专题06圆锥曲线中的轨迹问题-2020高考数学尖子生辅导专题

1、专题六 圆锥曲线中的轨迹问题轨迹是动点按照一定的规律即轨迹条件运动而形成的，这个轨迹条件一旦用动点坐标的 数学表达式表示出来，轨迹方程就产生了根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是 高考的常考点：一方面，求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数” ，将“曲线”转化为“方 程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面，求轨迹方程培养了学生数形结合的思 想、函数与方程的思想以及化归与转化的思想模块 1 整理方法 提升能力曲线轨迹方程的探求有两种题型，第一种题型是曲线类型已知，该题型常用的方法是找 条件或用待定系数法， 难度不大； 第二种题型是曲线类型未知， 该题型常用的方法有以下 3种：1定义

2、法： 如果所给的几何条件能够符合一些常见定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义） ，则可从定义出发直接写出轨迹方程，这种方法叫做定义法2直接法： 如果动点运动的条件有明显的等量关系，或者是一些几何量的等量关系，这 些条件简单明确，易于表达成含未知数x、 y的等式，从而得到轨迹方程，这种方法叫做直接法3参数法： 求解轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借 助中间变量（参数） ，使 x、 y之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的 轨迹方程， 这种方法叫做参数法 一般来说， 引进了 N 个未知数与参数， 要得到未知数 x 与 y 之间的关系，需要找 N

3、1 个方程常见的消参手法是：加、减、乘、除、平方、平方相加、 平方相减以及整体消参等相关点代入法、交轨法是参数法的一种特殊情况例1已知点 P 2,2 ，圆 C：x2 y2 8y 0，过点 P的动直线 l与圆 C交于 A、 B两点，线 段 AB 的中点为 M ， O 为坐标原点（1）求 M 的轨迹方程；（2）当 OP OM 时，求 l 的方程及 POM 的面积【解析】（ 1）法 1（定义法）：圆心 C 0,4 ，由垂径定理可知 CM PM ，于是点 M 在以 CP 为直径的圆上，所以 M 的轨迹方程为 x x 2 y 4 y 2 0 ，即22x1 y 3 2法 2（直接法）：设 M 的坐标为 x

4、, y ，由 CMuuuurPM 可得 CMuuuurPMuuuur0 CMx, y 4 ，uuuurPM x 2, y 2 ，于是 x x 2 y 4 y 20 ，即 x 1 2y23 2 法 3（参数法）：当 l 的斜率不存在时，其直线方程为 x 2 ，于2 是y8y 40，所以点M 的坐标为 2,4当l 的斜率存在时，设直线方程为 y2 k x 2 ，M x, y 联立 y 2 k x 2 消去 x2 y2 8y 0y 可得 k2 1 x2 4 k 2kx4k2 8k 12 0 ，于是 x2 k2 k k 2 1，将 kxy 22代入，2y222 y 2x2x222消去参数 k ，可得

5、x2 ，整理可得 x1 2 y32（x2 ）2y 2 2 1x2综上所述， M 的轨迹方程为 x 1 2 y 3 2 2 2）法 1：由 OP OM 可知点 M 在以原点为圆心，OP 为半径的圆上联立22xy2 ，解得14 ，于是点 M 的坐标为52 1452,154 ，于是直线 l 的方程为y21225214 21612 32法 2 ：由 OP OM 可知点 O 在 PM 的垂直平分线上， 而 PM 的垂直平分线过圆心 1,3 ，1所以直线 l 的斜率为 1 ，直线方程为 y 2 3点O到直线 l的距离为 d 4 10 ，所以 PM51 4 10 4 10 16 2 5 5 5 11 x 2

6、 ，即 x 3y 8 0因为 OP 2 2 ，32 OP 2 d 2 4 510 ，于是 POM 的面积为点评】 解析几何中两直线垂直的常见转化有以下 4 种：点在圆上，向量数量积为 0，斜率乘积为1，勾股定理用“点在圆上”的角度能从定义法出发直接得到轨迹方程；用“向量数量积为 0”的角度能避开分类讨论求轨迹方程时，先考虑定义法，看是否满足某种曲线的定义，再考虑直接法，看能否得到一个几何条件，进而将该几何条件代数化再化简，最后再考虑参数法，引进参数解决问题例2在直角坐标系 xOy中，曲线 C1上的点均在圆 C2 ： x 5 2 y2 9 外，且对 C1上任意一 点M ，M 到直线 x 2的距离

7、等于该点与圆 C2上点的距离的最小值（1）求曲线 C1 的方程；（2）设P x0,y0 （ y03）为圆C2外一点，过P作圆 C2的两条切线， 分别与曲线 C1相交于点 A、B和C、 D 证明：当 P在直线 x 4上运动时，四点 A、B、C、 D的纵坐标 之积为定值【解析】（1）法 1：由题设知，曲线 C1上任意一点 M 到圆 C2 的圆心 5,0 的距离等于它 到直线 x 5的距离，因此，曲线 C1是以 5,0 为焦点，直线 x 5 为准线的抛物线，所以方 程为 y2 20x 3 ，且点 M 位于直线 x法 2：设 M 的坐标为 x, y ，由已知得 x 2 x 5 y2的右侧，于是 x 2

8、 0 ，所以 x 5 2 y2x 5，化简得曲线 C1的方程为 y2 20x 证明】（ 2）当点 P在直线 x 4上运动时， 设 P的坐标为4,y0 ，又 y03 ，则过 P于是5k y0 4k于是23 ，整理得且与圆 C2相切的直线的斜率 k 存在且不为 0 ，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y y0 k x 4 ，即 kx y y0 4k 0 72k2 18y0k y02 9 0 设过 P所作的两条切线 PA、 PC的斜率分别为 k1、k2，则 k1、k2 是方程的两个实根，所以 k1 k218y072y40 k1x y y0 2y4k1坐标分别为20x0 可得 k1 y220y

9、y04k1 0设四点 A、B、C 、D的纵y1 、 y2、y3、y4，20 y0 4k1则 y1、 y2 是方程的两个实根，所以 y1 y20 1 ，k1同理可得 y3 y420y04k2k2于是 y1y2 y3y4 400 y0 4k1 y0 4k2k1k22 2 2400 y024k1k2y016k1k2400y02y0216k1k26400所以当 P在直线 x 4 上运 k1k2k1k2动时，四点 A、B、C 、 D的纵坐标之积为定值 6400【点评】 定义法和直接法非常相似，其出发点都是找几何条件，其区别在于对所找的几 何条件的理解如果能发现所找的几何条件是满足某种曲线的定义的，则可以

10、根据曲线的定 义马上得到所求的轨迹方程，这就是定义法如果所找的几何条件究竟满足哪种定义不太明 显，则可以利用直接法，把所找的几何条件代数化，再把代数化后的式子化简到最简第（2）问的定值证明需要引进参数，而引进多少个参数是因题而异的，一般是从点的坐标和直线的 方程这两个角度引进参数本题总共引进了六个参数：k1、k2、 y1、 y2、 y3、 y4 ，其准则是所引进的参数都能帮助解题，且最终都能将其消去，这是解析几何中“设而不求”的重要 思想方法例3已知抛物线 C：y2 2x的焦点为 F，平行于 x轴的两条直线 l1、l2分别交 C于A、B两 点，交 C的准线于 P、 Q两点（1）若 F在线段 A

11、B上， R是 PQ的中点，证明： ARFQ ；（2）若 PQF 的面积是 ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程证明】（1）焦点坐标为F 12,0 不妨设直线 l1： ya ，直线 l2 ：y b ，则2a,a ，2B b2 ,b ，1P ,a ， Q212,b ，于是R1,2ab2当线段AB垂直于 x 轴时，不妨设则有112,1112,0，Q112, 1kFQ 1， kAR 1，所以 AR FQ当线段 AB不垂直于 x 轴时，直线AB的斜率为bb22222 ，方程为 ab2y a xab2a ，即 2x a b2y ab 0 ，因为 F 在线段AB 上，所以 abk b b ， k

12、kFQ 1 1b ， kAR22aba2a2 1221b a2 bb 2b ，所以a2 11 21bAR FQ 解析】（ 2） PQF的面积为ab2直线 AB与 x 轴的交点为a2b,0 ，所以 ABF1的面积为 121 ab22ab由ab2，可得 ab 11 ，于是 ab 0 （舍去）或 ab 2 设 AB 中点为 Mx, y，则 xb24， ya2b式平方，可得2 a2 b2 2aby2 4 ，将代入，可得 y2 x 1点评】 本题采用了参数法求 AB中点的轨迹方程，其实质是引进了2个未知数 x、 y与222 个参数 a 、 b ，此时我们需要找 3 个方程： x a b ， y4ab，

13、ab 2 ，通过这 3 个 2方程消去 2个参数，从而得到 x与 y之间的关系一般来说，引进了N个未知数与参数，要得到未知数 x与 y 之间的关系，一般需要找 N 1个方程找到方程后，通过加、减、乘、除、平方、平方相加、平方相减以及整体消参等手法进行消参这是参数法的关键所在抛物线焦点弦有两个常用结论：设 AB是过抛物线 y2 2px（ p 0 ）焦点 F 的弦，若A x1,y1 ， B x2,y2 ，则有（ 1） x1x2 p ，y1y2p2 ；（ 2）以弦 AB为直径的圆与准线相4切模块 2 练习巩固 整合提升2 2 2 2练习 1：已知圆 M ： x 1 y2 1，圆 N ： x 1 y2

14、 9 ，动圆 P与圆 M 外切并与 圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C 1）求 C 的方程；2）l 是与圆 P、圆M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A 、 B 两点，当圆 P 的半径最长时，求AB 解析】1）设动圆P 的半径为 r ，则 PMPNr，3 r ，两式相加，可得PM PN4 ，所以圆心P是以 M 、N 为焦点，2a 4的椭圆（左顶点除外） a 2 ，c 1，b 3，所以 C 的方程为22xy1（ x 2 ）432）由（1）可知 PM r 1，PN 3 r，所以 PM PN 2r 2 MN ，于是 r 2，当且仅当点 P 为 2,0 时，等号成立，所以当圆 P 的半径

15、最长时，圆 P的方程为2x22y2 4 当当l 的斜率存在的时候，显然l 的斜率不为 0 ，设 l 与 x 轴交于点 Q ，则有 QM l的斜率不为 0，设l与x轴交于点 Q，则有 QP1，2，1 xQ 1 ，由此解得24，且kQM12 122 ，于是直线方程为42x44y联立 2 x242xx42y2 134，消去 y ，可得7x2 8x 8 0 由弦长公式，AB1 2 2 82 4 7 8 181 4 7 722练习 2：已知椭圆 C： x y 1，P x0,y0 为椭圆 C 外一点，过点42切线 PA、 PB，其中 A、 B为切点P 作椭圆 C 的两条1）当点 P x0 ,y0 为定点时

16、，求直线 AB的方程；2）若 PA、 PB 相互垂直，求点 P的轨迹方程【解析】（1）设 A x1, y1 、B x2,y2 ，则切线 PA方程为 x1x y1y 1，点P在切线 PA上，42所以 x1x0 y1y0 1同理，切线 PB方程为 x2x y2y 1，点 P 在切线 PB上，所以4 2 4 2x2x04y2 y021 由可得直线AB的方程为x0xy0y21，即 x0 x 2y0y 4 0l 的斜率不存在的时候，此时显然 l 就是 y 轴， AB 2 3 k1、 k2 ，则 k1k21设2）若直线 PA、 PB 的斜率都存在，不妨设其斜率分别为y y0 k x x0过点 P x0,

17、y0的直线方程为yy0k x x0由2xy2消去 y 可得124222k 2 1 x24k kx0 y0 x2kx02y0 20因为直线与椭圆相切，所以16k 2 kx0y0 2 4 2k 212k2 x0 y020，即 4 x02 k2 2x0 y0k y02 2 0 由2PA、 PB与椭圆相切可知 k1、 k2是该方程的两个实数根，所以 k1k2 42 xy021，即4 x0x02 y02 6 若直线 PA、 PB 中有一条斜率不存在，则另一条斜率为0，此时点 P的坐标为2, 2 ，满足 x02 y02 6 综上所述，点 P 的轨迹方程为 x2 y2 6 点评】给定圆锥曲线 C 和点 P

18、x0,y0 ，用 x0x、y0y、x0 x、y0 y 分别替换 x2、y2、22当Px、y，得到直线 l ，我们称点 P和直线 l为圆锥曲线 C 的一对极点和极线 其结论如下： 在圆锥曲线 C 上的时候，其极线 l是曲线 C 在点 P处的切线；当 P在圆锥曲线 C 外的时候，；当 P 在圆其极线 l 是曲线 C 从点 P 所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）锥曲线 C 内的时候，其极线 l 是曲线 C 过点 P 的割线两端点处的切线交点的轨迹特别地：2 椭圆 x2 a22by22 1x0xa b 0），与点 P x0,y0 对应的极线方程为 2 ay0yb21双曲线2x2a2 y

19、2 b2a 0， b 0），与点P x0 , y0 对应的极线方程为x0x2ay0 y 1b21抛物线2 pxp 0），与点 P x0, y0对应的极线方程为 y0 y px0 x在椭圆2x2a2 y b2a b 0）中，点 P2c,0 对应的极线方程为 x a ，这就是椭圆的c右准线本题采用整体法进行消参方法， 这是消参的一种方法B x2,y2 、P x0,y0 ，共 2个未知数 x、y和 4个参数：程进行消参：22 x1x0 y1y0 1、 x2 x0 y2y0 1、 x1 y1 4 2 1、 4 2 1 、 4 22）小问也可以引进 A x1, y1 、y1、x2 、y2，利用以下 5 个方22x2y21、x1x2 1 424y1y2第x1、1，练习 3：如图，抛物线 C1： x2 4y和C2： x22py（ p 0）