利用导数研究函数极值

1、利用导数研究函数极值利用导数研究函数极值oxy 已知函数已知函数 f( (x)=)=2x3 - - 6x2 + + 7(1)(1)求求f(x)f(x)的单调区间的单调区间, ,并画出其大致图象并画出其大致图象; ;【函数的极值函数的极值】【复习与思考【复习与思考】(2)(2)函数函数 f( (x) )在在 x0 0 和和 x2 2 处的函数值与处的函数值与 这两点附近的函数值有什么关系这两点附近的函数值有什么关系? ?20 xy一、函数的极值定义一、函数的极值定义如果对如果对x0附近附近的所有点的所有点x，都有，都有f(x)f(x0), 则称函数则称函数f(x)在点在点x0处取极小值，记作处取

2、极小值，记作y极小值极小值= f(x0)；并把并把x0称称为函数为函数f(x)的一个极小植点。的一个极小植点。 函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值.极大值点与极小极大值点与极小值点统称为值点统称为极值点极值点已知已知 函数函数y=f(x)，设，设x0是定义域（是定义域（a,b)内任一点内任一点，yox0 xaboxy0 xbacd efoghijxy xfy aboxy xfy 103.1图图113.1图图探究探究 1、图中有哪些极值点和最值点？图中有哪些极值点和最值点？ 2、函数极值点可以有多个吗？极大值一定、函数极值点可以有多个吗？极大值一定比极小值大么？比极小值

3、大么？ 3、最值和极值有什么联系和区别、最值和极值有什么联系和区别? 4、端点可能是极值点吗？、端点可能是极值点吗？(1)(1)极值是一个极值是一个局部概念局部概念, ,反映了函数值在某一点反映了函数值在某一点附近的大小情况附近的大小情况; ;(2)(2)极值点极值点是是自变量的值自变量的值，极值极值指的是指的是函数值函数值; ;(3)(3)函数的极大函数的极大( (小小) )值可能不止一个值可能不止一个, ,而且而且函数的函数的极大值未必大于极小值极大值未必大于极小值; ;关于极值概念的几点说明关于极值概念的几点说明(4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端函数的极值点一定在区间的内部，区

4、间的端点不能成为极值点。点不能成为极值点。观察与思考：观察与思考：极值与导数有何关系？极值与导数有何关系？在极值点处，曲线如果有切线，则切线是水平的。在极值点处，曲线如果有切线，则切线是水平的。 f (x1) 0 f (x2) 0 f (x3) 0 f (b)=0y f(x) yxoabx1x2x3c结论：设结论：设x=x0是是y=f(x)的极值点，且的极值点，且f(x)在在x=x0是可导的，则必有是可导的，则必有f (x0)=0 f (x)0 yxox1aby f(x) f (x)0 f (x)0 1、如果在、如果在x0附近的左侧附近的左侧f (x)0，右侧，右侧f (x)0，则则f (x0

5、)是极大值；是极大值； 2、如果在、如果在x0附近的左侧附近的左侧f (x)0， 则则f (x0)是极小值；是极小值；已知函数已知函数f(x)在点在点x0处是处是连续连续的，且的，且 f (x0)=0则则二、判断函数极值的方法二、判断函数极值的方法x2导数为导数为0的点不一定是极值点；的点不一定是极值点；若极值点处的导数存在，则一定为若极值点处的导数存在，则一定为0点评：可导函数点评：可导函数)(xfy , 0)(oxf且在点且在点x0左侧和右侧，左侧和右侧， f (x)异号异号.在点在点x0取得极值的充分必要条取得极值的充分必要条件是件是注意注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义：函数极

6、值是在某一点附近的小区间内定义的，是的，是局部性质局部性质。因此一个函数在其整个定义区间。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。例例.判断下面判断下面4个命题，其中是真命题序号为个命题，其中是真命题序号为 。可导函数必有极值；可导函数必有极值；函数的极值点必在定义域内；函数的极值点必在定义域内；函数的极小值一定小于极大值。函数的极小值一定小于极大值。（设极小值、极大值都存在）；（设极小值、极大值都存在）；函数的极小值（或极大值）

7、不会多于一个。函数的极小值（或极大值）不会多于一个。xy2 如如2( )4fxx ， 例题例题: 求函数求函数 的极值。的极值。 31( )443f xxx 解：解： 令令 ( )0fx ， 解得解得 2x 。列表如下：列表如下：( )fx ( )f x , 2 2,2 2, 2 2x28334 0 0 所以函数有极大值所以函数有极大值 ，极小值，极小值 。28( 2)3f 4(2)3f 练习练习:求函数求函数 的极值的极值.1)1(32 xy22223(1)26(1)(1)yxxxxx 解解：0011yxxx 令令得得：或或或或 y (, 1) ( 1,0) (1,)(0,1)xy1 010

8、00110所以函数没有极大值，有极小值所以函数没有极大值，有极小值 0。(0)f 对于可导函数而言对于可导函数而言, ,其极值点一定是导数为其极值点一定是导数为0 0的点的点, ,反之导数为反之导数为0 0的的点不一定是函数的极值点点不一定是函数的极值点. .因此因此: :导数值为导数值为0 0的点是该点为极值点的点是该点为极值点的必要不充分条件的必要不充分条件. .【求函数极值的步骤【求函数极值的步骤】（1） 求导数求导数 ；（2） 解方程解方程 求得所有实数根求得所有实数根（3） 通过列表检查通过列表检查 在方程在方程 的根的左右两侧的符号，进而确定函的根的左右两侧的符号，进而确定函数的极值点与极值数的极值点与极值. 0 xf xf xf 0 xf1、可导函数的极值点概念及与导数的关系。、可导函数的极值点概念及与导数的关系。2、求极值的方法步骤。、求极值的方法步骤。3、极值与最值的联系与区别。、极值与最值的联系与区别。4、求最值的方法步骤。、求