有限元简答终极概要

1、1.两种平面问题的基本概念和基本方程； 答：弹性体在满足一定条件时，其变形和应力的分布规律可以用在某一平面内的变形和应力的 分布规律来代替，这类问题称为平面问题。平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。平面应力问题 设有张很薄的等厚薄板，只在板边上受到平行于板面并且不沿厚度变化的面力，体力也平行于板面且不沿厚度变化。 由于平板很薄， 外力不沿厚度变化， 因此在整块板上有： ， ， 剩下平行于 XY 面的三个应力分量 未知。平面应变问题 设有很长的柱体，支承情况不沿长度变化，在柱面上受到平行于横截面而且不沿长度变化的面 力，体力也如此分布。平面问题的基本方程为： 平衡方程几何方程物理方程（弹性力

2、学平面问题的物理方程由广义虎克定律得到）平面应力问题的物理方程平面应力问题有平面应变问题的物理方程平面应变问题有在平面应力问题的物理方程中，将 E替换为、 替换为 ，可以得到平面应变问题的物理方程；在平面应变问题的物理方程中，将E替换为、 替换为 ，可以得到平面应力问题的物理方程。2弹性力学中的基本物理量和基本方程； 答：基本物理量有： 空间弹性力学问题共有 15个方程， 3个平衡方程， 6个几何方程， 6个物理方程。其中包括 6 个应力分量， 6个应变分量， 3个位移分量。平面问题共 8个方程， 2个平衡方程， 3个几何方程， 3个物理方程，相应 3个应力分量， 3个 应变分量， 2 个位移

3、分量。基本方程有：1.平衡方程及应力边界条件：平衡方程：2.几何方程及位移边界条件：边界条件：边界条件：3. 物理方程0，这就是刚体的平衡条件，3.有限元中使用的虚功方程。对于刚体，作用在其上的平衡力系在任意虚位移上的总虚功为 或者称为刚体的虚功方程。 对于弹性变形体，其虚位移原理为：在外力作用下处于平衡的弹性体，当给予物体微小的 虚位移时，外力的总虚功等于物体的总虚应变能。设想一处于平衡状态的弹性体发生了任意的 虚位移 ,相应的虚应变为,作用在微元体上的平衡力系有（ X,Y,Z ）和面力。外力的总虚功为实际的体力和面力在虚位移上所做的功，即：整个弹性体内应力在虚应变上所做的功为总虚应变能，即

4、：在物体产生微小虚变形过程中，其中 为弹性体单位体积内的应力在相应的虚应变上做的虚 功，由此得到虚功方程：4. 节点位移，单元位移及它们的关系。（自己写的，没找到答案） 答：节点位移：坐标系中各个单元节点在各自的自由度上产生的移动。 单元位移：反应单元内个点的位移量的函数表达。 关系：单元位移可由节点位移差值构造，即通过节点位移构造单元位移函数，从而反应单 元内个点的位移。5. 单元位移函数的概念与性质 答：由弹性力学知，如果弹性体的位移分量是坐标的己知函数，就可由几何方程求得应变 分量，再由弹性方程求得应力分量。但是，如果仅知道弹性体（或单元 ）中几个点 （例如节点 ）的位移分量的数值，是不

5、能直接求得其应变分量和应力分量的。为了能用节点位移分量表示单元上的应变、应力等，首先就必须把单元上任一点的位移分 量表示为坐标的某种函数。当然，这些函数在上述几个节点上的数值，应当等于其己知值。这 种做法，实际上是假定单元上各点按某种模式变形，各点的位移值则是由己知点（节点 ）按这种模式插值取得。采用的函数称为位移函数或位移模式。 （对于一个复杂的弹性体， 想要用某种连续函数来描述整体内任一点的位移是不大可能的。但当把弹性体离散化为许多细小的单元，则在一个单元的局部范围内是可以把某一点的位移近 似地表达为其坐标函数的，这一表达式就是单元位移模式或者叫单元位移函数。）性质： 1.在单元节点上的形

6、态函数的值为 1或者 02.在单元中的任一点上， 三个形态函数之和等于 1.用来计算三角形面积时， 要注意单 元节点的排列顺序，当三个节点 i ，j ， m取逆时针顺序时， A>0 ，反之小于 0.6. 节点力、等效节点力节点力：通过节点来传递的力。利用虚功方程建立刚度方程，把作用在每个单元上的载荷 都移置到各节点之后，各单元所受的力就只有通过节点传递的节点力。节点力在节点的的虚位 移上所做的虚功等于单元内部应力在虚应变上所做的虚功。等效节点力：按照有限元法的离散思想，外载荷必须作用在节点上，而实际的外载荷由往 往并不是通过节点作用的。因此，必须将这些非节点载荷按照一定的原则移置到节点上

7、，即所 谓的等效节点载荷处理。这种移置必须满足静力等效原则，因为只有这样才能使得这种移置所 引起的误差只局限于局部，而不至于影响整体结构的应力状态（圣文南原理）。通常对刚体而 言的静力等效是指移置前后的两个载荷系统在任一轴上的投影之和彼此相等，对任一轴的力矩 之和也彼此相等。但是对于具有三个或者三个以上节点的弹性体单元，若按刚体静力等效原则 来移置载荷，其结果不是唯一的。在有限元法中，是按虚功等效的原则来移置，即移置前的原 载荷与移置后的节点载荷在任意虚位移上的虚功相等。在一定的位移函数下，这样移置的结果 是唯一的。7. 如何由单元节点位移导出单元位移函数、单元应变、单元应力和，如何建立单元节

8、点位移和bix ci y)0uvNj0NN0i0Ni0Nj0Nm单元的虚位移可以用结点的虚位移表示为用结点位移表示单元的应变的表达式为biuy2Avyx B eci0cibbj0cj0cjbjui vi uj vj umvmBiBjBm由物理方程，可以得到单元的应力表达式DDBSSiSjS m为应力矩阵* T F * T dxdydz* F * tdxdy * T ( B * e )T* eTB T* e F e * e BT tdxdy F e B T tdxdyaixj ym xm yjajxmyixi ymamxi y j xbi yj ymbj ym yibm yi y jci xm

9、xjc x xjimcm xj xiNij yi12A(aiuiviujuvjumvm对于平面应力情况下100012D (1 E (1)(1)2 )对于平面应变1100122(1)0D B eTDBtdxd将应力用结点位移表示出F e BB TDBtdxdKeF e Keekm n是表示当单元第 n个自由度产生单 PPT上，没打出来） r（r=i,j,m） 上分别所要施加的 例如表示结点 j 在垂直方向产生单位位移时， 在结点 i所需要施8. 单元刚度矩阵的物理意义性质 物理意义：单位节点的位移分量所引起的节点力。例如： 位位移而其他自由度固定时，在第 m个自由度产生的节点力。（具体参数在 表

10、示结点 S（S=i,j,m） 在水平方向、垂直方向产生单位位移时，在结点 水平结点力和垂直结点力的大小。加的水平结点力的大小。性质：（ 1）、k e是对称阵。其元素之间有如下关系： krs=ksr，这一特性是由弹性力学中的 功的互等定理所决定的。（2）、 k e是奇异阵。 k e的每一行每一列元素之和均为 0，其物理意义就是：在无约束条 件下，单元可做刚体运动。根据行列式性质，可知值也为0。9. 整体刚度矩阵的物理意义性质 物理意义：刚度矩阵中的元素是刚度系数，即由单位结点位移引起的结点力。 性质：（ 1）、总刚度矩阵是对称矩阵。（2）、总刚度矩阵呈稀疏带状分布。因为任一节点只与绕它的相邻单元

11、发生联系，所以k 中的每一行含有大量的零元素，而非零元素往往分布在对角线主元素的附近。（3）、总刚度矩阵式奇异阵。10. 有限元的基本原理及解题过程 ； 基本原理：有限元法是将连续体理想化成为有限个单元集合而成，这些单元仅在有限个节点上相连接，亦即用有限个单元的集合来代替原来具有无限个自由度的连续体。由于有限元单 元的分割和节点的配置非常灵活，它可以适用于任意复杂的几何形状，处理不同的边界条件。 在有限元单元集合体的基础上，对每一单元假设一个简单的位移函数来近似模拟其位移分布规 律，通过虚位移原理求得每个单元的平衡方程，即建立起单元节点力和节点位移之间的关系。 最后把所有的单元的这种特性关系集

12、合起来，就可建立整个物体的平衡方程组。考虑边界条件 后，解此方程组求得节点位移，并计算出各单元应力。解题过程： （1）、首先绘出结构集合简图，在此基础上将结构离散化。包括划分单元跟等 效节点载荷。（2）、其次进行单元分析。计算每个单元的刚度矩阵。根据各单元所受载荷，利用载荷移 置公式，得到每个单元的等效节点力载荷。（3）、组装总刚度矩阵，组集结构节点载荷矩阵，引入约束条件，解线性方程组，即可求 得包括已知节点位移分量在内的全部节点位移。（ 4）、最终求得单元应力和节点应力。 整理计算结果并绘制出结构变形图及各种应力分量 的等值曲线图。11. 等参元的概念及单元分析过程； 首先导出关于局部坐标系

13、的规整形状的单元（母单元）的高阶位移模式的形函数，然后利 用形函数进行坐标变换，得到关于整体坐标系的复杂形状的单元（子单元），如果子单元的位 移函数插值结点数与其位置坐标变换结点数相等，其位移函数插值公式与位置坐标变换式都用 相同的形函数与结点参数进行插值，则称其为等参元8节点六面体单元的形函数、自由度。6 。其形函数为：12. 轴对称三节点三角形单元、四节点四面体单元、答： 1、轴对称三节点三角形单元的自由度为其中其中。其形函数为：1224 。其形函数为：3、8节点六面体单元自由度为2、四节点四面体单元自由度为其中式中 , , 单元节点 i 的坐标。14. 杆单元与梁单元的区别。答：按照力学

14、理论，有些杆件可以简化为只能承受轴向力的杆，有些杆件可以简化为既能承受 轴向力又能承受弯矩的梁。在有限元方法中，将模拟杆的单元称为杆单元，将模拟梁的单元称 为梁单元。所以它们的区别就是能否承受弯矩。15. 杆单元与梁单元的刚度矩阵推导。§品1空何详结构有麗元分析G&架单元一、由于两尊较接，不館承受力矩，假.个聲度"在整体養考系定每个节点三 有=W为方锂研究，在点上取 一卜局部養考耳以"为康 点，由无点描向j点为X轴 的正向.g在局郡養考系中有二&在单元中假定=m(x) = a + bx利用节点处的位移连续性条件 可以解出d和b 代回原式有:

15、1;G)= i-V= kl-k其中单元长度却 疋=尤尸血二耳 Zz»_nJ加(兀)Qx"1=JJj 003国訂“町BI旬仕产If共中为单元截面积一 2?勇单元材科场氏模虽其中二0丫厂兀zf需要指出，以上元剧度是基于局部参考杀得到的，由于 不同的单元，其局部参考丢的方位各不相同.因而，局部参考 系中的单元节点位移向虽的方向也各不相同，局部参考系中的 不可累 intt.这就要求我们将局部参考系下的单元刚度矩阵 变换到整体参考系中。局部養考系与整体養考系中单元节点位移向量的竝侏系为=qf =1 -izf +m v? +«-w；V=/”： + /n巧+ 刃 w：写阵形式卷

16、UJV7Lf单元弹性应变能在整体参考系 中 的泉达式为it =&忻单元弹性应变能在局部参考系中的态迖式为=IT =号&啰0血 将二 叶勿心代入上式有二nc = cTkcc= TWkc Wc将该式与整体参考系 中 的单元弹性应变能对比可知二f爲附该单元可x 和Y方向的力以及绕z 轴方向的力矩。在®系中单 元节点位移向量为“,为方在单jfi±取 一个局部参考系，以Z为原 点，由i点指向J点为兀轴 的正氣q；X在局部僉考系中单元 所受裁荷可以分解为=1) 轴向拉压，主要引起单 元的轴向变形。2) 橫向裁荷及绕平面法向 的专矩”主要引超单元的为研尤方便，我们在做刚架

17、结构有限元分析时，也将单元变 形分解为轴向变形与弯曲变形两部分，分别进行研充。在小变形条件下，可以认为单元的轴向变形与弯曲变形是相 互独立的并符合送如篁更 因此，我们可以分别计算两种基本变 形的刚度，在进行迭加。刚架结构的有限元分析在研完弯曲变形时采用了材料力学梁 的基本假定，因此，有时也将刚架单元称为梁单元.二刊刑蘇单元两秤基才禺匡的的倒度矩阵w(x) 丿弟 龙与轴向变形相关的节点位 移分量有補和硏”假定在 轴向裁福作用下单赤内单赤 内任怠点的位移为二TV F：卜"与轴向变形对应的刖度矩阵为=vz Ez Sv丄乙宀"3 亠M h (km軒 sassrs善半 (9VWA1V

18、HSIKA7M 诚晶 SSVH TO (0M OR 喊是R+b+xy+FUMmM-a-B-黑 Z总霜密宰 as蠢16. 弹性力学薄板问题的基本假设，基本物理量和基本方程。答：基本假设： （1）、变形前垂直于中面的直法线在变形后仍是弹性曲面的法线。 （2）、板的中面只发生弯曲变形，没有面内的伸缩变形，即无平行于中面的变形。 （3）、忽略沿厚度方向的挤压变形。即z 方向上应力应变均为 0 。基本物理量及基本方程：（ 1）位移：（2）应变：3）应力： 4）内力矩：x、y 轴的转角，所以17. 四节点薄板单元（矩形单元）的自由度。 答：矩形板单元有四个角节点，每个节点有三个参数：挠度，以及绕 总共有 12 个自由度。18. 为什么要引入等参单元的局部坐标系？有什么特点和好处？ 答：以四节点单元为例，在建立位移模式时出现一个新问题：如果直接用x，y 坐标系下的双线性位移模式，由于任意四