2采样系统复习傅里叶级数与傅里叶变换

1、1傅里叶级数与变换傅里叶级数与变换内容提要内容提要傅里叶级数和傅里叶级数的性质傅里叶级数和傅里叶级数的性质傅里叶变换和傅里叶变换的性质傅里叶变换和傅里叶变换的性质周期信号和非周期信号的频谱分析周期信号和非周期信号的频谱分析卷积和卷积定理卷积和卷积定理抽样信号的傅里叶变换和抽样定理抽样信号的傅里叶变换和抽样定理2傅里叶生平傅里叶生平 1768年生于法国年生于法国 1807年提出年提出“任何周任何周期信号都可用正弦函期信号都可用正弦函数级数表示数级数表示” 1829年狄里赫利第一年狄里赫利第一个给出收敛条件个给出收敛条件 拉格朗日反对发表拉格朗日反对发表 1822年首次发表在年首次发表在“热的分析

2、理论热的分析理论” 一书中一书中3傅立叶的两个最主要的贡献傅立叶的两个最主要的贡献 “周期信号都可表示为谐波关系的正周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和弦信号的加权和”傅里叶的第傅里叶的第一个主要论点一个主要论点 “非周期信号都可用正弦信号的加非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示权积分表示”傅里叶的第二个主要论点傅里叶的第二个主要论点4 频域分析：傅里叶变换，自变量频域分析：傅里叶变换，自变量为为 j 复频域分析：拉氏变换复频域分析：拉氏变换, 自变量为自变量为 s = +j z域分析：域分析：z 变换，自变量为变换，自变量为z tjsteez)(一 变换域分析5 周期信号可展开成正

3、交函数线性组合的周期信号可展开成正交函数线性组合的无穷级数：无穷级数：. 三角函数式的三角函数式的 傅立里叶级数傅立里叶级数 cosn 1t, sinn 1t. 复指数函数式的傅里叶级数复指数函数式的傅里叶级数 e j n 1t 二二 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析61 三角函数形式的傅里叶级数三角函数形式的傅里叶级数: 112t)sincos()(11101tnbtnaatfnnn直流分量基波分量n =1 谐波分量n11n7100).(110tttdttfta100.cos).(211tttndttntftadttntftbtttn.sin).(210011直流系数余弦分量系数正弦分量

4、系数8狄利赫利条件：狄利赫利条件： 在一个周期内只有有限个间断点；在一个周期内只有有限个间断点； 在一个周期内有有限个极值点；在一个周期内有有限个极值点； 在一个周期内函数绝对可积，即在一个周期内函数绝对可积，即 一般周期信号都满足这些条件一般周期信号都满足这些条件. 010( ).tttf t dt 9三角函数是正交函数)2 . 3(0.sin.cos11100dttmtnttt)3 . 3()()(0sinsin001211nmnmtdtmtntttt) 3 . 3()()(0coscos001211nmnmtdtmtntttt10周期信号的另一种三角函数正交集表示011( )()nnnf

5、 tcc cos nt)sin(.)(110nnntnddtf11比较几种系数的关系000dca22nnnnbadcnnnbatgnnnbtga cossinnnnnnacdsincosnnnnnbcd 12 周期函数的频谱：周期函数的频谱： 周期信号的谱线只出现在基波频率的整数倍的频率处。直观看出：各分量的大小，各分量的频移， cn 11n)(n11n132 指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数 由前知 由欧拉公式 其中)sincos()(11101tnbtnaatfnnntjnnenftf1)()(1)(21)(1nnjbanf)(21)(1nnjbanf0)0(af引入了负频率14指

6、数形式的傅里叶级数的系数nfnf)(11001)(11ttttjnndtetftf0000adcf)(21nnjnnjbaeffn)(21nnjnnjbaeffn两种傅氏级数的系数间的关系15周期复指数信号的频谱图 nnfnf1111n1n1n00016两种傅氏级数的系数间的关系22212121nnnnnnbadcffnnncffnnnaffnnnbffj)(nnnnnnffbadc42222173 周期信号的功率特性 p为周期信号的平均功率 符合帕斯瓦尔定理100).(1)(212tttdttfttfp12nnfp184 对称信号的傅里叶级数三种对称： 偶函数 ：f (t )=f (-t)

7、奇函数 ：f (t )= - f (-t) 奇谐函数 ：半周期对称 任意周期函数有： 偶函数项 奇函数项)2()(1nttftf)sincos()(11101tnbtnaatfnnn19周期偶函数只含直流和 其中a是实数 bn=0 fn是实数tnaatfnn110cos)(tnan1cos100.cos)(411tttndttntfta2nnnafftjnnenftf1)()(120例如:周期三角函数是偶函数.)5cos2513cos91(cos42)(1112ttteetfef(t)t1/2-t1/2t21周期奇函数只含正弦项tnbtfnn11sin)(1011.sin).(4tndttnt

8、ftb000naafn为虚数2nnnbffj 22例如周期锯齿波是奇函数.)3sin312sin21(sin)(111tttetfe/2-e/2t1/2-t1/2f(t)t023奇谐函数 ：)2()(1ttftfl沿时间轴移半个周期；l 反转；l 波形不变；l半周期对称24奇谐函数 的波形： f(t)t1/2-t1/20t25奇谐函数的傅氏级数奇谐函数的偶次谐波的系数为0dtttftat.cos)(4201111dtttftbt.sin)(4201111a20 , b202nnnjbaf26例：利用傅立叶级数的对称性判断所含有的频率分量周期偶函数，奇谐函数，只含基波和奇次谐波的余弦分量周期奇函

9、数，奇谐函数，只含基波和奇次次谐波的正弦分量27含有直流分量和正弦分量只含有正弦分量含有直流分量和余弦分量28三 典型周期信号的频谱周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号周期锯齿脉冲信号周期锯齿脉冲信号周期三角脉冲信号周期三角脉冲信号周期半波脉冲信号周期半波脉冲信号周期全波脉冲信号周期全波脉冲信号291 周期矩形脉冲信号的频谱周期矩形脉冲信号的频谱30ntjnneftf1)(2)2sin()()(11112/2/11221111nnteeejntedteetfjnjntjnn)(1tnsa)2(0)2()(1ttetf31n242422112t)(,1110tnsateftefn3233 频谱分析表

10、明 离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期越大，谱线越密。周期越大，谱线越密。 各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比，与周期成反比。正比，与周期成反比。 各谱线的幅度按各谱线的幅度按 包络线变化。过包络线变化。过零点为：零点为： 主要能量在第一过零点内。主带宽度为：主要能量在第一过零点内。主带宽度为：)(1tnsam22b34周期矩形的频谱变化规律： 若t不变，在改变的情况 若不变，在改变t时的情况22112t1235对称方波是周期矩形的特例.5cos513cos31cos2)(111tttetf)(11tnsatefnnt

11、jnneftf1)(36对称方波的频谱37对称方波的频谱变化规律113151513113nnana)(tx1738ntjnneftf1)(dtetftftjnn2211)(1傅立叶级数傅立叶级数的系数t1 信号的周期脉宽基波频率1傅立叶级数小结傅立叶级数小结39四 非周期信号的频谱分析当周期信号的周期t1无限大时,就演变成了非周期信号的单脉冲信号1tdt02111n频率也变成连续变量40频谱演变的定性观察频谱演变的定性观察)(1nf11)(nf)(1nf22112t141从周期信号从周期信号fs推导推导非周期的的ftntjnenftf1).()(1dtetftnftttjn.).(1)(212

12、1111dtetfnftjn.).(2).(111( )( ).j tff t edt42傅立叶的逆变换傅立叶的逆变换ntjnenftf11).()(1111.)()(tjnnenftf)(.2)(111neftjnndnnt)(01111n)()(1fnfdeftftj. )(21)(43三。从物理意义来讨论三。从物理意义来讨论ft (a) f()是一个密度函数的概念是一个密度函数的概念 (b) f()是一个连续谱是一个连续谱 (c) f()包含了从零到无限高包含了从零到无限高 频的所有频率分量频的所有频率分量 (d) 各频率分量的频率不成谐波各频率分量的频率不成谐波 关系关系44傅立叶变换

13、一般为复数ft一般为复函数)()()(jeffdefdeftftjtj)(2121)()()(若f(t)为实数，则幅频为偶函数,相频为奇函数dtftf)(cos()()(2145傅立叶变换存在的充分条件dttf)(46 单边指数信号 双边指数信号 矩形脉冲信号 符号函数 冲激函数信号 冲激偶函数信号 阶跃函数信号四 典型非周期信号的频谱47 信号表达式 幅频 相频)0(0)0()(ttetft)0(1)()(jdtetfftj221)(f)()(arctg单边指数信号4849)()(tetft222)(f0)( f(t)0t0双边指数信号5051)(0)()(22ttetf)()sin()sin()(222222/2/saeedteefetj)()(2saef)()(0)()1(4)12(2)12(24nnnn矩形脉冲信号5253)0(1)0(1)sgn()(ttttf).sgn(lim)(lim)(010taaaettftfjajffaa22lim)(lim)(220102)(f) 0() 0()(22符