定积分的概念与计算(11)

1、一一 教学内容安排与要求教学内容安排与要求1 内容安排：内容安排：教学内容安排见教学大纲，教学日历（公教学内容安排见教学大纲，教学日历（公布在网络学堂）布在网络学堂）定积分定积分无穷级数无穷级数多元微分多元微分微分方程微分方程2 要求：要求：关于作业：交作业在关于作业：交作业在2/3以上有考试资格以上有考试资格 按时交作业，无故不予补交。按时交作业，无故不予补交。积极参加网络学堂的学习讨论。积极参加网络学堂的学习讨论。二二 利用好网络学堂的资源利用好网络学堂的资源功能模块：教学大纲，教学日历，电子教案，习题解答，功能模块：教学大纲，教学日历，电子教案，习题解答， 课程思考，考研资料，网上测验课

2、程思考，考研资料，网上测验 网址网址:http:/ 占总评的占总评的50%两次课堂测验期中考试课程考核 网络学堂测验作业，考勤，课堂表现期末考试三三 课程总评成绩的评定课程总评成绩的评定占总评的占总评的10%占总评的占总评的20%占总评的占总评的10%占总评的占总评的10%四、答疑时间与地点四、答疑时间与地点我的邮箱我的邮箱:办公室答疑：周二下午，教学楼办公室答疑：周二下午，教学楼311室室网络学堂答疑网络学堂答疑第六章第六章 定积分定积分1、引例、引例1 求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积oxy)(xfy ab0 x1x1ixixnxn);,1,2,(i ,1iiixxxnba段，各段长为为分

3、割：任分ix1i , (i1,2,n), s( );iiiiitxxf tx近似：任取得到;)(1iniixtfs求和：01lim( );iniixisf tx 取极限：第一节第一节 定积分的概念定积分的概念引例引例2 求变速运动物体在求变速运动物体在 内的路程。内的路程。12 , t t设速度为设速度为( ),v t则路程则路程01lim( );iniitisv tt 2、定积分的定义、定积分的定义0101lim( )( ) , ,( )lim( )iiniixinbiiaxif txyf xa bf x dxf tx 若存在，则称之为在上的定积分 记做注注、定积分是个数01)(21dxex

4、如：002( ) , f xa b、定积分仅与、有关,与积分变量符号的选取无关。dxex21如：dtet21连续函数、有有限个间断点的有界函数可积连续函数、有有限个间断点的有界函数可积03 badxxf)( badttf)(0( )baf x dx 2104 ( )ttv t dt、路程 s=a=( )( ( )0)baf x dxf x 面积面积, 0)( xf baadxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积3、定积分的几何意义、定积分的几何意义, 0)( xf baadxxf)(曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值1211x dx在几何上表示什么含义？1、0)(dxxfaaabdxba

5、12、线性性质、线性性质dxxfkdxxkfbaba)()( ( )( )( )( )bbbaaaf xg x dxf x dxg x dxdxxfdxxfbaab)()( 第二节第二节 定积分的性质定积分的性质3、可加性质、可加性质dxxfdxxfdxxfbccaba)()()(oxy)(xfy abc补充补充：不论：不论 的相对位置如何的相对位置如何, 上式总成立上式总成立.cba ,4、比较性质、比较性质，上若在)()(,xgxfba( )( )bbaaf x dxg x dx有 ( )ab注：11200(1)(1)xdxxdx例：比较积分值和的大小20,1 (1)(1)xxx解：当时,

6、，11200(1)(1)xdxxdx所以5、估值定理、估值定理上的最大值和最小值，在分别为、若,)(baxfmm)()()(abmdxxfabmba则221xedx例：估计积分的值24 121xee解：在，上的最大值为 ，最小值为221(2( 1)(2( 1)xmedxm 224133xeedx6、中值定理、中值定理连续，在若,)(baxf。使得则)()(,abtfdxxfbatbaoxy)(xfy abt 设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上连续，上连续， xadxxf)(考察定积分考察定积分记记( )( )xaxf t dt积分上限函数积分上限函数由几何意义由几何意义( )baaf x

7、 dx abxyox随着随着 的变化而变化，由此建立了一个函数的变化而变化，由此建立了一个函数x( )yf x 1 积分上限函数积分上限函数第三节第三节 定积分的计算定积分的计算连续，在若,)(baxfy ( )( ) ( )xxaxf t dtf x积分上限函数的性质积分上限函数的性质定理（原函数存在定理）定理（原函数存在定理） 如果如果)(xf在在,ba上连续，则积分上限的函上连续，则积分上限的函数数dttfxxa )()(就是就是)(xf在在,ba上的一个上的一个原函数原函数. .即连续函数的原函数一定存在。即连续函数的原函数一定存在。例例 求下列函数的导数求下列函数的导数1 (sin)

8、xat dt sin x 202 (sin)xt dt 0(sin)uuxt dtu 2ux 22 sinxx 0sin3 (1)xt dt sin0(1)xt dt 24 (sin)xxtdt 2(sinsin)axxat dttdt 1sincosxx 2(sin)(sin)xxaat dttdt 2sin2 sinxxx 例例 计算下列极限计算下列极限21 limxtaxae dtxa22limlim()xxttaaxaxae dte dtxaxa解:0( )0型2aesin0012 limxtxe dtxsinsin00001limlimxtxtxxe dte dtxx解：sin0co

9、slim1xxex10( )0型2lim1xxae21cos203 limtxxedtx0( )0型21cos20limtxxedtx解：2cos0sinlim2xxx ex12e2cos00sinlimlim2xxxxex又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一个个原原函函数数, 已知已知)(xf是是)(xf的一个原函数，的一个原函数，cxxf )()(,bax 证证2 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式令令ax ,)()(caaf ,)(caf ( )( )xbf bbc 令令( )f a ( )( )( ),bf bf a )()()(afbfdxxfba 20(2cossi

10、n1).xxdx例求111000c2sinosxxx.23 例例 设设 , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf 102152dxxdx原式原式. 6 1205x2220002cossin1xdxxdxdx解：原式3 定积分的计算方法定积分的计算方法一凑微分法利用牛顿莱布尼兹公式( )( )( )baf x dxf bf a例例 计算计算.sincos205 xdxx解解16原式250cos(cos )xdx 2601cos6x 例20.axxe dx2201()2axe d x2012axe1(1)2ae解：原式3204

11、4.xxdx例例320(2)xdx302.xdx230222xdxxdx2302(2)(2)x dxxdx2322024222xx52解：原式2233002222dxxdxxdxdxxdx402cos例：dxx4022cos12cos1214040dxxdx4011sin2 | 2 42x2sin2142121421解：原式二二.分部积分法分部积分法bbbaaaudvuvvdu(条件条件: 是连续函数是连续函数) ( ), ( )u x v x例51ln xdx 5ln54例10 xxe dx101xee 55111lnxxx dxx1100()xxxee dx10 xxde11(1)ee 2

12、1e 例例 计算计算.arcsin210 xdx120arcsinxx12201xdxx621 )1(112120221xdx 12 12201x. 12312 解：原式三三.第二类换元法第二类换元法切记切记:换元的同时要变限换元的同时要变限令令3xt解解:32,3xt dxt dt0,0 xt 8,2xt 8301dxx例例30 2xt了解：在 ，上有连续的导数，0208tx当 从 到 时， 从 单调地变到822300311dxt dttx2013 (1)1tdtt 2220032 ln(1) 2tt 3(22ln3)3ln32220001311tdtdtdtt解：令解：令sinxt0,0

13、xt 1,26xtcosdxtdt12262200sincoscos1xttdtdxtx620sin tdt601 cos22tdt6011(sin2)2 62t3128122201xdxx例660011cos22dttdt)0( ,022adxxaa例：taxsin解：令tdtadxcos，2022022costdtadxxaadtta20222cos12cos1220202tdtdta2201(sin2)222at211(sin2sin2 0)22222a24a0,0 xt ,2xat 注：此题还可用几何意义计算证证00( )( )( ),aaaaf x dxf x dxf x dx例：

14、在 上连续，( )f x, a a0( )2( )aaaf x dxf x dx( )f x为偶函数，则为偶函数，则 ( )0aaf x dx( )f x为奇函数，则为奇函数，则 0( )af x dx0()aft dt0()aft dt( )f x为偶函数，则为偶函数，则 令令xt 0(),afx dx00( )( )( )aaaaf x dxf x dxf x dx02( )af x dx. 0 ( )f x为奇函数，则为奇函数，则 00( )( )( )aaaaf x dxf x dxf x dx131sin x dx如：如：01221 (3)xxdx例：121=(233)xxdx原式1

15、1=36dx证证设设tx 2,dtdx 0 x ,2t 2x0,t 20)(sindxxf 022sindttf 20)(cosdttf;)(cos20 dxxf40221xdxx练习1223tx12解：令tdtdxtx,21,2则dttdxxx32112231240313| )33(21tt2230,0 xt 4,3xt 32211dxxx 2324sectansectdttt324sectantdtt324cossintdtt324sinsindtt341sint 112()23练习练习2tanxt解：令2,secdxtdt1,4xt 3,3xt 32211dxxx 10 xedx练习练习

16、32xt解：令2,2xtdxtdt0,0 xt 1,1xt 11002xtedxetdt102( )ttd e102()tee11002()tttee dt21( )131xxf xxx例：设31(1)f xdx求 1,xt dxdt 解：令1,0 xt 3,2xt 1201( )( )f x dxf x dx1201(13 )xdxx dx1222013()22xxx63210(1)=( )f xdxf t dt0( )(1)xf xtdt例求函数的极值( )1fxx解：( )0,fx令( )1( )10fxf 又，10(1)(1)ftdt极小值1201()22tt 1x 得2e211 (ln )xdxx例2e118e82edxx2e18e 16e+8(2)x22ee1118e8lnxxxdxx22ee22112(ln )(ln ) xxxdx2e