第2讲 系统的数学模型2名师优质资料

1、三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院 控制工程基础控制工程基础basis of control engineering 任课教师：李建民任课教师：李建民电电 话：话：1534518343915345183439教学方式：讲授为主教学方式：讲授为主学习方式：听课学习方式：听课+ +自学自学三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 教学要求：（教材第二章）教学要求：（教材第二章）主要内容：主要内容：laplace变换；变换；微分方程模型；微分方程模型；系统模系统模型的线性化型的线性化；传递函数模型、框图和信号流图模；传递函数模型、框图和信号流图模型及其

2、化简。型及其化简。基本要求：基本要求：掌握控制模型建立、线性化、化简方掌握控制模型建立、线性化、化简方法。法。预期收获：见教材第预期收获：见教材第30页页三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院2.1 引引 言言控制控制是使是使被控对象被控对象按照人们按照人们预定方式预定方式工作工作控制目的：控制目的：y(t)y(t)r(t)r(t)控制器被控对象预期输出r(t)实际输出y(t)比较器测量装置误差e(t)控制量u(t)被测变量测量值控制要求：控制要求：快、准、稳快、准、稳三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院2.1 引引 言言比较器：比较器：减法器（负反馈）；加法器（正反馈）减法器（负反馈）

3、；加法器（正反馈）控制器被控对象预期输出r(t)实际输出y(t)误差e(t)控制量u(t)+-测量装置：测量装置：测量测量系统的输出系统的输出y(t)y(t)，用于反馈。用于反馈。y(t)e(t)=r(t)-y(t)研究控制系统，要从研究被控对象入手研究控制系统，要从研究被控对象入手三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院2.1 引引 言言被控对象被控对象: 有什么共同的特点？有什么共同的特点？三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院2.1 引引 言言被控对象被控对象: 有什么共同的特点？有什么共同的特点？三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院2.1 引引 言言 数学上怎么来描述数学上怎么来

4、描述运动运动呢？呢？ 22,dx td x tx tx tx tdtdt 动者：变化也。动者：变化也。数学上用微分来数学上用微分来描述运动描述运动 ,x ts tx tv tx ta t位置位置速度速度加速度加速度例如：例如：三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院2.1 引引 言言被控对象被控对象的描述：的描述： 微分方程（微分方程（maxwellmaxwell）被控被控对象对象输出x(t)输入u(t) 微分方程及其解法的理论微分方程及其解法的理论是整个是整个控制工程理论的基础。控制工程理论的基础。三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院2.2 拉普拉斯变换拉普拉斯变换本讲主要授课内容：本讲

5、主要授课内容：1.微分方程解的思路微分方程解的思路2.拉普拉斯变换定义拉普拉斯变换定义3.常见函数的拉普拉斯变换常见函数的拉普拉斯变换4.拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质5.拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院2.2 拉普拉斯变换及微分方程的解拉普拉斯变换及微分方程的解1.1.微分方程解的思路（微分方程解的思路（ laplacelaplace的研究的研究 ）被控被控对象对象 x tv输出x(t)输入u(t) 0 x txv t匀速运动方程，即匀速运动方程，即（1）设设x(t)x(t)表示位置，则表示位置，则那么，系统的输出x(t)为：其中其中为常数。为常数。三江

6、学院机械工程学院三江学院机械工程学院2.2 拉普拉斯变换及微分方程的解拉普拉斯变换及微分方程的解对于匀速运动：对于匀速运动：解：方程两边同时积分解：方程两边同时积分 00ttxdvd 00 x txv tx txv t 三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院2.2 拉普拉斯变换及微分方程的解拉普拉斯变换及微分方程的解被控被控对象对象 x ta输出x(t)输入u(t) 21200 x txxtat其中，其中， 为常数。则，匀加速运动方程为：为常数。则，匀加速运动方程为：（2）仍设仍设x(t)x(t)表示位置，当表示位置，当三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院2.2 拉普拉斯变换及微分方程的

7、解拉普拉斯变换及微分方程的解对于匀加速运动：对于匀加速运动：解：解：方程两边同时积分方程两边同时积分对得到的方程，再次积分对得到的方程，再次积分 x taa为常数 000ttxdadx txa t 00212000ttxdxadx txxtat三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院2.2 拉普拉斯变换及微分方程的解拉普拉斯变换及微分方程的解 0 x tx t 0tx txe一阶微分方程一阶微分方程（3）我们很容易得到它的解：我们很容易得到它的解：三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院2.2 拉普拉斯变换及微分方程的解拉普拉斯变换及微分方程的解解：构造法解：构造法假设假设x(0)=1，令，令

8、 0 x tx t 2311112!3!nx tttttn 2311112!3!tnx tettttn 2311112!3!nx tttttn 显然：显然：x(t)看成是函数看成是函数et的定义：的定义：三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院2.2 拉普拉斯变换及微分方程的解拉普拉斯变换及微分方程的解et的物理含义是微分方程的解，的物理含义是微分方程的解，无理数无理数e可可以看成是我们这个宇宙的本质参数。以看成是我们这个宇宙的本质参数。2311112!3!tnettttn 1111 12!3!en 三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院2.2 拉普拉斯变换及微分方程的解拉普拉斯变换及微分方

9、程的解 0 y ty t 0 sin0 cosy tytyt二阶微分方程二阶微分方程（4）很容易得到它的解：很容易得到它的解：三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院2.2 拉普拉斯变换及微分方程的解拉普拉斯变换及微分方程的解 20y ty ty t 3330yty ty ty t那么，采用构造法则非常困难，需要一那么，采用构造法则非常困难，需要一种求解微分方程的一般性解法。种求解微分方程的一般性解法。对于求解一般微分方程，如：对于求解一般微分方程，如：.三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院2.2 拉普拉斯变换及微分方程的解拉普拉斯变换及微分方程的解解：解： 30 x tx t显然，对于微

10、分方程同时包含显然，对于微分方程同时包含x(t)x(t)及及x(t)x(t)的微分项时，采用的微分项时，采用 形式积分，形式积分，将形成嵌套，将形成嵌套，无法正确解出无法正确解出x(t)x(t)。 0txd ddxdxttt 00003三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院2.2 拉普拉斯变换及微分方程的解拉普拉斯变换及微分方程的解显然，问题并非出在积分上，而在于积分的显然，问题并非出在积分上，而在于积分的上、上、下限下限上，我们考虑下面的积分形式：上，我们考虑下面的积分形式： 03 txtx ddxdxttt 00003 ddxdx00003三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院2.2

11、拉普拉斯变换及微分方程的解拉普拉斯变换及微分方程的解那么，那么，x(t)是什么呢？是什么呢？523tteet tttt , , sin , cos , 我们更关心上述函数在我们更关心上述函数在0区间上区间上的积分：的积分：显然，显然，x(t)是一些连续的时间函数，例如：是一些连续的时间函数，例如：三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院2.2 拉普拉斯变换及微分方程的解拉普拉斯变换及微分方程的解解：先看指数函数的积分：解：先看指数函数的积分： 00011e de 55001110555ede 显然，对于指数函数而言显然，对于指数函数而言x(t)x(t)与其积分是一一与其积分是一一映射映射00a

12、tateeda 三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院2.2 拉普拉斯变换及微分方程的解拉普拉斯变换及微分方程的解解：再看解：再看02030ddd 00sincosdd 23,sin ,cost tttt不存在我们的目的是建立我们的目的是建立x(t)与其积分之间的一一与其积分之间的一一映射映射，显，显然单纯采用然单纯采用 形式，难于达到目的。怎么办？形式，难于达到目的。怎么办？ 0 xd 三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院2.2 拉普拉斯变换及微分方程的解拉普拉斯变换及微分方程的解 laplace经过经过7年研究得到重大发现：年研究得到重大发现：x(t)与其与其积分积分 之间是一一映射

13、的。而参数之间是一一映射的。而参数s的的作用仅仅是使上述积分收敛。作用仅仅是使上述积分收敛。例如：例如：201seds 0sexd 2302seds 3406seds 220sinseds 220cossseds 三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院2.2 拉普拉斯变换及微分方程的解拉普拉斯变换及微分方程的解利用这个发现，就能解线性微分方程了利用这个发现，就能解线性微分方程了解：解： 03 txtx 30*stststx t ex t ee 00030ststx t e dtx t e dtdt三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院 0stf sl f tf t edt函数函数f(t)f

14、(t)的拉氏变换的拉氏变换当当t0, f(t)=0拉氏积分运算符拉氏积分运算符复变量复变量2.2 拉普拉斯变换及微分方程的解拉普拉斯变换及微分方程的解2.2.拉普拉斯变换定义拉普拉斯变换定义三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院 单边、单边、线性线性变换、可逆、不追求数学细变换、可逆、不追求数学细节，如收敛条件等。节，如收敛条件等。一一映射一一映射2.2 拉普拉斯变换及微分方程的解拉普拉斯变换及微分方程的解 sf tf 可以证明：可以证明：f(t)和和f(s)将形成一一映射将形成一一映射三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院那么参数那么参数s s是什么？是什么？ f(s)f(s)又是什么呢

15、？又是什么呢？三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院2.2 拉普拉斯变换及微分方程的解拉普拉斯变换及微分方程的解(1) s是复变量：是复变量： 在求取拉普拉斯变换时，在求取拉普拉斯变换时，s的唯一作用是的唯一作用是使拉普拉斯积分收敛，可以看成常数。使拉普拉斯积分收敛，可以看成常数。js 0sx sl x txed 1si 例如：例如：三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院2 拉普拉斯变换拉普拉斯变换(2) f(s)是复函数：是复函数：例如：例如： sjfsfsfyx 1,11122112555f ssisifiii 三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院当当 时，有时，有2 拉普拉斯变换

16、拉普拉斯变换(3) f(t)是实函数，且满足：是实函数，且满足：0t 0f t 三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院2 拉普拉斯变换拉普拉斯变换补充一个定理：尤拉定理补充一个定理：尤拉定理尤拉定理可以用泰勒展开加以证明尤拉定理可以用泰勒展开加以证明cossin ,cossin11cos, sin22jjjjjjejejeeeej三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院尤拉定理证明尤拉定理证明有：有：所以：所以：而：而：改写改写所以所以23123!nxxxxexn cossinjej 3572461357246sin,cos! 2345671234567!jejjjj 24635712463

17、57!jej 三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院利用拉普拉斯变换解微分方程思路利用拉普拉斯变换解微分方程思路解：解： 03 txtx 03ltxltxl 030sx sxx s 3003txx sx txes 对微分方程每一项进行拉普拉斯变换：对微分方程每一项进行拉普拉斯变换：得到关于得到关于x(s)的代数方程：的代数方程：解出解出x(s),再进行拉普拉斯逆变换，得到再进行拉普拉斯逆变换，得到x(t)三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院3 常见函数的拉普拉斯变换常见函数的拉普拉斯变换1) 指数函数指数函数2) 阶跃函数阶跃函数 (t)3) 斜坡函数斜坡函数4) 正弦函数正弦函数5)

18、脉冲函数脉冲函数2.2 拉普拉斯变换及微分方程的解拉普拉斯变换及微分方程的解ate1tsint t三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院1) 指数函数指数函数3 常见函数的拉普拉斯变换常见函数的拉普拉斯变换 0,0, 0taettfat asaeasadtaedteaetfltastasstat000a0t三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院2) 阶跃函数阶跃函数3 常见函数的拉普拉斯变换常见函数的拉普拉斯变换 0,0, 0tattf al ast0a 0, 1001ttt单位阶单位阶跃函数跃函数 11ls三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院3 常见函数的拉普拉斯变换常见函数的拉普拉

19、斯变换 00ataaaal al aesast0a 可以把阶跃函数看成是a=0的指数函数0ataaea三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院3) 斜坡函数斜坡函数3 常见函数的拉普拉斯变换常见函数的拉普拉斯变换 0,0, 0tatttf 2satflt0at三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院3) 斜坡函数的拉普拉斯变换斜坡函数的拉普拉斯变换3 常见函数的拉普拉斯变换常见函数的拉普拉斯变换stststd teestedt(1)(1)把把s s看成常数，则考虑下面函数微分看成常数，则考虑下面函数微分(2)(2)对上式积分，得对上式积分，得000stststd tedte dtste dtd

20、t(3)(3)整理，得整理，得 20110sttesl tl tss三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院4) 正弦函数正弦函数3 常见函数的拉普拉斯变换常见函数的拉普拉斯变换 0,sin0, 0ttattf22sinsatal22cossastalt0a三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院4) 正弦函数的拉普拉斯变换正弦函数的拉普拉斯变换3 常见函数的拉普拉斯变换常见函数的拉普拉斯变换1122sin,cosj tj tj tj tteeteej 22111122sjsjltjsjsjjsjsjs sin 关键是利用尤拉定理：关键是利用尤拉定理： 22111122sjsjsltsjsjs

21、jsjs cos三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院5) 脉冲函数脉冲函数3 常见函数的拉普拉斯变换常见函数的拉普拉斯变换 0,0,0ttt 1tl 1dt 0t f t dtf0 (t)(t)函数不是物理可实现的函数不是物理可实现的三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院1) f(t)与与 相乘相乘4 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质 asftfelatate22sinastelat22cosasastelat0衰减正弦函数衰减余弦函数三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院4 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质 asftfelat证明：由证明：由laplace变换定义，有变换定义，有 0

22、stfslftft edt所以：所以： 00atatsts a tl ef tef t edtf t edtf sa 三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院2) 实微分定理实微分定理4 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质 f t f s一一映射实复 ?l f t 0l f tsf sf 三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院函数函数f f(t)(t)的微分的拉普拉斯变换为：的微分的拉普拉斯变换为：式中式中f f(0)(0)是是f f(t)(t)在在t=0t=0时的值。时的值。4 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质 0fssftfdtdl 0000222fsfsfsffssfstfdtdl 00

23、001221nnnnnnnfsffsfssfstfdtdl三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院实微分定理证明：实微分定理证明：(1)(1)把把s s看成常数，考虑下面函数的微分：看成常数，考虑下面函数的微分：4 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质 stststdf t ef t esf t edt (2)(2)对上式积分，得：对上式积分，得： 0000ststststdf t edtf t edtsf t edtdtf t el f tsf s所以，有所以，有 0l f tsf sf 三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院利用拉普拉斯变换解微分方程思路利用拉普拉斯变换解微分方程思路解：解：

24、 03 txtx 03ltxltxl 030sx sxx s 3003txx sx txes 对微分方程每一项进行拉普拉斯变换：对微分方程每一项进行拉普拉斯变换：得到关于得到关于x(s)的代数方程：的代数方程：解出解出x(s),再进行拉普拉斯逆变换，得到再进行拉普拉斯逆变换，得到x(t)三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院3) 终值定理终值定理若若f(t)的拉普拉斯变换为的拉普拉斯变换为f(s)并且并且 存在存在，则，则4 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质 tftlim ssftfst0limlim三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院 终值定理证明终值定理证明 00stf t edts

25、f sf ssftfst0limlim (1)由实微分定理，有由实微分定理，有 (2)把把s看成常数，并令其趋近于看成常数，并令其趋近于0，有，有 00lim0lim0tsf tf tfsf sf (3)所以，有所以，有三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院例例1 1：已知时间函数：已知时间函数f(t)f(t)的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换f(s)f(s)为为 11sssf试求 的值 tftlim4 4 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质 001limlimlim11tssf tsf sss s三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院4) 初值定理初值定理 如果如果f(t)的拉普拉斯变换为的拉普

26、拉斯变换为f(s)，并且并且 存在，则存在，则4 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质 ssfslim 0limsfsf s三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院 初值定理证明初值定理证明 00stf t edtsf sf 0limsfsf s (1)由实微分定理，有由实微分定理，有 (2)把把s看成常数，并令其趋近于看成常数，并令其趋近于 ，有，有 0lim0ssf sf (3)所以，有所以，有三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院例例2 2：已知时间函数：已知时间函数f(t)f(t)的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换f(s)f(s)为为 11sssf试求 的值 0limtf t4 4 拉普拉斯变

27、换性质拉普拉斯变换性质 01limlimlim01tssf tsf sss s三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院5) 复微分定理复微分定理4 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质 f t f s一一映射实复 ?dfslds sfdsdttfl三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院复微分定理复微分定理: :如果如果f(t)f(t)是可以进行拉普拉是可以进行拉普拉斯变换的话，则除了在斯变换的话，则除了在f(s)f(s)的极点以外，的极点以外，有有4 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质 sfdsdttfl式中 。 tflsf三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院复微分定理证明复微分定理证明: :

28、4 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质 0stf sf t edt（2 2）上式两边，对）上式两边，对s s求微分，有求微分，有 0stdf stf t edtds （1 1）有拉普拉斯变换，有）有拉普拉斯变换，有: :（3 3）即）即 dl tf tf sds 三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院复微分定理应用：复微分定理应用：4 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质 11ls1 1）2 2） 211dl tds ss 3 3）22312dl tds ss 1!nnnl ts 4 4）三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院例例3 3： 求下面函数的拉普拉斯变换：求下面函数的拉普拉斯变换：4

29、拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质 3tf tte 2321,13attl tl f t ef sasl tes解法一：解法一：三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院例例3 3： 求下面函数的拉普拉斯变换：求下面函数的拉普拉斯变换：4 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质 3tf tte 3321,31133ttdf sl el tf tsdsdl teds ss 解法二解法二三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院6) 卷积积分卷积积分（仅要求了解）（仅要求了解）下列积分，称为卷积积分下列积分，称为卷积积分4 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质 tdftf021则：则： 12120tlf tfdf

30、 s f s 三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院 对于任何时间连续的时间函数来对于任何时间连续的时间函数来说，它与拉普拉斯变换之间保持唯一说，它与拉普拉斯变换之间保持唯一的对应关系。的对应关系。 2.2 拉普拉斯变换及微分方程的解拉普拉斯变换及微分方程的解一一对应f(t) f(s)三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 sasbsf sfsfsfsfn21 sflsflsflsfln121111 部分分式展开法：部分分式展开法：把把f(s)拆解成很多简拆解成很多简单项的和，而简单项的拉普拉斯逆变换容单项的和，而简单项的拉普拉斯逆变换容易得到易得到三江学院

31、机械工程学院三江学院机械工程学院5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换1） 只包含只包含不同极点的不同极点的f(s)的部分分式展开的部分分式展开例例4：求下列函数的拉普拉斯反变换：求下列函数的拉普拉斯反变换 11sssf12111111aas sssss 1tf te 三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换部分分式展开系数求法：部分分式展开系数求法：1212112121111111,1asa saasaaas ssss ss saa 系数求法一：系数求法一：对应系数相对应系数相等等这种方法的缺点在于，对于极这种方法的缺点在于，对于极点较多情况，计算复杂，例如点较多情

32、况，计算复杂，例如33531234sss ssss三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换部分分式展开系数求法：部分分式展开系数求法：12111aas sss系数求法二：系数求法二：留数展留数展开开1）两边同时乘以）两边同时乘以s，有，有21111asass ss2）令）令s为为0，有，有 100111ssasf sss s三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换部分分式展开系数求法：部分分式展开系数求法：12111aas sss系数求法二：留数展系数求法二：留数展开开3）两边同时乘以）两边同时乘以s+1，有，有121111ass

33、as ss4）令）令s=-1，有，有 21111111ssasf sss s 三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换例例5：求下列函数的反拉普拉斯变换：求下列函数的反拉普拉斯变换 12233321212aassf sssssss11122233121223321121ssssssassssssassss 22ttf tee三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院对于只包含不同极点的对于只包含不同极点的f(s)的部分分式展开的部分分式展开5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 nnmpppnmpspspszszszsksasbsf 212121, nnpsapsaps

34、asasbsf2211 kkpsksfpsa tpkkkkeapsal 1 tpntptpneaeaeatf 2121三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院例例6：求下列函数的拉普拉斯反变换：求下列函数的拉普拉斯反变换5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 323225975971232ssssssf sssss 如果分子阶如果分子阶次大于分母阶次大于分母阶次，则可以采次，则可以采用用长除法长除法进行进行化简化简2323222232597322772643ssssssssssssss三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院所以：所以：5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 321221212sf sss

35、ssss 222ttf tttee 如果实函数如果实函数f(t)在物理上是可实现的，则其在物理上是可实现的，则其laplace变换变换f(s)分子的阶次分子的阶次必小于必小于分母的分母的阶次阶次三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院例例7：求下列函数的反拉普拉斯变换：求下列函数的反拉普拉斯变换5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 521222 ssssf对于特征根为复数情况，利用衰减正弦函数对于特征根为复数情况，利用衰减正弦函数和衰减余弦函数来进行求逆，则更为简单。和衰减余弦函数来进行求逆，则更为简单。2222sin,cosatats al etl ets as a三江学院机械工程学院三江学院机械工程学院解：解：5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换22222222110212125*225121212ssssssss2222sin,cosatatsal etl etsasa 5sin22cos2ttf tetet三江学院机械工程学院三江