数学二重积分

1、一、对坐标的曲线积分的概念与性质一、对坐标的曲线积分的概念与性质 二二. . 对坐标的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分的计算法三、两类曲线积分之间的关系三、两类曲线积分之间的关系一一.对弧长的曲线积分的概念与性质对弧长的曲线积分的概念与性质 iiniilsfdsyxf ),(lim),(10 xyoabl0m1m1 imim1 nmnmis ),(ii 二二. 对弧长曲线积分的计算对弧长曲线积分的计算 法法把曲线的方程带入曲线积分把曲线的方程带入曲线积分dtttttfdsyxfl )()()(),(),(22dxxxxfdsyxfbal)(1)(,),(2 三、应三、应 用用 一、对坐标的曲线

2、积分的概念与性质一、对坐标的曲线积分的概念与性质 引例引例 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功.xyoabl),(yxf常力沿直线作功常力沿直线作功：abf cos|abfw f ab jyxqiyxpyxf),(),(),( 的作用的作用,设设l为为xoy面内的光滑曲线弧面内的光滑曲线弧,质点从质点从a向向b移动时受到力移动时受到力变力所做的功变力所做的功.求质点从求质点从a点沿曲线弧点沿曲线弧l移动到移动到点点b时，时，由于此时由于此时f是变力，上式不能直接应用。是变力，上式不能直接应用。xyoabix iy ),(iif iiiiimmfw1),( jqipfiiiiii),(),()

3、,( jyixmmiiii 1iiiiiiyqxp ),(),( ), 2 , 1(ni niiww1 ),(),(1iiiiiniiyqxp 令令 为最大弧长，则为最大弧长，则),(),(lim10iiiiiniiyqxpw ldyyxqdxyxp),(),(将曲线将曲线 l任意分割成任意分割成 n 小段，小段，),(ii 1 imim1 nm定义定义 设设l为为 xoy 面的从点面的从点a到点到点b的一条有向光滑曲线弧，的一条有向光滑曲线弧，)1( ,11niyyyxxxiiiiii 记记,),(1iiiimm 任取任取 令令 为最大弧段长度为最大弧段长度. 若极限若极限iiniixp )

4、,(lim10 存在存在,则称此极限值为函数则称此极限值为函数),(yxp在有向曲在有向曲线线l上上对坐标对坐标 x 的曲线积分的曲线积分.即即iiniilxpdxyxp ),(lim),(10 类似地类似地,iiniilyqdyyxq ),(lim),(10 称为函数称为函数),(yxq在有向在有向曲线曲线l上上对坐标对坐标 y 的的曲线积分曲线积分.),(),(yxqyxp在在l上有界上有界. 用点把用点把l任意分割成任意分割成n个有向个有向函数函数bmmmmmmannii 1110小弧段小弧段 ldxyxp),(记作记作:),(),(yxqyxp被积函数被积函数 l 积分弧段积分弧段 l

5、ldyyxqdxyxp),(),(简记作：简记作： ldyyxqdxyxp),(),(iiiniixpdxzyxp ),(lim),(10 iiiniiyqdyzyxq ),(lim),(10 iiiniizrdzzyxr ),(lim),(10 dzzyxrdyzyxqdxzyxp),(),(),(可简记作可简记作: dzzyxrdyzyxqdxzyxp),(),(),(注注可以证明可以证明:当当),(),(yxqyxp在有向曲线弧在有向曲线弧l上连续时上连续时,曲线积分存在曲线积分存在.对坐标的对坐标的推广推广 三元函数沿空间有向曲线弧三元函数沿空间有向曲线弧 对坐标的曲线积分对坐标的曲线

6、积分.性质性质(1). 设设l是有向曲线弧是有向曲线弧, -l是与是与l反向反向的有向曲线弧的有向曲线弧,则则 lldyyxqdxyxpdyyxqdxyxp),(),(),(),(即：即：对坐标的曲线积分具有方向性对坐标的曲线积分具有方向性.(2). 设有向曲线弧设有向曲线弧 l是由有向曲线弧是由有向曲线弧21,ll合并而成合并而成 21lll 即：即：对坐标的曲线积分关于积分弧段具有可加性对坐标的曲线积分关于积分弧段具有可加性. 21lllqdypdxqdypdxqdypdx则则即即二二. 对坐标的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分的计算法定理定理 设曲线弧设曲线弧l由参数方程由参数方程 )(

7、)(tytx 给出，且满足下列条件：给出，且满足下列条件：（1）l的起点的起点a及终点及终点b分别分别对应参数对应参数 及及 ; （3）当参数）当参数 由由 变到变到 时，点时，点 描出有向曲线弧描出有向曲线弧l;t ),(yxm（4） 函数函数),(),(yxqyxp在在 l上连续，则上连续，则 ldyyxqdxyxp),(),( dttttqtttp)()(),()()(),(下限下限 起点；起点；上限上限 终点终点（2）函数）函数)(),(tt 为端点的闭区间上具有一阶连续为端点的闭区间上具有一阶连续在以在以 ,且且; 0)()(22 tt 导数导数,把曲线的方程带入曲线积分把曲线的方程

8、带入曲线积分在在 l上取一系列点：上取一系列点：bmmmmmmannii ,1110它们对应于单调变化的参数值：它们对应于单调变化的参数值： nniitttttt,1110iiniilxpdxyxp ),(lim),(10 1 iiixxx )()(1 iitt iit )( )(),(iiii iiiniiltpdxyxp )()(),(lim),(10 dttttp)()(),( 同理同理 dttttqdyyxql)()(),(),(证证若曲线若曲线l由方程由方程)(xy 给出，可视为参数式给出，可视为参数式 )(xyxx dxxxxqxxpdyyxqdxyxpbal)()(,)(,),(

9、),( 若曲线若曲线l由方程由方程)(yx 给出，可视为参数式给出，可视为参数式 yyyx)( dcldyyyqyyypdyyxqdxyxp),()(),(),(),( 特别地：特别地：下限下限 a 起点，上限起点，上限 b 终点。终点。下限下限 c 起点，上限起点，上限 d 终点。终点。推广推广 空间空间有向有向光滑曲线光滑曲线 由参数方程由参数方程）变到变到从从 ( )()()( ttztytx 给出，则给出，则 dzzyxrdyzyxqdxzyxp),(),(),(dtttttrttttqttttp)()(),(),( )()(),(),( )()(),(),( 下限下限 起点起点，上限

10、上限 终点终点 例例1 计算计算, lxydx其中其中l为抛物线为抛物线xy 2上从点上从点)1, 1( a到点到点)1 , 1(b的一段弧的一段弧.xyoab解解 lxydxydyyy2112 dyy 104454 例例2 计算计算, lxydy l为椭圆为椭圆12222 byax上从点上从点 )0 ,()0 ,(abaa 到到点点在在x轴上方的曲线弧轴上方的曲线弧.abyx解解）到到从从 0 ( , sincos:ttbytaxl lxydy 0cossincostdtbtbta 032cos3tab 322ab 例例3 计算计算dxyl 2,其中其中l 为：为：(1) 半径为半径为 a

11、, 圆心为原点的上半圆周圆心为原点的上半圆周(逆时针方向逆时针方向)；(2)从点从点a(a,0 )沿沿 x 轴到点轴到点b(-a,0)的直线段的直线段.abyx (1) 到到从从0 , sincos:ttaytaxl dttatadxyl)sin(sin2022 )(cos)cos1(023tdta 033cos31cos tta334a aaxyl 到到从从 , 0: )2(002 aaldxdxy解解例例4 计算计算dyxxydxil 22其中其中l为：为：(1)抛物线抛物线.)1 , 1()0 , 0( 2的一段弧的一段弧到到上从上从boxy 的一段弧；的一段弧；到到上从上从抛物线抛物线

12、)1 , 1()0 , 0( )2(2boyx .)1 , 1(),0 , 1(),0 , 0()3(oabbao的的有有向向折折线线连连接接点点xyo)1 , 1(b)0 , 1(a (1). 1 0 , :2到到从从xxyl dxxxxxi222102 1104 x1 0 ,:)2(2到到从从yyxl dyyyyyi 1042221105 y. 1 0 , 1:1 0 , 0:, ) 3(到到从从；到到从从yxabxyoaaboal dyxxydxdyxxydxiaboa 2222 100dx 101dy1 解解直线段直线段ab的方程为的方程为:123zyx 化为参数式化为参数式:. 0

13、1 , ,2 ,3到到从从ttztytx dtttttti2)3(2)2(33)3(20123 dtt 01387487 .)0 , 0 , 0()1 , 2 , 3( 3 223abbaydzxdyzydxxi的直线段的直线段到点到点是从点是从点其中其中 例例5 计算计算解解三、两类曲线积分之间的关系三、两类曲线积分之间的关系, cosdsdx dsdy cos lldsqpqdypdxcoscos 其中，其中， ,称为有向曲线弧称为有向曲线弧 l上点上点),(yxm处处切线向量的方向角切线向量的方向角.类似类似,空间两类曲线积分之间的关系空间两类曲线积分之间的关系:dsrqprdzqdypdxcoscoscos 其中其中 ,为空间有向曲线弧为空间有向曲线弧 上点上点),(zyxm处处切向量的方向角切向量的方向角t xyoabldxdyds例例6 为曲线为曲线设设 32,tztytx 上