导数及其运算上

1、第二章微积分学的创始人: 德国数学家 leibniz 微分学导数导数描述函数变化快慢微分微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)微分学导数思想最早由法国数学家 ferma 在研究极值问题中提出.英国数学家 newton引例1.变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为)(tfs 0t则 到 的平均速度为0tt v)()(0tftf0tt 而在 时刻的瞬时速度为0t lim0ttv)()(0tftf0tt so)(0tf)(tft2.1.1 导数的概念 xyo)(xfy c引例2. 曲线的切线斜率曲线)(:xfycnt0 xm在 m 点处的切线x割线 m n 的极限位置

2、 m t(当 时)割线 m n 的斜率tan)()(0 xfxf0 xx 切线 mt 的斜率tanktanlim lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 两个问题的共性共性:so0t)(0tf)(tft瞬时速度 lim0ttv)()(0tftf0tt 切线斜率xyo)(xfy cnt0 xmx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题定义1 设函数)(xfy 在点0 x0l

3、imxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在,)(xf并称此极限为)(xfy 记作;0 xxy; )(0 xf ;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000则称函数若的某邻域内有定义 , 在点0 x处可导, 在点0 x的导数. 运动质点的位置函数)(tfs so0t)(0tf)(tft在 时刻的瞬时速度0t lim0ttv)()(0tftf0tt 曲线)(:xfyc在 m 点处的切线斜率xyo)(xfy cnt0 xmx lim0 xxk)()(0 xfx

4、f0 xx )(0tf )(0 xf 0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx若上述极限不存在 ,在点 不可导. 0 x若,lim0 xyx也称)(xf在0 x若函数在开区间 i 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:;y;)(xf ;ddxy.d)(dxxf注意注意:)(0 xf 0)(xxxfxxfd)(d0就说函数就称函数在 i 内可导. 的导数为无穷大 .则令,0hxt原式htfhtfh2)()2(lim0)(lim0tfh)(0 xf 是否可按下述方法作:例1. 证明函数xxf)(在 x = 0 不可导. 证证:hfhf)0(

5、)0(hh0h,10h,1hfhfh)0()0(lim0不存在 , .0不可导在即xx例2. 设)(0 xf 存在, 求极限.2)()(lim000hhxfhxfh解解: 原式0limhhhxf2)(0)(0 xfhhxf2)( 0)(0 xf)(210 xf )(210 xf )(0 xf )( 2 )(0hhxf)(0 xf例3.求函数cxf)(c 为常数)的导数. 解yxccx0lim0即0)( c例4.求函数)n()(nxxfn.处的导数在ax 解axafxf)()(ax lim)(af axaxnnaxlim(limax1nx2nxa32nxa)1na1nanxxfxxf)()(0l

6、imx说明：说明：对一般幂函数xy ( 为常数) 1)(xx例如，例如，)(x)(21 x2121xx21x1)(1x11x21x)1(xx)(43x4743x处可导在点xxf)(函数的可导性与连续性的关系定理定理1.处连续在点xxf)(证证: 设)(xfy 在点 x 处可导,)(lim0 xfxyx存在 , 因此必有,)(xfxy其中0lim0 x故xxxfy)(0 x0所以函数)(xfy 在点 x 连续 .注意注意: 函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例:xy xyoxy 在 x = 0 处连续 , 但不可导.即在点0 x的某个右右 邻域内单侧导数单侧导数)(xfy 若极限xx

7、fxxfxyxx)()(limlim0000则称此极限值为)(xf在 处的右右 导数导数,0 x记作)(0 xf即)(0 xfxxfxxfx)()(lim000(左)(左左)0( x)0( x)(0 xf0 x例如例如,xxf)(在 x = 0 处有,1)0(f1)0(fxyoxy 定义定义2 . 设函数有定义,存在,定理定理2. 函数在点0 x)(xfy ,)()(00存在与xfxf且)(0 xf. )(0 xf)(0 xf 存在)(0 xf)(0 xf简写为在点处右右 导数存在0 x定理定理3. 函数)(xf)(xf在点0 x必 右右 连续.(左左)(左左)若函数)(xf)(af)(bf与

8、都存在 , 则称)(xf显然:)(xf在闭区间 a , b 上可导,)(bacxf在开区间 内可导,),(ba在闭区间 上可导.,ba可导的充分必要条件是且导数的几何意义导数的几何意义xyo)(xfy ct0 xm曲线)(xfy 在点),(00yx的切线斜率为)(tan0 xf 若,0)(0 xf曲线过上升;若,0)(0 xf曲线过下降;xyo0 x),(00yx若,0)(0 xf切线与 x 轴平行,称为驻点驻点;),(00yx),(00yx0 x若,)(0 xf切线与 x 轴垂直 .曲线在点处的),(00yx切线方程切线方程:)(000 xxxfyy法线方程法线方程:)()(1000 xxx

9、fyy)0)(0 xfxyo0 x,)(0时 xf例5. 问曲线3xy 哪一点有垂直切线 ? 哪一点处的切线与直线131xy平行 ? 写出其切线方程.解解:)(3xy3231x,13132x,0 xy0 x令,3113132x得,1x对应,1y则在点(1,1) , (1,1) 处与直线131xy平行的切线方程分别为),1(131xy) 1(131xy即023 yx故在原点 (0 , 0) 有垂直切线内容小结内容小结1. 导数的实质:3. 导数的几何意义:4. 可导必连续, 但连续不一定可导;5. 判断可导性不连续, 一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.axf)(02. axf

10、xf)()(00增量比的极限;切线的斜率;思考与练习思考与练习1. 函数 在某点 处的导数)(xf0 x)(0 xf )(xf 区别:)(xf 是函数 ,)(0 xf 是数值;联系:0)(xxxf)(0 xf 注意注意:有什么区别与联系 ? )()(00 xfxf？与导函数2. 设)(0 xf 存在 , 则._)()(lim000hxfhxfh3. 已知,)0(,0)0(0kff则._)(lim0 xxfx)(0 xf 0k4. 若),(x时, 恒有,)(2xxf问)(xf是否在0 x可导?解解:由题设)0(f00)0()(xfxfx0由夹逼准则0)0()(lim0 xfxfx0故)(xf在0

11、 x可导, 且0)0( f5. 设0,0,sin)(xxaxxxf, 问 a 取何值时,)(xf 在),(都存在 , 并求出. )(xf 解解:)0(f00sinlim0 xxx1)0(f00lim0 xxaxa故1a时,1)0( f此时)(xf 在),(都存在, )(xf0,cosxx0,1x显然该函数在 x = 0 连续 .考研真题考研真题1. 设函数 3( )lim 1nnnf xx，则( )f x在 (,) 内（ ）（a）处处可导 （b）恰有一个不可导点（c）恰有两个不可导点 （d）至少有三个不可导点31,1( ),1xf xxx解：，有不可导点 1x 选c。 解解: 因为2. 设)(

12、xf 存在, 且, 12)1 () 1 (lim0 xxffx求).1 (f xxffx2)1 () 1 (lim0所以. 2) 1 ( fxfxfx2) 1 ()1 (lim0)() 1 ()(1 (lim210 xfxfx1) 1 (21f)(xf在 0 x处连续, 且0( )limxf xax，证明:)(xf在0 x处可导.证：因为xxfx)(lim0存在， 则有0)(lim0 xfx又)(xf在0 x处连续,0)0(f所以0( )limxf xax即)(xf在0 x处可导.3. 设xfxfx)0()(lim0)0(f 故作业作业p124 第1题中选一小题p124 第2题中选一小题p12

13、7 第9题p127 第11题p127 第12、13题中选一题hxhxhsin)sin(lim0例1. 求函数xxfsin)(的导数. 解解:,xh令则)(xf hxfhxf)()(0limh0limh)2cos(2hx 2sinh)2cos(lim0hxh22sinhhxcos即xxcos)(sin类似可证得xxsin)(cosh2.1.2 导数的基本公式与运算法则.)1, 0()(的导数的导数求函数求函数 aaaxfx解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx .e)e (xx 即特别地,例2. )1(lnxh例3. 求函数xxfln)(的导

14、数. 解解: )(xf hxfhxf)()(0limhhxhxhln)ln(lim0hh1lim0)1(lnxh即xx1)(ln0limhh1x1xx10limh)1(lnxhhxelnx1x1xhhh1lim0或四则运算求导法则 定理定理1.具有导数都在及函数xxvvxuu)()()()(xvxu及的和、 差、 积、 商 (除分母为 0的点外) 都在点 x 可导, 且)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和例题 .)0)(xv

15、此法则可推广到任意有限项的情形.证证: 设, 则vuvu )() 1 ()()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh )()( )()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxu故结论成立.wvuwvu)( ,例如例如,(2)vuvuvu )(证证: 设, )()()(xvxuxf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故结论成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxv推论推论: )() 1uc

16、)()2wvuuc wvuwvuwvu )log()3xaaxlnlnaxln1( c为常数 )()( lim0 xvhxvh)()()()()()(xvhxvhxvxuxvhxuh)()(xvxu(3)2vvuvuvu证证: 设)(xf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hh lim0,)()(xvxu)()(hxvhxu)()(xvxuhhxu )( )(xu)(xvhhxv )( )(xu)(xv故结论成立.)()()()()(2xvxvxuxvxu推论推论:2vvcvc( c为常数 )xxxxysin4523 . 123 ;cos45492xxxy xxy3 . 22 ;3ln3

17、322xxxxy xxyxcose . 32 xxyxcose2 xxxcose2 ;sine2xxx 例4. 求下列函数的导数 )(cscxxsin1x2sin)(sinxx2sin例5. 求证,sec)(tan2xx证证: .cotcsc)(cscxxxxxxcossin)(tan x2cosxx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc类似可证:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx作业作业p125 第5题中选2小题p125 第6题中选一小题在点 x 可导, lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd2

18、.1.3 复合函数求导法则复合函数求导法则定理定理.)(xgu )(ufy 在点)(xgu 可导复合函数 fy )(xg且)()(ddxgufxy在点 x 可导,证证:)(ufy 在点 u 可导, 故)(lim0ufuyuuuufy)(（当 时 )0u0故有)()(xgufuy)(uf)0()(xxuxuufxy例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.推广推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.)1(102的导数的导数求函数求函数 xy解)1()1(10dd292 xxxyxx2)1(10

19、92 .)1(2092 xx解求求函函数数21xy 的的导导数数。 xxy21212 .12xx 例2.例1.例3. 求下列导数:. )(sh)3(;)()2(;)() 1 (xxxx解: (1)()(lnxexxeln)ln(xxx1x)()(lnxxxexxxeln)ln(xxxx)1ln(x(2)(3)2)(shxxeex2 xexexch说明: 类似可得;sh)(chxxaxxealn)(thx)(xaxxxchshth2shxxeex;ch12x.lnaax例4. 设, )cos(lnxey 求.ddxy解:xydd)cos(1xe)sin(xexe)tan(xxee思考: 若)(u

20、f 存在 , 如何求)cos(lnxef的导数?xfdd)cos(ln(xef ) )cos(lnxe)cos(ln)(xeuuf这两个记号含义不同例5. 设, )1(ln2xxy.y求解: y112xx11212xx2112x作业作业p126 第7题中选3小题p127 第8题 )( xf2.2.4 2.2.4 反函数和隐函数的导数反函数和隐函数的导数 定理定理. y 的某邻域内单调可导, 证证: 在 x 处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知 因此,)()(1的反函数为设yfxxfy在)(1yf0 )(1yf且 ddxy或,0 x)()(xfxxfy,0 xyyx,00yx时必有xy

21、xfx0lim)( lim0yyxyxdd 1 )(1yf11 )(1yf111例1. 求反三角函数及指数函数的导数.解: 1) 设,arcsin xy 则,sin yx , )2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x类似可求得?)(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211xxxarcsin2arccos利用0cosy, 则2) 设, )1,0(aaayx则),0(,logyyxa)(xa)(log1ya 1ayln1aylnaaxlnxxe)e( )arcsin(x211x )arccos(x211x )arctan(x211

22、x )cotarc(x211xaaaxxln)(xxe)e(特别当ea时,小结小结:常数和基本初等函数的导数 )(c0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctan x211x )cot(arcx211x例2. 求解:,1111xxxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2( x112xx例3. 设),0(

23、 aaaxyxaaaxa解:1aaaxayaaaxln1axaaaxaln求.yaaxln例4. 求解:,1arctan2sin2xeyx.y1arctan) (2xy) (2sin xe2sin xe2cosxx221x1212xx2x21arctan2x2sin xe2cos x2sin xe112xx关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导*例5. 设求,1111ln411arctan21222xxxy.y解: y22)1(1121x21xx) 11ln() 11ln(22xx111412x21xx1112x21xx2121xx221x21x231)2(1xxx31xy隐函数的导数若由

24、方程0),(yxf可确定 y 是 x 的函数 ,由)(xfy 表示的函数 , 称为显函数显函数 .例如例如,013 yx可确定显函数03275xxyy可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .函数为隐函数隐函数 .则称此隐函数求导方法求导方法: 0),(yxf0),(ddyxfx两边对 x 求导(含导数 的方程)y例6. 求由方程03275xxyy)(xyy 在x =0 处的导数.0ddxxy解: 方程两边对x 求导)32(dd75xxyyx得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因x=0时y =0, 故210ddxxy0确定的隐函数例7. 求椭圆191622

25、yx在点)3,2(23处的切线方程.解解: 椭圆方程两边对 x 求导8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程为323y43)2( x即03843 yx例8. 求)0(sinxxyx的导数 . 解: 两边取对数 , 化为隐式xxylnsinln两边对 x 求导yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx对数求导法对数求导法 1) 对幂指函数vuy 可用对数求导法求导 :uvylnlnyy1uv lnuvu)ln(uvuuvuyvvuuyvlnuuvv1说明说明: :按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:2) 有些显函数用对数求导法求导很

26、方便 .例如例如,)1,0,0(babaaxxbbaybax两边取对数yln两边对 x 求导yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb又如又如, )4)(3()2)(1(xxxxyuuu )ln(21lny对 x 求导21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx两边取对数2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41x设 f 可导，求下列函数的导数：22)(sinxxfy 1.)(exfy )1(xfy 2.3.解 1.22)(sin2 xxfy .)(sin)(sin)(sincos22xxfxxfxfx )1()1( xxfy)(e)(xfyxf 2.3. )1(12xfx .e)()(xfxf )(sin2xf)(sin xf xcos x2 抽象函数求导例9. 内容小结内容小结1. 求导公式及求导法则注意注意: 1),)(vuuvvuvu2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 .2. 隐函数求导法则直接对方程两边求导3. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数1. 设, )()()(