复变函数的基本概念及运算

1、第第1章复变函数章复变函数本章内容提要本章内容提要iyxz)sin(cosiz3 指数式指数式iez 2 三角式三角式 1 代数式代数式 xyz(x,y)或(,)复平面一一 复变函数积分定义复变函数积分定义二二 复数的几何意义复数的几何意义欧拉公式的证明欧拉公式的证明三三 复数的四则运算复数的四则运算采用指数表示可方便乘除运算采用指数表示可方便乘除运算四四 乘方、方根乘方、方根五五 共轭复数共轭复数000121222)!12()!2()(!1nkkkkkknikikiine22100( 1)( 1)(2 )!(21)!kkkkkkikkcossini一一 基本初等函数的定义基本初等函数的定义一

2、一 基本初等函数的定义基本初等函数的定义一一 基本初等函数的定义基本初等函数的定义二二 复变函数的定义复变函数的定义三三 邻域、内点、外点、境界点邻域、内点、外点、境界点三三 区域、闭区间、单连域或复连域区域、闭区间、单连域或复连域三三 区域、闭区间、单连域或复连域区域、闭区间、单连域或复连域四四 复变函数极限复变函数极限一一 导数的定义导数的定义二二 复函数可导的必要条件复函数可导的必要条件二二 复函数可导的必要条件复函数可导的必要条件1 直角坐标系的柯西直角坐标系的柯西黎曼方程黎曼方程 xyxivyxuyxxivyxxuzwxz),(),(),(),(limlim00 xyxvyxxvix

3、yxuyxxux),(),(),(),(lim0 xvixu二二 复函数可导的必要条件复函数可导的必要条件1 直角坐标系的柯西直角坐标系的柯西黎曼方程黎曼方程 yiyxivyxuyyxivyyxuzwyz),(),(),(),(limlim00yyxuyyxuiyyxvyyxvy),(),(),(),(lim0yuiyv二二 复函数可导的必要条件复函数可导的必要条件1 直角坐标系的柯西直角坐标系的柯西黎曼方程黎曼方程 二二 复函数可导的必要条件复函数可导的必要条件2 极坐标系的柯西极坐标系的柯西黎曼方程黎曼方程 izeivuivuzw)(),(),(),(),(limlim00ixevviuu

4、),(),(),(),(lim0)(viuei二二 复函数可导的必要条件复函数可导的必要条件2 极坐标系的柯西极坐标系的柯西黎曼方程黎曼方程 izeiivuivuzw),(),(),(),(limlim00),(),(),(),(lim0uuivvei)(uivei三三 复函数可导的充分条件复函数可导的充分条件三三 复函数可导的充分条件复函数可导的充分条件三三 复函数可导的充分条件复函数可导的充分条件四四 求导规则及初等函数的导数都与实变求导规则及初等函数的导数都与实变函数的相应公式一致函数的相应公式一致四四 求导规则及初等函数的导数都与实变求导规则及初等函数的导数都与实变函数的相应公式一致函

5、数的相应公式一致一一 解析函数的定义解析函数的定义二二 解析函数的性质解析函数的性质二二 解析函数的性质解析函数的性质2sin2)cos1 (cos),(22yxxyxv2cos212cos21211vu2sin22sin212vu解解：方法一：方法一dddududu2sin22cos21)2cos(22cos22cos2ddd二二 解析函数的性质解析函数的性质解解：方法一：方法一2cos(1 cos )cos2uccccyxx222sin22cos2)(iczfczci2)2sin2(cos2二二 解析函数的性质解析函数的性质解解：方法二：方法二2sin2),(yxviieievivdzdf

6、2sin2122cos2121)1(zdzdzeeiii22121)2sin2(cos2122( )2222 (cossin)22iif zzcececiccyxxccu22)cos1 (2cos2二二 解析函数的性质解析函数的性质1),(),(cyyxxuyxu0),(),(yxuyyxxuu0)()(jdyidxjyuixudyyudxxuuxya(x,y)b(x+x,y+y)u(x,y)=c1曲线二二 解析函数的性质解析函数的性质xya(x,y)b(x+x,y+y)u(x,y)=c1曲线二二 解析函数的性质解析函数的性质0)()(xuyuyuxuyvyuxvxunnvuxya(x,y)b(x