BBD38反常积分

1、1主讲教师主讲教师: 王升瑞王升瑞高等数学 第三十二讲2第八节反常积分 第三章 二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分常义积分积分区间被积函数推广一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分反常积分 (广义积分)ba,是有限的)(xf在ba,上有界3一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分引例引例. 曲线21xy 和直线1x及 x 轴所围成的开口曲边梯形的面积21xy a1可记作121dxxa其含义可理解为 bbxxa121dlimbbbx11limbb11lim1若曲线为xy1和直线及 x 轴所围成的开口曲1x边梯形的面积可记作12dxxabbxxa12dlimbbx1lnlim1lnln

2、limbb积分收敛积分发散4定义定义1. 设, ),)(acxf,ab 取若xxfbabd)(lim存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分反常积分, 记作xxfxxfbabad)(limd)(这时称反常积分xxfad)(收敛 ;如果上述极限不存在,就称反常积分xxfad)(发散 .类似地 , 若, ,()(bcxf则定义xxfxxfbaabd)(limd)(5, ),()(cxf若则定义xxfd)(xxfcaad)(limxxfbcbd)(lim( c 为任意取定的常数 )只要有一个极限不存在 , 就称xxfd)(发散 .无穷限的反常积分也称为第一类第一类反常积分积分. ,并非不

3、定型 ,说明说明: 上述定义中若出现 它表明该反常积分发散 .6,)()(的原函数是若xfxf引入记号; )(lim)(xffx)(lim)(xffx则有类似牛 莱公式的计算表达式 :xxfad)()(xfa)()(affxxfbd)()(xfb)()(fbfxxfd)()(xf)()(ff7例例1. 计算反常积分.1d2 xx解解:21dxxarctanx)2(2xoy211xy思考思考: ?01d2对吗xxx分析分析:)1ln(211d22xxxx原积分发散 !注意注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 .8例例2. 证明第一类 p 积分ap

4、xxd证证:当 p =1 时有 axxdaxlnapxxdappx11当 p 1 时有 1p1p,11pap当 p 1 时收敛 ; p1 时发散 .,因此, 当 p 1 时,反常积分收敛 , 其值为;11pap当 p1 时,反常积分发散 . apdxx9例例3. 计算反常积分. )0(d. 10ptettp解解:原式00d1teptptpep21021pexxxd)(ln1. 222ln(ln )edxx解：解：原式xln1e1ln1epttep 01(0).pttd epp 10二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分引例引例:曲线xy1所围成的1x与 x 轴, y 轴和直线开口曲边梯形

5、的面积 可记作10dxxa其含义可理解为 10dlimxxa12lim0 x)1 (2lim02xy10a1xy 可见把被积函数推广到在有限区间上是无界的情形是可能的，而且是有用的。11定义定义2. 设, ,()(bacxf而在点 a 的右邻域内无界,0取存在 ,xxfxxfbabad)(limd)(0这时称反常积分xxfbad)(收敛 ; 如果上述极限不存在,就称反常积分xxfbad)(发散 .类似地 , 若, ),)(bacxf而在 b 的左邻域内无界,xxfxxfbabad)(limd)(0若极限baxxfd)(lim0数 f (x) 在 a , b 上的反常积分, 记作则定义则称此极限

6、为函 12若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明说明: ,)(,)(外连续上除点在若bcacbaxf而在点 c 的无界函数的积分又称作第二类反常积分第二类反常积分, 无界点常称邻域内无界 ,xxfbad)(xxfcad)(xxfbcd)(xxfcad)(lim110 xxfbcd)(lim220为瑕点瑕点(奇点奇点) .例如,xxxd11112xxd) 1(11间断点,而不是反常积分. 则本质上是常义积分, 则定义13注意注意: 若瑕点,)()(的原函数是设xfxf的计算表达式 : xxfbad)()()(afbfxxfbad)()()(afbfxxfbad)()()(afbf则也有类

7、似牛 莱公式的若 b 为瑕点, 则若 a 为瑕点, 则若 a , b 都为瑕点, 则, ),(bac则xxfbad)()()(cfbf)()(afcf可相消吗可相消吗?14例例4. 计算反常积分. )0(d022axaxa解解: 显然瑕点为 a , 所以原式0arcsinaax1arcsin215112dxx211111x下述解法是否正确: , 积分收敛112dxx的收敛性 . 解解:112dxx012dxx102dxx101x011x所以反常积分112dxx发散 .例例5. 讨论反常积分16例例6. 证明反常积分baqaxx)(d证证: 当 q = 1 时,当 q 1 时收敛 ; q1 时发

8、散 .baaxxdbaax ln当 q1 时baqaxx)(dabqqax1)(11q,1)(1qabq1q,所以当 q 1 时, 该反常积分收敛 , 其值为;1)(1qabq当 q 1 时, 该反常积分发散 .17例例7：计算4342cosxdx解：解：xx22cos1lim21242cosxdx4322cosxdx2421cosxdxxtan42则此反常积分发散。注：若疏忽了2x是被积函数的瑕点，而将它误认为定积分来计算则有错误的结果。xtan443018例例8：判断反常积分11xxdx的敛散性，解：解：11lim1xxx则这个积分既是无界函数，又是无穷区间上的反常积分，因此，我们先分别考

9、察积分2111xxdx221xxdx和若收敛求其值。2111xxdx令ududxuxxu21122111xxdx10212uduuarctan201219221xxdxududxuxxu2112令：221xxdx1212uduuarctan212)42(2212220例例9.解解：,)2() 1() 1()(32xxxxxf设求.d)(1)(312xxfxfi)(20 xfxx为与的无穷间断点, 故 i 为反常xxfxfd)(1)(2)(1)(d2xfxfcxf)(arctan012d)(1)(xxfxfi202d)(1)(xxfxf322d)(1)(xxfxf积分.)(arctanxf)(a

10、rctanxf02)(arctanxf232222732arctan222732arctan1021例例10 试证xxxxxd11d04204, 并求其值 .解解:041dxx令xt1tttd1112014tttd1042xxxd1042xxxxxxxd11d211d0420404xxxd1121042xxxxd12102112222xxxxd121021122)1(d2)(121021xxxx012arctan221xx22041dxx23内容小结内容小结 反常积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限说明说明: (1) 有时通过换元 ,反常积分和常义积分可以互相转化 .例如 ,1021dxx）令txsin(20dt(2) 当