2019-2020年北京市西城区九年级上册期末数学试卷(有答案)-可编辑修改

1、北京市西城区九年级(上)期末数学试卷、选择题(本题共16分，每小题2 分)1如图，在 Rt ABC中， ACB= 90° ,如果 AC= 3, AB= 5,那么 SinB等于()CBA.3B .1C.3百5732 .点A (1, y),B (3, y2)是反比例函数y=-图象上的两点，那么y1, y2的大小关系是()A.y1> y2B . y1 = y2C.屮V yD.不能确定3.抛物线y =(-4) 2-5的顶点坐标和开口方向分别是()A.( 4,- 5),开口向上B.( 4,- 5),开口向下C.(- 4,- 5),开口向上D (- 4,- 5),开口向下4.圆心角为60

2、°,且半径为12的扇形的面积等于()A. 48 B. 24 C. 4 D. 2 AB是O O的直径，CD是O O的弦，如果 ACD 34,那么 BAD等于5.如图,A. 34°B. 46C. 56D. 666 .如果函数y = 2+4- m的图象与轴有公共点，那么 m的取值范围是()A. m 4B . 4C. m- 4D. m>- 47.如图，点P在厶ABC的边AC上，如果添加一个条件后可以得到 ABR ACB那么以下添 加的条件中，不正确的是(A. ABP= C B. APB= ABC C AB= AP? AC D. L BP-CB8 .如图，抛物线y= a2+b+

3、3 (a0)的对称轴为直线=1,如果关于的方程a2+b- 8= 0(a0) 的一个根为4,那么该方程的另一个根为(A. 4B.- 2、填空题(本题共16分，每小题2分)9 .抛物线y = 2+3与y轴的交点坐标为10 .如图，在 ABC中，D, E两点分别在 AB AC边上，DE/ BC,如果器=DD Z,AC= 10，那么11.如图，在平面直角坐标系 Oy中，第一象限内的点P (, y)与点A (2, 2)在同一个反比例函数的图象上，PCLy轴于点C, PDL轴于点D,那么矩形ODPC勺面积等于.TA12 .如图，直线 y1 = +n ( 0)与抛物线 y2= a2+b+c (a0)分别交于

4、 A (- 1, 0), B (2,13 .如图O的半径等于4,如果弦AB所对的圆心角等于120°,那么圆心O到弦AB的距14. 2017年9月热播的专题片辉煌中国-圆梦工程展示的中国桥、中国路等超级工程 展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国 已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥(如 图1所示)主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列.在图2的主桥示意图中，两座索塔L1 . F* 图1苏通氏江大桥及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨 BD的中点为E,最长的斜拉索CE长577m记CE 与大桥主梁所夹的锐角 C

5、ED为,那么用CE的长和的三角函数表示主跨BD长的表达 式应为BD=( m.图2苏通按江大轿主桥示意峑15.如图，抛物线y= a2+b+c (a0)与y轴交于点C,与轴交于A，B两点，其中点B的坐标 为B (4, 0)，抛物线的对称轴交轴于点 D, CE/ AB,并与抛物线的对称轴交于点 E.现有 下列结论：a >0 :b > 0；4a+2b+c V 0 :ADFCE= 4 .其中所有正确结论的序号 是.Al :9416.如图，O O的半径为3, A, P两点在O O上，点B在O O内，tan APB, AB丄AP.如果OBL OP那么OB的长为.、解答题(本题共68分，第17-2

6、0题每小题5分，第21、22题每小题5分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题5分，第27、28题每小题5分)17.计算：2sin30 ° +cos245°- tan6018.如图，AB/ CD AC与 BD的交点为 E, ABE= ACB(1) 求证： ABE ACB(2) 如果 AB= 6, AE= 4,求 AC CD的长.Oy中，抛物线C： y =- 2+2.(1)补全表格:抛物线顶点坐标与轴交点坐标与y轴交点坐标y =- 2+2(1, 1)(0, 0)(2)将抛物线C向上平移3个单位得到抛物线C2，请画出抛物线C，C2，并直接回答：抛物 线C2与轴的两交点

7、之间的距离是抛物线 C与轴的两交点之间距离的多少倍.JJf二I-3-匕1:一I1I220.在 ABC中, AB= AC= 2, BAC= 45° .将 ABC绕点 A逆时针旋转 度(OVaV 180) 得到 ADE B, C两点的对应点分别为点D, E，BD CE所在直线交于点F.(1)当厶ABC旋转到图1位置时， CAD=(用a的代数式表示)， BFC的度数(2)当a= 45时，在图2中画出 ADE并求此时点A到直线BE的距离.A图21. 运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h( m与它的飞行时间t( S)满足二次函数关系，t与h的几组

8、对应值如下表所示.t ( S )00.511.52h( m08.751518.7520(1) 求h与t之间的函数关系式(不要求写t的取值范围)；(2) 求小球飞行3s时的高度；(3) 问：小球的飞行高度能否达到 22m？请说明理由.22. 如图，在平面直角坐标系Oy中，双曲线y = ' (0)与直线y ='.；的交点为A(a, - 1),B(2, b)两点，双曲线上一点P的横坐标为1,直线PA PB与轴的交点分别为点M N 连接AN(1) 直接写出a,的值;(2) 求证：PM PN PMLPN23.如图，线段BC长为13,以C为顶点，CB为一边的满足CoS = 一 .锐角 AB

9、C的d顶点A落在的另一边I上，且满足SinA=：.求厶ABC的高BD及AB边的长，并结合BD及AB边.(图中提供的单位长度供补全图形使用)24.如图，AB是半圆的直径，过圆心 O作 AB的垂线，与弦AC的延长线交于点D,点E在OD上， DC B.(1) 求证：CE是半圆的切线；(2) 若CD 10, tanB=，求半圆的半径.IJl25. 已知抛物线 G y =2 - 2a+a- 1 (a为常数).(1) 当a= 3时，用配方法求抛物线 G的顶点坐标；(2) 若记抛物线G的顶点坐标为P (p, q). 分别用含a的代数式表示p, q； 请在的基础上继续用含P的代数式表示q； 由可得，顶点P的位

10、置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在的图象上.A 次函数B.反比例函数C.二次函数(3) 小明想进一步对(2)中的问题进行如下改编：将(2)中的抛物线 G改为抛物线H： y =2-2a+N(a为常数)，其中N为含a的代数式，从而使这个新抛物线 H满足：无论a取 何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上.请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式： (用含a的代数式表示)，它的顶点所在的一次函数图象的表达式y= +b (，b为常数， 0)中，=，b=.26. 在平面直角坐标系Oy中，抛物线M y = a2+b+c (a0)经过A (- 1, 0)，且顶点坐标 为 B

11、(0， 1).(1) 求抛物线M的函数表达式；(2) 设F (t，0)为轴正半轴上一点，将抛物线 M绕点F旋转180°得到抛物线M. 抛物线M的顶点B的坐标为； 当抛物线M与线段AB有公共点时，结合函数的图象，求t的取值范围.环27.( 7 分)如图 1,在 Rt AoB中， AoB= 90°, OAB= 30° ,点 C 在线段 OB上，OG=2BC,AO上的一点D满足 OC= 30° 将 OCt绕点O逆时针旋转度(90° VaV 180°)得到 OC D', C, D两点的对应点分别为点 C , D ,连接AG , BD

12、,取AC的中点M连接OM(1) 如图2,当C D'/ AB时，a =° ,此时OM和BD之间的位置关系为 28.在平面直角坐标系(2) 画图探究线段OM和BD之间的位置关系和数量关系，并加以证明.Oy中，A, B两点的坐标分别为 A (2, 2), B (2, - 2).对于给定的线段AB及点P, Q给出如下定义：若点 Q关于AB所在直线的对称点Q'落在 ABP的内部(不含边界)，则称点 Q是点P关于线段AB的内称点.(1) 已知点 P (4,- 1). 在Q (1,- 1), Q (1,1)两点中，是点P关于线段AB的内称点的是; 若点M在直线y =- 1上，且点M

13、是点P关于线段AB的内称点，求点M的横坐标M的取值范围；(2) 已知点C (3, 3), C的半径为r ,点D (4, 0),若点E是点D关于线段AB的内称 点，且满足直线DE与C相切，求半径r的取值范围.北京市西城区九年级(上)期末数学试卷参考答案与试题解析、选择题(本题共16分，每小题2 分)1.如图，在 Rt ABC中， ACB= 90° ,如果 AC= 3, AB= 5,那么 SinB等于（）【分析】直接利用锐角三角函数关系得出Sin B的值.【解答】解：在 Rt ABC中， ACB= 90°, AC= 3, AB= 5,. Sin B=ACAB故选：A.【点评】此

14、题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握定义是解题关键.2. 点A ( 1, yi), B ( 3, y2)是反比例函数y=-图象上的两点，那么yI , y2的大小关系是( )A. %> y2B . y=y2C. % V y2D 不能确定【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，把 A点和B点坐标代入反比例函数解析式可 计算出y, y2,从而可判断它们的大小.【解答】解： A (1, y), B (3, y2)是反比例函数y = 1.图象上的两点，y1=- 一=-6, y2=-=-2, y y2.故选：C.【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y =(为常数， 0)的图

15、象是双曲线，图象上的点(，y)的横纵坐标的积是定值，即y=;双曲线是关于原点对 称的，两个分支上的点也是关于原点对称.3. 抛物线y =(-4) 2-5的顶点坐标和开口方向分别是()A( 4, 5),开口向上B.( 4, 5),开口向下C ( 4, 5),开口向上D ( 4, 5),开口向下【分析】根据y= a(-h)2+,a>0时图象开口向上，av 0时图象开口向下，顶点坐标是(h,), 对称轴是=h,可得答案.【解答】解：由y =( - 4) 2-5,得开口方向向上，顶点坐标(4,- 5).故选：A.【点评】本题考查了二次函数的性质，利用 y = a ( h) 2+, a>0时

16、图象开口向上，在对称轴 的左侧，y随的增大而减小，在对称轴的右侧，y随的增大而增大；av0时图象开口向下， 在对称轴的左侧，y随的增大而增大，在对称轴的右侧，y随的增大而减小，顶点坐标是(h,), 对称轴是=h,4. 圆心角为60 °,且半径为12的扇形的面积等于()A. 48 B. 24 C. 4 D. 2 【分析】直接根据扇形的面积公式进行计算.【解答】解：根据扇形的面积公式，得S=_ = 24(亦).360故选：B.【点评】本题主要是考查了扇形的面积公式，掌握扇形的面积公式是解题的关键.5. 如图，AB是OO的直径，CD是OO的弦，如果 AC= 34° ,那么 BAD

17、等于()A. 34°B. 46°C. 56°D. 66°【分析】由AB是O O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得 ADB= 90° ,又由 ACD =34°,可求得 ABD勺度数，再根据直角三角形的性质求出答案.【解答】解： AB是OO的直径， ADB= 90. ACD= 34.°. ABD= 34 BAD= 90o- ABD= 56°,故选：C.【点评】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质此题比较简单，注意掌握数形结合 思想的应用.6. 如果函数y = 2+4- m的图象与轴有公共点，那么 m的取值范

18、围是()A. m 4B. 4C. m- 4D. m>- 4【分析】根据已知得出方程2+4- m= 0有两个的实数解，即0,求出不等式的解集即可.【解答】解：函数y = 2+4- m的图象与轴有公共点，方程2+4- m= 0有两个的实数解，即= 42- 4× 1×(- m 0，解得：m- 4，故选：C.【点评】本题考查了二次函数与轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式，能得出关于m的不等式是解此题的关键.7. 如图，点P在厶ABC的边AC上，如果添加一个条件后可以得到 ABF ACB那么以下添加的条件中，不正确的是()BA ABP CB. APB= ABC C. AB=

19、 AP? ACAB = AC BP=CB【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可.【解答】解：A当 ABP= C时，又 A= A,A ABP ACB故此选项错误;B 当 APB= ABC时，又 A= A,A ABP ACB 故此选项错误；C 当 AB= AP? AC即 J =L 时，又 A= A,A ABP ACB 故此选项错误；D无法得到厶ABP ACB故此选项正确.故选：D.【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键.8.如图，抛物线y= a2+b+3 (a0)的对称轴为直线=1,如果关于的方程a2+b- 8= 0 (a0)C 1【分析】根据抛物线的对称性得

20、到抛物线与轴的另一个交点可得答案【解答】解关于的方程a2+b- 8 = 0,有一个根为4,抛物线与轴的一个交点为（4, 0）,抛物线的对称轴为=1,抛物线与轴的另一个交点为（-2, 0）,方程的另一个根为=-2 .称性.二、填空题（本题共16分，每小题2分）9 .抛物线y = 2+3与y轴的交点坐标为（0, 3） _ .【分析】把=0代入解析式求出y ,根据y轴上点的坐标特征解答即可.【解答】解：当=0时，y=3,则抛物线y = 2+3与y轴交点的坐标为（0, 3）,故答案为：（0, 3）【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键.Arl ?10 .如

21、图，在 ABC中，D, E两点分别在AB, AC边上，DE/ BC,如果.=,AC= 10,那么EC4【分析】由DE/ BC,推出驚籌=容,可得ECAQ由此即可解决问题.IJD EV ZD【解答】解： DE/ BC辿=塵=2V AC 10 , EC= ；_ × 10= 4 ,5故答案为4.【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.11如图，在平面直角坐标系 Oy中，第一象限内的点P ( , y)与点A (2 , 2)在同一个反比 例函数的图象上,PC y轴于点C, PD轴于点D,那么矩形ODP的面积等于_4_ .【分析】根据图象得出取值范围即可

22、【解答】解：因为直线y= +n ( 0)与抛物线y2= a2+b+c (a0)分别交于A( - 1, 0), B (2,- 3)两点，所以当y>y2时，-Ivv2,故答案为：-Ivv2【点评】此题考查二次函数与不等式，关键是根据图象得出取值范围.13如图O的半径等于4,如果弦AB所对的圆心角等于120°,那么圆心O到弦AB的距B【分析】由圆心角 AOB= 120。，可得 AoB是等腰三角形，又由OC AB,再利用含30。角 的直角三角形的性质，可求得 OC的长.圆心角AOB= 120° OA OB OAB是等腰三角形,V OCAB ACO 90o, A= 30故答案为

23、：2【点评】此题考查了垂径定理、含 30。角的直角三角形的性质注意根据题意作出图形是关键.14. 2017年9月热播的专题片辉煌中国-圆梦工程展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥(如 图1所示)主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列.在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨 BD的中点为E,最长的斜拉索CE长577m记CE 与大桥主梁所夹的锐角 CED为,那么用CE的长和的三角函数表示主跨BD长的表达 式应为 BD= _ 1

24、154COSa _ (m .【分析】根据题意和特殊角的三角函数可以解答本题.【解答】解：由题意可得，BD= 2CE? COS a= 2 × 577 × COS a = 1154cos a，故答案为：1154cos a.【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，禾I用特殊角的三角函 数解答.15.如图，抛物线y= a2+b+c (a0)与y轴交于点C,与轴交于A，B两点，其中点B的坐标 为B (4, 0)，抛物线的对称轴交轴于点 D, CE/ AB,并与抛物线的对称轴交于点 E.现有 下列结论：a> 0;b >0 :4a+2b+cV 0;ADF

25、CE= 4 .其中所有正确结论的序号是 .h :I ,Af OD3 X【分析】根据图象的开口方向、与和 y轴的交点、对称轴所在的位置，判断即可.【解答】解：该函数图象的开口向下，av 0,错误； T av0,二->0,° b>0,正确；a 把=2代入解析式可得4a+2b+c>0,错误； . AC= DB CE= OD AC+OD= DBFOD= OB= 4,可得：ADbCE= 4,正确.故答案为：【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系. 根据二次函数y = a2+b+c系数符号判断抛物 线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与轴交点的个数.16如图，O O

26、的半径为3, A, P两点在O O上，点B在O O内，tan APB=门,AB丄AP.如果OBl OP那么OB的长为 1.【分析】如图，连接OA作AML OB交OB的延长线于M作PN丄MA交 MA勺延长线于N.则四 边形POMNl矩形.想办法求出OM BM即可解决问题；【解答】解：如图，连接OA作AMLOB交OB的延长线于M作PN丄MA交MA的延长线于N.则 四边形POMNl矩形. POB= PAB= 90°, P、OB、A四点共圆， AOB= APB tan AO= tan APB=J =,设 AM= 4，OM= 3,30'M在 Rt OMA中,( 4) 2+ (3) 2=

27、 32,解得=；(负根已经舍弃)，. AM=孚 OM=戈 AN= MN- AM=-I555 MAB ABM 90°, MAB PAN= 90°, ABM= PAN AM= PNA 90°, AMBo PNA.如_理 BMh d ,5/. OB= OMr BMh 1.故答案为1【点评】本题考查点与圆的位置关系，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似 三角形，特殊四边形解决问题.三、解答题(本题共68分，第17-20题每小题5分，第21、22题每小题5分，第23、24题 每小题5分，

28、第25、26题每小题5分，第27、28题每小题5分)17.计算：2sin30 ° +cos245°- tan60 ° .【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答.【解答】解：原式=2×" (-) 2-2 2【点评】考查了特殊角的三角函数值，属于识记性题目，基础题.18.如图，AB/ CD AC与 BD的交点为 E, ABE= ACB(1) 求证： ABE ACB(2) 如果 AB= 6, AE= 4,求 AC CD的长.良A【分析】(1)根据相似三角形的判定证明即可；(2) 利用相似三角形的性质解答即可.【解答】证明：(1) ABE= ACB

29、A= A，ABE ACB(2)v ABE ACB-, AB = AC? AEVAB= 6, AE= 4,.°. AC=V AB/ CDCDE ABE. _ : '，芒注!:【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明厶ABEACB 19.在平面直角坐标系Oy中，抛物线C: y =- 2+2.（1）补全表格:抛物线顶点坐标与轴交点坐标与y轴交点坐标y =- 2+2(1, 1)(0, 0)(2, 0)(0, 0)（2）将抛物线C向上平移3个单位得到抛物线C2,请画出抛物线C , C2,并直接回答：抛物 线C2与轴的两交点之间的距离是抛物线 C与轴的两交点

30、之间距离的多少倍.【分析】（1）禾U用待定系数法即可解决问题；（2）禾U用描点法即可解决问题；【解答】解：（1） y =- 2+2与轴的交点为（0, 0）和（2, 0） 故答案为（0, 0）和（2, 0）;（2）抛物线C, C2如图所示，抛物线C2与轴的两交点之间的距离是抛物线 G与轴的两交点之 间距离的2倍÷【点评】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质、平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型20在 ABC中，AB= AC2, BAC- 45° 将 ABC绕点 A逆时针旋转 度（OVaV 180） 得到 ADE B, C两点的对应点分别为点D,

31、E，BD CE所在直线交于点F.（1）当厶ABC旋转到图1位置时， CAD=_a- 45° _ （用a的代数式表示）， BFC的 度数为_45_ ° ;（2）当a= 45时，在图2中画出 ADE并求此时点A到直线BE的距离.【分析】（1）如图1,利用旋转的性质得 BAD= CAE=a, AB= AD AE= AQ则 CAD=a-45°再利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到 ABD= ACE所以 BFC= BAC =45°.（2）如图2,ADE为所作，BE与AC相交于G,利用旋转的性质得点D与点C重合， CAE =45°, AE= AB= 2,

32、则厶ABE为等腰直角三角形，所以 BE= 7AB= 2二，再证明AGBE, 然后根据等腰直角三角形的性质求出 AG的长即可.【解答】解：（1）2 ABC绕点A逆时针旋转a度（OVaV 180）得到 ADE如图1, BAD= CAE=a, AB= AD AE= AQ而 BAC= 45°,° CAD=a- 45 °V AB= AD AE= AQ ABD= ADB= (180o- BAD = (180o-) = 90°-, ACI AEC= ( 1802 2 2 2-)= 90 o- ,2 ABD= ACE BFC= BAC= 45°.故答案为- 4

33、5° 45°(2)如图2, ADE为所作，BE与AC相交于G, ABC绕点A逆时针旋转45度得到 ADE而 AB= AC BAC= 45°,点 D与点 C重合， CAE= 45°, AE= AB= 2, ABE为等腰直角三角形，. BE=:AB= 2 '",而AG平分 BAE AGL BE AG= BE= ,2 v ,即此时点A到直线BE的距离为匚图1【点评】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般 是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性 质，结合几何图形的基本性质

34、把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了等腰直角 三角形的性质和旋转的性质.21. 运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞 行高度h (m与它的飞行时间t (S)满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示.t ( S )00.511.52h (m08.751518.7520(1) 求h与t之间的函数关系式(不要求写t的取值范围)；(2) 求小球飞行3s时的高度；(3) 问：小球的飞行高度能否达到 22n？请说明理由.【分析】(1)设h与t之间的函数关系式为h = at2+bt (a0),然后再根据表格代入t = 1 时，h= 15; t = 2时，

35、h = 20可得关于a、b的方程组，再解即可得到a、b的值，进而可得 函数解析式；(2) 根据函数解析式，代入t = 3可得h的值；(3) 把函数解析式写成顶点式的形式可得小球飞行的最大高度，进而可得答案.【解答】解：(1)： t = 0时，h = 0，设h与t之间的函数关系式为h= at2+bt (a0)，11 = 1 时，h= 15； t = 2 时，h = 20,.2+215妬+2220，解得fa=-5b=20 h与t之间的函数关系式为h=-5t2+20t ；(2)小球飞行 3 秒时，t = 3 (s)，此时 h=- 5× 32+20× 3= 15 (m) 答：小球飞

36、行3s时的高度为15米；(3)： h=- 5t2+20t = - 5 (t - 2) 2+20，小球飞行的最大高度为20mt 22> 20，小球的飞行高度不能达到22m【点评】此题主要考查了二次函数的应用，关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握配方法化顶点解析式.22. 如图，在平面直角坐标系Oy中，双曲线y =(0)与直线y =】；的交点为A(a，- 1)，B(2, b)两点，双曲线上一点P的横坐标为1,直线PA PB与轴的交点分别为点 M N连接AN(1) 直接写出a,的值；(2) 求证：PM= PN PMLPN【分析】(1)依据双曲线y = - ( 0)与直线y = I：的交点为A

37、 (a,- 1), B (2, b)两 XLx点，可得点A与点B关于原点对称，进而得到a,的值；(2) 根据双曲线y =,上一点P的横坐标为1,可得点P的坐标为(1, 2),进而得到直线PA PB的函数表达式分别为y = +1, y=- +3,求得直线PA PB与轴的交点坐标分别为 M (-1, 0), N (3, 0),即可得到 PM= PN PMLPN【解答】解：(1)双曲线y=(0)与直线y= 1 .；的交点为A (a,- 1), B (2, b)KZ两点，点A与点B关于原点对称，° a=- 2, b= 1,把A (- 2,- 1)代入双曲线y = !：,可得=2;(2)证明：

38、双曲线y=_上一点P的横坐标为1,点P的坐标为(1, 2),直线PA PB的函数表达式分别为y= +1, y =- +3,直线PA PB与轴的交点坐标分别为 M(- 1, 0), N (3, 0), PM= 2 7, PN= 2 7, MN= 4, PM= PN pM+pN= mN, MPI= 90 PMPN【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题以及勾股定理的逆定理的运用，求 反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解解决问题的关 键是掌握待定系数法求一次函数解析式.23如图，线段BC长为13,以C为顶点，CB为一边的满足 COS = _.锐角 ABC的9,顶

39、点A落在的另一边I上，且满足SinA=汀.求 ABC的高BD及AB边的长，并结合5BD及 AB边.（图中提供的单位长度供补全图形使用）【分析】先利用直角作出BD再用勾股定理求出BD再用锐角三角函数求出AB, AD,即可得 出结论.【解答】解：如图，作BDI于点D, 在 Rt CBD中，/ CDB= 90°, BC= 13, COSC= COS =,. CE= BC? cosC= 13X-= 5, BD= I fJ= 12,4在 Rt ABD中，Bc= 12, Sin A=,. tan A=, AB=BDSinA=15, AD=BD作图，以点D为圆心，9为半径作弧与射线I交于点A,连接

40、AB,AB【点评】此题是解直角三角形，主要考查了基本作图，勾股定理，锐角三角函数，解本题的 关键是求出AB和AD24.如图，AB是半圆的直径，过圆心 O作 AB的垂线，与弦AC的延长线交于点D,点E在OD 上， DCE= B.(1) 求证：CE是半圆的切线；(2) 若CD= 10，tanB=，求半圆的半径.【分析】(1)利用同角的余角相等判断出 BCO- B,进而判断出 BCO BCE= 90° ,即 可得出结论；(2) 先求出Sin B,再利用同角的余角相等判断出 D= B即可得出结论.【解答】解：(1)连接OCV AB是半圆的直径，AC是半圆的弦, ACB= 90°,V

41、点D在弦AC的延长线上， DCB= 180°-/ ACB= 90°, DC+ BCm 90V OG= OB BCO B,v DCE= B, BCO BCE= 90即： OC= 90°, CE OCV点C在半圆上， CE是半圆的切线;(2)解：如图1,在 Rt ABC, tan B=,设AC= 2,则BC= 3,根据勾股定理得,SinB丁V ODLAB. D+ A= 90°,V AB是半圆的直径,. ACB= 90°. B+ A= 90. D= B,.SinD= SinB=13在 Rt CDF中,CFSin D=I =213DF CF=CD,设C

42、F= 2m DE=J疋m根据勾股定理得,.13卅4m= 100,.n=- 1 （舍）或 m=lCj ,在 Rt BoF中，BF=丄L =COSB 6 BC= BF+CF=+ 丛=3,63'. =8,.0E=亠 4 【点评】此题主要考查了切线的性质，同角的余角相等，勾股定理，圆的性质，解本题的关键是判断出 BC0= B.25.已知抛物线 G y =2 - 2a+a- 1 （a为常数）.（1）当a= 3时，用配方法求抛物线 G的顶点坐标；（2）若记抛物线G的顶点坐标为P （p，q）. 分别用含a的代数式表示p，q； 请在的基础上继续用含P的代数式表示q； 由可得，顶点P的位置会随着a的取值

43、变化而变化，但点P总落在_C_的图象上.A 次函数B.反比例函数C二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线 G改为抛物线H： y =2-2a+N（a为常数），其中N为含a的代数式，从而使这个新抛物线 H满足：无论a取 何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上.请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：_y =2-2a+a2+a_ （用含a的代数式表示），它的顶 点所在的一次函数图象的表达式 y = +b （， b为常数，工0）中，=_ 1， b=_0_.【分析】（1）将a= 1代入函数解析式，然后化为顶点式即可解答本题；（2）将题目中

44、的函数解析式化为顶点式即可用含 a的代数式表示p、q； 根据中的结果可以解答本题； 根据可以解答本题；(3) 答案不唯一，只要符合要就即可.【解答】解：(1)当 a= 3 时，y =2 - 6+3- 1=2-6+2=( - 3) 2-7,此时抛物线的顶点坐标为(3,- 7);(2) y =2 - 2a+a- 1=(- a) 2- a2+a- 1,抛物线G的顶点坐标为P(p, q),2. P= a, q=- a +a - 1 ； 由可得，q=- p+p- 1； 由可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在二次函数图象上， 故答案为：C;(3) 符合以上要求的新抛物线 H的函数表达式

45、：y =2-2a+a2+a,.y =2- 2a+a2+a=(- a) 2+a,.顶点坐标为(a, a),.它的顶点所在的一次函数图象的表达式 y=,.=1, b= 0,故答案为：y =2 - 2a+a2+a, 1, 0.【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数与一次函数在图象上的坐标特征，解答本题的 关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答.26.在平面直角坐标系 Oy中，抛物线 M y = a2+b+c (a0)经过A (- 1, 0),且顶点坐标 为 B (0, 1).(1) 求抛物线M的函数表达式；(2) 设F (t , 0)为轴正半轴上一点，将抛物线 M绕点F旋转18

46、0°得到抛物线M. 抛物线M的顶点B的坐标为(2t , - 1) 当抛物线M与线段AB有公共点时，结合函数的图象，求t的取值范围.【分析】(1)根据待定系数法，可得答案;（2）根据旋转的性质，可得 B与B'关于F点对称，根据中点公式，可得答案；根据图象过A, B点，可得点的坐标符合解析式，根据图象，可得答案.【解答】解：（1）由抛物线M的顶点坐标为B （0，1）,设抛物线的解析式为y = a2+1, 将A （- 1，2）代入解析式，得a×（- 1） 2+1 = 0，解得a=- 1，抛物线的解析式为y =- 2+1，（2）由旋转的性质，得B （，y）与 B （0，1）

47、关于 F （t，0）对称， 計Q=t止=0,2解得=2t，y =- 1,B (2t，1)；，二次项系数为1,抛物线M的解析式为y =(-2t) 2- 1(t > 0),当抛物线M经过A (- 1, 0),时(-1 - t) 2- 1 = 0,解得 t 1 =- 1 , t 2= 0.当抛物线M经过B (0, 1)时,(2t) 2- 1 = 1,解得t= , 结合图象分析，t t > 0,当抛物线M与线段AB有公共点时，t的取值范围OV t w二【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用待定系数法是解（1）的关键；利用旋转 得出B与B'关于F点对称是解(2)的关键，利用象

48、过A, B点得出点的坐标的坐标符 合解析式是解关键27如图 1,在 Rt AoB中， AoB= 90°, OAB= 30° ,点 C在线段 OB上，OC= 2BC, Ao 边上的一点D满足 OC= 30° 将 OCt绕点O逆时针旋转度(90° VaV 180°)得 到厶OC D , C, D两点的对应点分别为点C', D',连接AC , BD ,取AC的中点M 连接OM(1) 如图2,当C D' / AB时，a=_150_ ° ,此时OM和BD之间的位置关系为 _垂直(2) 画图探究线段OM和BD之间的位置关系

49、和数量关系，并加以证明.【分析】(1)根据平行线的性质得到ABD + C' D ' B= 180根据周角的定义即可得到结论;(2)取AO的中点E,连接ME延长MC交BD于N,根据三角形的中位线的性质得到 EM/ OC ,EM=QC ,根据相似三角形的性质得到 AO=/2,丄丄上一一，根据垂直的定义即可得到结论.【解答】解：(1)C D ' / AB ABD + C D' B= 180°, ABO=/ C D ' O= 60°,. OBD +/ BD O= 60°,/ BOD = 120°/ BOC = 360 °- 90°- 90°- 120°= 150 a = 150°,此时，OM