1(曲线过点曲线过点又又,12c 1 c即即12 xy故所求曲线为故所求曲线为xy02x c )(xfdxx 2)( xfy 设曲线方程设曲线方程16例例返回返回ex: 求积分求积分解解.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1cxx 返回返回分析分析 进行积分计算时，应尽可能使被积

13、函数变得进行积分计算时，应尽可能使被积函数变得简单，从而易于计算。本题可用分项方法化简。简单，从而易于计算。本题可用分项方法化简。 返回返回解解,2cos2xdxdy dxxy 2cos2,sin2121cxx , 5)0( y, 5 c所求曲线方程为所求曲线方程为. 5sin2121 xxydxx 2cos1返回返回基本积分表基本积分表(1)不定积分的性质不定积分的性质 原函数的概念：原函数的概念：)()(xfxf 不定积分的概念：不定积分的概念： cxfdxxf)()(求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系四、四、 小结小结返回返回思考题思考题符号函数符号函数 0, 10, 00

14、, 1sgn)(xxxxxf在在 内是否存在原函数？为什么？内是否存在原函数？为什么？),( 返回返回思考题解答思考题解答不存在不存在.假设有原函数假设有原函数)(xf 0,0,0,)(xcxxcxcxxf但但)(xf在在0 x处处不不可可微微，故假设错误故假设错误所以所以 在在 内不存在原函数内不存在原函数.),( )(xf结论结论每一个含有每一个含有第一类间断点第一类间断点的函数都的函数都没有原函数没有原函数.返回返回一、一、 填空题：填空题：1 1、 一个已知的函数，有一个已知的函数，有_个原函数，其中任意个原函数，其中任意两个的差是一个两个的差是一个_；2 2、 )(xf的的_称为称为

15、)(xf的不定积分；的不定积分；3 3、 把把)(xf的一个原函数的一个原函数)(xf的图形叫做函数的图形叫做函数)(xf的的_，它的方程是，它的方程是)(xfy ，这样不定积，这样不定积 dxxf)(在几何上就表示在几何上就表示_，它的方程是，它的方程是 cxfy )(；4 4、 由由)()(xfxf 可 知 ， 在 积 分 曲 线 族可 知 ， 在 积 分 曲 线 族cxfy )( )(是任意常数是任意常数c上横坐标相同的点上横坐标相同的点处作切线，这些切线彼此是处作切线，这些切线彼此是_的；的；5 5、 若若)(xf在某区间上在某区间上_，则在该区间上，则在该区间上)(xf的的 原函数一定存在；原函数一定存在；练习题练习题返回返回6 6、 dxxx_ _；7 7、 xxdx2_；8 8、 dxxx)23(2_；9 9、 dxxx)1)(1(3_；1010、 dxxx2)1(=_=_ ._ .返回返回3 3、 dxx2cos2 4 4、 dxxxx22sincos2cos5 5、 dxxxx)11(26 6、 xdxxxx2222sec1sin 三、一曲线通过点三、一曲线通过点)3,(2e，且在任一点处的切线的斜，且在任一点处的切线的斜 率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程 . .四、证明函数四、证明函数xx