函数的平均变化率

1、13.1.1 函数的平均变化率平阴一中平阴一中 数学组数学组 于嘉曦于嘉曦选修选修1-1 1-1 第三章第三章 导数导数2如何用数学知如何用数学知识来识来反映山势反映山势的平缓与陡峭的平缓与陡峭程度？程度？引入引入:观察以下两张图片观察以下两张图片31.1.理解函数平均变化率的概念；理解函数平均变化率的概念； （重点）（重点）2.2.理解函数平均变化率的几何意义；理解函数平均变化率的几何意义； （难点）（难点）3.3.会求函数在某点处附近的平均变化率会求函数在某点处附近的平均变化率. .( (重点）重点）4 如如图，是一座山的剖面示意图图，是一座山的剖面示意图:a:a是登山者的出发是登山者的出

2、发点点,h,h是山顶是山顶, ,登山路线用登山路线用y=f(x)y=f(x)表示表示 , , 问题问题：当自变量当自变量x x表示登山者的水平位置，函数值表示登山者的水平位置，函数值y y表示登山者所在高度时，如何用数量表示山路的平表示登山者所在高度时，如何用数量表示山路的平缓及陡峭程度呢？缓及陡峭程度呢？探究点探究点: 函数平均变化率函数平均变化率abcdfxkxk+1x0x1x2yox5oyxx0 x1y0y1a(x0,y0)b(x1,y1)选取选取abab段平直山路放大研究段平直山路放大研究: :0011(,),(,)a xyb xy设10 xxx 10yyy 自变量的改变量自变量的改变

3、量函数值的改变量函数值的改变量1010abyyykxxx直线直线abab的斜率的斜率: :xy.yx可见比值可以表示的陡直山路峭程度平habcdfxkxk+1x0x1x2yox6如何用数量刻画如何用数量刻画cdcd段段弯曲山路弯曲山路的陡峭程度呢？的陡峭程度呢？2233(,), (,)c xyb xy设13232cdyyykxxx于是此段山路的陡峭于是此段山路的陡峭程度可用直线程度可用直线cdcd1 1的斜的斜率近似表示率近似表示: :habcdfxkxk+1x0x1x2yoxd1将将弯曲山路弯曲山路cdcd分成许多小段，每一小段视为分成许多小段，每一小段视为“平直平直”. .例如山路例如山路

4、cdcd的一小段，的一小段，近似看成直线段近似看成直线段cdcd1 1. .d1oyxx2x3y2y3c(x2,y2)(x3,y3)7habcdfxkxk+1x0x1x2yoxd1注意：注意：/cd/yxyxab段的与段的是不同的./yx各段的是登山高度在这段山路上的平均变化的度量./yx 越大，山坡越陡，高度的平均变化量就越大.不管是哪一小段山路，高度的平均变化可以用起点和终点的纵坐标之差与相应横坐标之差的比值来度量：k+1kk+1k()()f xf xyxxx8令令 函数函数平均变化率平均变化率的定义的定义0= ( )y f xxx已知函数在点及其附近有定义，0 x则当时，比值0=yyy0

5、0(+)()f xxf xyxx叫做函数叫做函数00= ( )+y f xxxx在到之间的平均变化率0=x xx000( )()()()f xf xf xxf x9 函数函数平均变化率平均变化率的几何意义的几何意义00(+)()f xxf xyxx观察函数观察函数f(x)的图象，可知的图象，可知函数平均变化率函数平均变化率 恰好表示曲线恰好表示曲线f(xf(x) )的的过点过点 a、b的割线的斜率的割线的斜率.00(+)()abf xxf xykxx即oabxyy=f(x)x0x0+xf(x0)f(x0+x)x00( )( )f xxf x10例例1 1解解: :200+.yxxxx求函数在

6、到之间的平均变化率00+xxx当自变量从 变到时，函数的平均变化率为00(+)()f xxf xx2200(+)xxxx02+xx分析分析:当当 取定值取定值, 取不同数值时取不同数值时, 该函数的平均变化率也不一样该函数的平均变化率也不一样.x0 x11【变式练习【变式练习】解解: :213.yx求出函数在 到 之间和-3到-1之间的平均变化率,并画图表示13当自变量从 变到 时，函数的平均变化率为(3)(1)3 1ff22313 1431当自变量从- 变到- 时，函数的平均变化率为( 1)( 3)( 1)( 3)ff 22133 1412例例2 2解解: :001+.yxxxx求函数在 到

7、之间的平均变化率00+xxx当自变量从 变到时，函数的平均变化率为00(+)()f xxf xx0011+xxxx001()xx x 001+yxxxx观察的图像，你发现该函数从 到的平均变化率与它的图像之间有何关系？13 路程 乙 甲 t o 乙 甲 100m y t 0 t o图图1图图21.1.甲乙二人跑步路程与时间的关系以及百米赛跑路程和甲乙二人跑步路程与时间的关系以及百米赛跑路程和时间的关系分别如图（时间的关系分别如图（1 1）（）（2 2）所示，）所示，（1 1）甲乙二人哪一个跑得快？甲乙二人哪一个跑得快？（2 2）甲乙二人百米赛跑，快到终点时，谁跑得比较快？甲乙二人百米赛跑，快到

8、终点时，谁跑得比较快？乙乙乙乙142 2、已知函数、已知函数f(xf(x)=-x)=-x2 2+x+x的图象上的一点的图象上的一点a(-1,-2)a(-1,-2)及及邻近一点邻近一点b(-1+x,-2+y),b(-1+x,-2+y),则则y/xy/x=( )=( ) a. 3 b. 3x-(x) a. 3 b. 3x-(x)2 2 c. 3-(x) c. 3-(x)2 2 d.3-x d.3-x d15解解: :sin0632.yx3.求出函数在 到之间和到之间的平均变化率,比较大小，并画图表示06当自变量从 变到时，函数的平均变化率为sinsin0606342当自变量从变到时，函数的平均变化率为sinsin23233(23)16回顾本节课你有什么收获？回顾本节课你有什么收获？ 1.1.函数函数平均变化率平均变化率的定义的定义 2.2.函数函数平均变化率平均变化率的几何意义的几何意义oabxyy=f(x)x0x0+xf(x0)f(x0+x)x00( )( )f xxf x00(+)()f xxf xy