函数曲线的凹凸性91655

1、6.6 6.6 曲线的凹凸性与拐点及渐近线曲线的凹凸性与拐点及渐近线 曲线的凹凸性定义曲线的凹凸性定义 凹凸性的判定凹凸性的判定 曲线的拐点及其求法曲线的拐点及其求法 渐近线渐近线 小结小结 思考题思考题 作业作业一、曲线凹凸的定义问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方abc定义定义的（或凸弧）的（或凸弧）上的图形是（向上）凸上的图形是（向上）凸在在那末称那末称如果恒有如果恒有的（或凹弧）的（或凹弧）

2、上的图形是（向上）凹上的图形是（向上）凹在在那末称那末称恒有恒有点点上任意两上任意两如果对如果对上连续上连续在区间在区间设设ixfxfxfxxfixfxfxfxxfxxiixf)(,2)()()2(;)(,2)()()2(,)(2121212121 ;)(,)(,)(),(,)(的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹在在那末称那末称的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹且在且在内连续内连续在在如果如果baxfbabaxf二、曲线凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abab递增递增)(xf abba0 y递减递减)(xf 0 y定理定理1 1.,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(

3、),(,),(,)(上的图形是凸的上的图形是凸的在在则则上的图形是凹的上的图形是凹的在在则则内内若在若在一阶和二阶导数一阶和二阶导数内具有内具有在在上连续上连续在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 证证20000)(! 2)()()()(xxfxxxfxfxf )(0之间之间与与在在xx )()()(000 xxxfxfxf即即)()()(000 xxxfxfxf ),(0bax 任取任取 泰勒公式泰勒公式),(bax 处的切线处的切线在在曲线曲线0)(xxfy 0 20)(! 2)(xxf ),(bax 0)( xf若若)()()(000 xxxfxfxf 10010()()

4、()()(1)f xf xfxxx 20020()()()()(2)f xf xfxxx 1100120()()2 ()()(2)f xf xf xfxxxx (1)(2)02 ()f x 01112()()().22f xf xxxf 即即例例1 1.3的凹凸性的凹凸性判断曲线判断曲线xy 解解,32xy ,6xy 时，时，当当0 x, 0 y为凸的；为凸的；在在曲线曲线0 ,(时，时，当当0 x, 0 y为凹的；为凹的；在在曲线曲线), 0 .)0 , 0(点点是曲线由凸变凹的分界是曲线由凸变凹的分界点点注意到注意到,三、曲线的拐点及其求法连续曲线上凹凸的分界点称为连续曲线上凹凸的分界点称

5、为曲线的拐点曲线的拐点.1 1、定义、定义注意注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.2 2、拐点的求法、拐点的求法, 0)(,)(00 xfxxf且且的邻域内二阶可导的邻域内二阶可导在在设函数设函数;)(,(,)()1(000即为拐点即为拐点点点变号变号两近旁两近旁xfxxfx .)(,(,)()2(000不是拐点不是拐点点点不变号不变号两近旁两近旁xfxxfx 方法方法1:1:例例2 2.14334凹、凸的区间凹、凸的区间的拐点及的拐点及求曲线求曲线 xxy解解),(: d,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0

6、 ,( ),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点)1 , 0()2711,32().,32,32, 0,0 ,(凹凸区间为凹凸区间为0000( )()()limxxfxfxfxxx 不不妨妨0 00( )fxx 在在两侧异号，两侧异号，0 x是拐点。是拐点。方法方法2:2:.)()(,(,0)(, 0)(,)(00000的拐点的拐点线线是曲是曲那末那末而而且且的邻域内三阶可导的邻域内三阶可导在在设函数设函数xfyxfxxfxfxxf 例例3 3.)2 , 0(cossin的拐点的拐点内内求曲线求曲线 xxy解解,sincosxxy ,cos

7、sinxxy .sincosxxy , 0 y令令.47,4321 xx得得2)43( f, 0 2)47( f, 0 内曲线有拐点为内曲线有拐点为在在2 , 0 ).0 ,47(),0 ,43( .)()(,(,)(000的拐点的拐点是连续曲线是连续曲线也可能也可能点点不存在不存在若若xfyxfxxf 注意注意: :例例4 4.3的拐点的拐点求曲线求曲线xy 解解,0时时当当 x,3132 xy,9435 xy.,0均不存在均不存在是不可导点是不可导点yyx , 0,)0 ,( y内内但在但在;0 ,(上是凹的上是凹的曲线在曲线在 , 0,), 0( y内内在在.), 0上是凸的上是凸的曲线

8、在曲线在.)0 , 0(3的拐点的拐点是曲线是曲线点点xy 四、渐近线定义定义: :.)(,)(一条渐近线一条渐近线的的就称为曲线就称为曲线那么直线那么直线趋向于零趋向于零的距离的距离到某定直线到某定直线如果点如果点移向无穷点时移向无穷点时沿着曲线沿着曲线上的一动点上的一动点当曲线当曲线xfyllppxfy 1.1.铅直渐近线铅直渐近线)(轴的渐近线轴的渐近线垂直于垂直于 x000lim( )lim( )( )xxxxf xf xyfxxx 如如果果或或那那么么就就是是的的一条铅直渐近线一条铅直渐近线.例如例如,)3)(2(1 xxy有铅直渐近线两条有铅直渐近线两条: :. 3, 2 xx2.

9、2.水平渐近线水平渐近线)(轴的渐近线轴的渐近线平行于平行于 xlim( )lim( )()( )xxf xf xbybbxbfy 如如果果或或是是常常量量那那么么就就是是的的例如例如,arctan xy 有水平渐近线两条有水平渐近线两条: :.2,2 yy一条水平渐近线一条水平渐近线.3.3.斜渐近线斜渐近线lim ( )0 1lim ()0( ,)()(xxf xf xaaxbaxbyaxbbyf x 如如果果（）或或是是常常量量那那么么就就是是的的斜渐近线求法斜渐近线求法:( )lim,xf xax lim ( ).xf xbax.)(的一条斜渐近线的一条斜渐近线就是曲线就是曲线那么那么

10、xfybaxy 一条斜渐近线一条斜渐近线.:, 的的公公式式下下面面求求计计算算ba由由(1)式和式和0)()(1lim baxxfxx,为为无无穷穷大大x )(limxbaxxfx,后后求求出出a)(limaxxfbx xxfax)(lim axxfx)(lim0,)1(ba式式可可确确定定代代入入将将有有即即从而从而注意注意:( )(1) lim;xf xx如如果果不不存存在在,)(lim,)(lim)2(不存在不存在但但存在存在axxfaxxfxx .)(不存在斜渐近线不存在斜渐近线可以断定可以断定xfy 例例1 1.1)3)(2(2)(的渐近线的渐近线求求 xxxxf解解)., 1()

11、1 ,(:d )(lim1xfx, )(lim1xfx, .1是曲线的铅直渐近线是曲线的铅直渐近线 x xxfx)(lim又又)1()3)(2(2lim xxxxx, 2 2)1()3)(2(2limxxxxxx 1)1(2)3)(2(2lim xxxxxx, 4 .42是曲线的一条斜渐近线是曲线的一条斜渐近线 xy的两条渐近线如图的两条渐近线如图1)3)(2(2)( xxxxf的渐近线，的渐近线，曲线曲线)2)(1(| xxxxy共有共有)(b)(a选择题选择题:1条条.)(d2条条.)(c3条条.4条条.五、小结曲线的弯曲方向曲线的弯曲方向凹凸性凹凸性;改变弯曲方向的点改变弯曲方向的点拐点

12、拐点;凹凸性的判定凹凸性的判定.拐点的求法拐点的求法1, 2.三种渐近线的求法三种渐近线的求法.思考题思考题设设)(xf在在),(ba内二阶可导，且内二阶可导，且0)(0 xf，其中其中),(0bax ，则，则,(0 x)(0 xf是否一定为是否一定为曲线曲线)(xf的拐点？举例说明的拐点？举例说明.思考题解答思考题解答例例4)(xxf ),( x0)0( f但但)0 , 0(并不是曲线并不是曲线)(xf的拐点的拐点.不一定！不一定！一、一、 填空题：填空题：1 1、 若函数若函数)(xfy 在在 （ba,） 可导， 则曲线） 可导， 则曲线)(xf在在( (ba,) )内取凹的充要条件是内取

13、凹的充要条件是_._.2 2、 曲线上曲线上_的点，称作曲线的拐点的点，称作曲线的拐点 . .3 3、 曲线曲线)1ln(2xy 的拐点为的拐点为_._.4 4、 曲线曲线)1ln(xy 拐点为拐点为_._.二、二、 求曲线求曲线xeyarctan 的拐点及凹凸区间的拐点及凹凸区间 . .三、三、 利用函数图形的凹凸性，证明不等式：利用函数图形的凹凸性，证明不等式： 22yxyxeee )(yx . .四、求曲线四、求曲线 2sin2cot2ayax的拐点的拐点 . .练练 习习 题题五、五、 试证明曲线试证明曲线112 xxy有三个拐点位于同一直线有三个拐点位于同一直线上上 . .六、六、 问问a及及b为何值时，点为何值时，点(1,3)(1,3)为曲线为曲线23bxaxy 的拐点？的拐点？七、七、 试决定试决定22)3( xky中中k的值的值, ,使曲线的拐点处使曲线的拐点处的法线通过原点的法线通过原点 . .一、一、1 1、),()(baxf在在 内递增或内递增或0)(),( xfbax； 2 2、凹凸部分的分界点；、凹凸部分的分界点；3 3、2 ,(), 2),2, 2(2e； 4 4