世纪金榜理科数学(广东版)7.6

1、第六节空间直角坐标系、空间向量及其运算考纲考纲考情考情广东五年广东五年0 0考高考指数考高考指数: :1.1.了解空间直角坐标系了解空间直角坐标系, ,会用空间直角坐标表示点的位会用空间直角坐标表示点的位置置2.2.会简单应用空间两点间的距离公式会简单应用空间两点间的距离公式3.3.了解空间向量的概念了解空间向量的概念, ,了解空间向量的基本定理及其了解空间向量的基本定理及其意义意义, ,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示掌握空间向量的正交分解及其坐标表示4.4.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示掌握空间向量的线性运算及其坐标表示5.5.掌握空间向量的数量积及其坐标表示掌握空间向量的数量积及其

2、坐标表示, ,能运用向量的能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直数量积判断向量的共线与垂直五年五年考题考题无单独命题无单独命题考情考情播报播报1.1.以简单几何体为载体以简单几何体为载体, ,进行线线、线面、面面关系的进行线线、线面、面面关系的判断和证明判断和证明, ,一般不单独命题一般不单独命题2.2.试题多以解答题形式出现试题多以解答题形式出现, ,考查学生的运算能力及分考查学生的运算能力及分析问题、解决问题的能力析问题、解决问题的能力【知识梳理【知识梳理】1.1.空间直角坐标系及有关概念空间直角坐标系及有关概念(1)(1)空间直角坐标系空间直角坐标系. .定定义义以空间一点以空间一点o

3、o为原点为原点, ,具具有相同的单位长度有相同的单位长度, ,给定给定正方向正方向, ,建立两两垂直的建立两两垂直的数轴数轴:x:x轴、轴、y y轴、轴、z z轴轴, ,建建立了一个空间直角坐标立了一个空间直角坐标系系_坐标坐标原点原点点点o o坐标轴坐标轴_、_坐标坐标平面平面通过每两通过每两个坐标轴个坐标轴的平面的平面oxyzoxyzx x轴、轴、y y轴轴z z轴轴(2)(2)空间一点空间一点m m的坐标的坐标. .空间一点空间一点m m的坐标可以用有序实数组的坐标可以用有序实数组(x,y,z(x,y,z) )来表示来表示, ,记作记作m(x,y,zm(x,y,z),),其中其中x x叫

4、做点叫做点m m的的_,y_,y叫做点叫做点m m的的_,_,z z叫做点叫做点m m的的_;_;建立了空间直角坐标系建立了空间直角坐标系, ,空间中的点空间中的点m m与有序实数组与有序实数组(x,y,z(x,y,z) )可建立可建立_的关系的关系. .横坐标横坐标纵坐标纵坐标竖坐标竖坐标一一对应一一对应2.2.空间两点间的距离公式、中点公式空间两点间的距离公式、中点公式(1)(1)距离公式距离公式. .设点设点a(xa(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),b(x),b(x2 2,y,y2 2,z,z2 2),),则则|ab|=|ab|=_; ;设点设点p(x,y,zp(x,y,z),)

5、,则与坐标原点则与坐标原点o o之间的距离为之间的距离为|op|=|op|=_._.222121212xxyyzz222xyz(2)(2)中点公式中点公式. .设点设点p(x,y,zp(x,y,z) )为为p p1 1(x(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),p),p2 2(x(x2 2,y,y2 2,z,z2 2) )的中点的中点, , _ _121212xxx,2yyy,2zzz.2则则3.3.空间向量的有关概念空间向量的有关概念名称名称定义定义空间向量空间向量在空间中在空间中, ,具有具有_和和_的量的量单位向量单位向量长度长度( (或模或模) )为为_的向量的向量零向量零向量长度长

6、度( (或模或模) )为为_的向量的向量相等向量相等向量方向方向_且模且模_的向量的向量相反向量相反向量方向方向_且模且模_的向量的向量共线向量共线向量( (或平行向量或平行向量) )表示空间向量的有向线段所在的直线互相表示空间向量的有向线段所在的直线互相_的向量的向量共面向量共面向量平行于平行于_的向量的向量大小大小方向方向1 10 0相同相同相等相等相反相反相等相等平行或重合平行或重合同一个平面同一个平面4.4.空间向量的有关定理空间向量的有关定理(1)(1)共线向量定理共线向量定理: :对空间任意两个向量对空间任意两个向量a, ,b( (b0),),ab的的充要条件是存在实数充要条件是存

7、在实数,使得使得_. .(2)(2)共面向量定理共面向量定理: :如果两个向量如果两个向量a, ,b_,_,那么向量那么向量p与与向量向量a, ,b共面的充要条件是存在共面的充要条件是存在_的有序实数对的有序实数对(x,y(x,y),),使使_. .(3)(3)空间向量基本定理空间向量基本定理: :如果三个向量如果三个向量a, ,b, ,c_,_,那么对那么对空间任一向量空间任一向量p, ,存在有序实数组存在有序实数组x,y,zx,y,z,使得使得_. .其中其中,a, ,b, ,c 叫做空间的一个基底叫做空间的一个基底. .a=b不共线不共线唯一唯一p=x=xa+y+yb不共面不共面p=x=

8、xa+y+yb+z+zc5.5.空间向量的数量积及运算律空间向量的数量积及运算律(1)(1)数量积及相关概念数量积及相关概念. .两向量的夹角两向量的夹角: :已知两个非零向量已知两个非零向量a, ,b, ,在空间任取一点在空间任取一点o,o,作作 = =a, =, =b, ,则则aobaob叫做向量叫做向量a, ,b的夹角的夹角, ,记作记作_,_,其范围是其范围是00,若若 = ,= ,则称则称a与与b_,_,记作记作ab. .两向量的数量积两向量的数量积: :已知空间两个非零向量已知空间两个非零向量a, ,b, ,则则| |a|b|cos|cos 叫做向量叫做向量a, ,b的数量积的数量

9、积, ,即即_. .oaob 2互相垂直互相垂直ab=|=|a|b|cos|cos (2)(2)两个向量数量积的性质及运算律两个向量数量积的性质及运算律向量向量a, ,b的数量积的数量积ab=|=|a|b|cos|cosa, ,b，向量的数，向量的数量积的性质量积的性质向量的数量积满足如下运算律向量的数量积满足如下运算律2_;_;|.a eabaa a|cos,aa e0a b()();_;()_. 交交换换律律分分配配律律a ba ba ba bcb aa ba c6.6.空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算a=(a=(a1 1,a,a2 2,a,a3 3),),b=(b=(b1 1,b,b

10、2 2,b,b3 3)()(a, ,b均为非零向量均为非零向量):):112233a ba ba b0 112233a ba ba b【考点自测【考点自测】1.(1.(思考思考) )给出下列命题给出下列命题: :空间中任意两非零向量空间中任意两非零向量a, ,b共面共面; ;对于任意两个空间向量对于任意两个空间向量a, ,b, ,若若ab=0,=0,则则ab; ;在向量的数量积运算中在向量的数量积运算中( (ab) )c= =a( (bc););对于非零向量对于非零向量b, ,由由ab= =bc, ,则则a= =c; ;两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同两向量夹角的范围与两异面直线所

11、成角的范围相同. .其中正确的是其中正确的是( () )a.a. b. b. c. c. d. d.【解析【解析】选选d.d.正确正确. .由于向量可平移由于向量可平移, ,因此空间任意两向量因此空间任意两向量都可平移到同一起点都可平移到同一起点, ,故空间任意两向量共面故空间任意两向量共面. .错误错误. .若若a与与b是非零向量是非零向量, ,才有才有ab=0=0ab. .错误错误. .因为两个向量的数量积的结果是数量而不是向因为两个向量的数量积的结果是数量而不是向量量,(,(ab) )c=c, ,a( (bc)=)=a, ,故故( (ab) )c与与a( (bc) )不一定相等不一定相等

12、. .错误错误. .根据向量数量积的几何意义根据向量数量积的几何意义, ,ab= =bc说明说明a在在b方向方向上的射影与上的射影与c在在b方向上的射影相等方向上的射影相等, ,而不是而不是a= =c. .错误错误. .两向量夹角的范围是两向量夹角的范围是0,0,两异面直线所成角的范两异面直线所成角的范围是围是 (0.2，2.(20142.(2014福州模拟福州模拟) )a=b(是实数是实数) )是是a与与b共线的共线的( () )a.a.充分不必要条件充分不必要条件b.b.必要不充分条件必要不充分条件c.c.充要条件充要条件d.d.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解析【解析】选选a

13、.a.a=bab, ,但但 则则ab, ,ab. .,b0a03.3.向量向量a=(-2,-3,1),=(-2,-3,1),b=(2,0,4),=(2,0,4),c=(-4,-6,2),=(-4,-6,2),下列结论正确下列结论正确的是的是( () )a.a.ab, ,acb.b.ab, ,acc.c.ac, ,ab d. d.以上都不对以上都不对【解析【解析】选选c.c.因为因为c=(-4,-6,2)=2(-2,-3,1),=(-4,-6,2)=2(-2,-3,1),所以所以ac. .又又ab=(-2)=(-2)2+(-3)2+(-3)0+10+14=0,4=0,所以所以ab. .4 4已知

14、正方体已知正方体abcd-aabcd-a1 1b b1 1c c1 1d d1 1中，点中，点e e为上底面为上底面a a1 1c c1 1的中心，的中心，若若 则则x,yx,y的值分别为的值分别为( )( )1aeaaxabyad ，a.xa.x1 1，y y1 b.x1 b.x1 1，y yc.xc.x ，y y d.xd.x ，y y1 112121212【解析【解析】选选c.c.因为因为111111ae aaa e aaa c2 11aaab ad2 5 5已知三棱锥已知三棱锥o-abc,o-abc,点点m,nm,n分别为分别为ab,ocab,oc的中点的中点, ,且且 用用a, ,b

15、, ,c表示表示 , ,则则 等于等于( )( )a. (a. (b+ +c- -a) b. () b. (a+ +b- -c) )c. (c. (a- -b+ +c) d. () d. (c- -a- -b) )12121212oa,ob,oc, abcmn mn 【解析【解析】选选d.d.由题意知由题意知因为因为所以所以故选故选d.d.mnonom 11ocoaob ,22 oa,ob,oc, abc1mn.2 cab考点考点1 1 空间向量的线性运算空间向量的线性运算【典例【典例1 1】(1)(1)在四面体在四面体o-abco-abc中中, =, =a, =, =b, =, =c,d,d

16、为为bcbc的的中点中点,e,e为为adad的中点的中点, ,则则 = =.(.(用用a, ,b, ,c表示表示) )oaob oc oe (2)(2)如图所示如图所示, ,在空间几何体在空间几何体abcd-aabcd-a1 1b b1 1c c1 1d d1 1中中, ,各面为平行四各面为平行四边形边形, ,设设 = =a, =, =b, =, =c,m,n,p,m,n,p分别是分别是aaaa1 1,bc,c,bc,c1 1d d1 1的中点的中点, ,试用试用a, ,b, ,c表示以下各向量表示以下各向量: :1aa ab ad 1ap;mpnc . 【解题视点【解题视点】(1)(1)根据

17、图形及根据图形及d,ed,e为两线段中点得出为两线段中点得出 即可求出即可求出(2)(2)用已知不共面的向量表示某一向量，在转化时，结合图形，用已知不共面的向量表示某一向量，在转化时，结合图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则用三角形法则或平行四边形法则. . 1111oeoaod,odoboc,2222 oe. 【规范解答【规范解答】(1)(1)如图所示如图所示, ,因为因为e e为为adad的中点的中点, ,所以所以又因为又因为d d为为bcbc的中点的中点, ,所以所以答案：答案：11

18、oeoaod.22 11odoboc.22 111oeoaoboc,244111oe.244 所所以以即即abc111244abc(2)(2)因为因为p p是是c c1 1d d1 1的中点，的中点，所以所以ac ac b. .因为因为m m是是aaaa1 1的中点，的中点，所以所以 a( (ac b) ) a bc. .又又1111111ap aaa dd padd c2 a1ab2 1211mp maapa aap2 121212121111ncnc ccbc aa2 111ad aa22 ，ca所以所以1mpnc 111222313.222( ( ) )( ( ) )abcacabc【互

19、动探究】【互动探究】在例在例(2)(2)的条件下，若的条件下，若试用试用a，b，c表示表示 , ,则结果如何？则结果如何？11aeec a f 2fd2 ， ，ef【解析】【解析】如图，连接如图，连接afaf，则则由已知由已知abcdabcd是平行四边形，是平行四边形，故故 bc， ac. .又又由已知由已知ef eaaf. ac ab ad 11a d a aad 11eaac33 ，bc1a f 2fd ，所以所以所以所以 ( (bc) ) ( (a2 2c) ) ( (abc) )af ad df ad fd 111ada d()33123 ，ccaacef eaaf 131313【规律

20、方法】【规律方法】空间向量的线性运算的方法空间向量的线性运算的方法(1)(1)表示向量的关键表示向量的关键: :用已知向量表示未知向量时，一定要结合用已知向量表示未知向量时，一定要结合图形进行，以图形为指导是解题的关键图形进行，以图形为指导是解题的关键(2)(2)向量加法的多边形法则向量加法的多边形法则: :首尾相接的若干向量之和，等于由首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则向量加法的三角形法则、平行四称为向量加法的多边形法则向量加法的三角形法则、平行四边形法则在空间中仍

21、然成立边形法则在空间中仍然成立(3)(3)空间向量的坐标运算类似于平面向量空间向量的坐标运算类似于平面向量. .提醒：提醒：一般把未知向量放在一个封闭图形中一般把未知向量放在一个封闭图形中, ,借助于加减法法借助于加减法法则逐步地转化为已知向量则逐步地转化为已知向量, ,从而完成运算从而完成运算. .【变式训练】【变式训练】如图，在长方体如图，在长方体abcd-abcd-a a1 1b b1 1c c1 1d d1 1中，中，o o为为acac的中点的中点(1)(1)化简：化简： (2)(2)用用(3)(3)设设e e是棱是棱dddd1 1上的点，且上的点，且若若试求试求x,y,zx,y,z的

22、值的值111a oabad.22 11ab,ad,aaoc . 表表示示12dedd3 ，1eoxabyadzaa ，【解析】【解析】(1)(1)因为因为所以所以(2)(2)ab ad ac ，11111a oabad a o(ab ad)222 1111a oac a o ao a a.2 1111ococccaccc2 11111abadaaabadaa .222 (3)(3)如图所示，如图所示，因为因为121eo ed dod ddb32 11121d d(daab)32211a adaab322112abadaa223112xyz.223 ，所所以以 ， ， 【加固训练】【加固训练】1

23、.1.已知空间四边形已知空间四边形oabcoabc，其对角线为，其对角线为ob,acob,ac，m,nm,n分别是边分别是边oa,cboa,cb的中点，点的中点，点g g在线段在线段mnmn上，且使上，且使mgmg2gn2gn，则用向量，则用向量 表示向量表示向量 正确的是正确的是( )( )oa oboc ， ，og22a.og oaoboc33122b.ogoaoboc233111c.ogoaoboc633112d.ogoaoboc633 12c.og ommgoamn2312oamaan2312 11oaoaabac 23 2212 11oaoaoboaocoa 23 22111oaob

24、oc.633 选选【解解析析】2.2.已知已知p p为矩形为矩形abcdabcd所在平面外一点，所在平面外一点，papa平面平面abcdabcd，m m在线段在线段pcpc上，上，n n在线段在线段pdpd上，且上，且pm=2mc,pn=ndpm=2mc,pn=nd，若，若则则x+y+zx+y+z=_.=_.mnxabyadzap ，【解析】【解析】如图，如图，答案：答案：12mnpnpmpdpc23 12ad ap(paac)231122adapap(abad)2233211abadap.3662112xyz.3663 所所以以 233.3.如图，已知如图，已知m,nm,n分别为四面体分别为

25、四面体abcdabcd的面的面bcdbcd与面与面acdacd的重心，的重心，g g为为amam上一点，且上一点，且gmgagmga13.13.设设 a， b， c，试用试用a，b，c表示表示ab ac ad bg bn. ，【解析】【解析】a ( (abc) ) a b c，3bg baag baam4n baan ba(ac ad).333 abc考点考点2 2 共线向量定理、共面向量定理的应用共线向量定理、共面向量定理的应用【典例【典例2 2】(1)(1)已知向量已知向量a, ,b, ,且且 a+2+2b, =-5, =-5a+6+6b, , =7 =7a-2-

26、2b, ,则一定共线的三点是则一定共线的三点是( )( )a.aa.a，b b，d b.ad b.a，b b，c cc.bc.b，c c，d d.ad d.a，c c，d d(2)(2)如图，已知各面均为平行四边形如图，已知各面均为平行四边形的四棱柱的四棱柱abcd-abcdabcd-abcd，e,f,e,f,g,hg,h分别是棱分别是棱ad,dc,ccad,dc,cc和和abab的中点，求证的中点，求证:e,f,g,h:e,f,g,h四点共面四点共面ab bc cd 【解题视点】【解题视点】(1)(1)利用三点共线的条件验证求解利用三点共线的条件验证求解. .(2)(2)证明证明e,f,g,

27、he,f,g,h四点共面，证明四点共面，证明 即可，即可，即证即证 三个向量共面三个向量共面 hgefeh hg,ef,eh 【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选a.a.因为因为 =-5=-5a+6+6b, =7, =7a-2-2b, ,所以所以 =(-5=(-5a+6+6b)+(7)+(7a-2-2b) )=2=2a+4+4b. .又因为又因为 = =a+2+2b, ,所以所以因为因为bdbd与与abab有公共点有公共点b b，所以，所以a,b,da,b,d三点共线三点共线. .bc cd bdbccd ab bd2ab. (2)(2)取取 a, , b, , c，则则ba2 2aba

28、( (baca) ) b c，所以所以 与与b, ,c共面即共面即e,f,g,he,f,g,h四点共面四点共面edefeh 1hg hb bc cg d f2edaa2 1(ahheea )2 123212hg【易错警示【易错警示】关注空间向量的基底关注空间向量的基底 根据空间向量基本定理，在确定了空间的一组基底后，任何根据空间向量基本定理，在确定了空间的一组基底后，任何一个向量都可以用基底表示在一个向量都可以用基底表示在(2)(2)中选中选 为基底为基底, ,可方可方便地证明四点共面便地证明四点共面. .在根据空间向量基本定理表示空间的其他向在根据空间向量基本定理表示空间的其他向量时要注意正

29、确应用向量加、减法和向量的数乘意义，防止出量时要注意正确应用向量加、减法和向量的数乘意义，防止出现错误现错误ed ,ef,eh 【规律方法【规律方法】1.1.证明空间任意三点共线的方法证明空间任意三点共线的方法对空间三点对空间三点p p，a a，b b可通过证明下列结论成立来证明三点共线可通过证明下列结论成立来证明三点共线. .(1)(1)(2)(2)对空间任一点对空间任一点o o， (3)(3)对空间任一点对空间任一点o o，papb. op oatab. opxoayob xy 1 2.2.证明空间四点共面的方法证明空间四点共面的方法对空间四点对空间四点p p，m m，a a，b b可通过

30、证明下列结论成立来证明四点可通过证明下列结论成立来证明四点共面共面. .(1) (1) (2)(2)对空间任一点对空间任一点o o，(3)(3)对空间任一点对空间任一点o o，(4)(4)mpxmaymb. op omxmaymb. opxomyoazob xyz1 . pmabpambpbam 或或或或【变式训练【变式训练】如图如图, ,在三棱柱在三棱柱abc-aabc-a1 1b b1 1c c1 1中中,d,d为为bcbc边的中点边的中点, ,试试证证a a1 1bb平面平面acac1 1d.d.【证明【证明】设设 a， c， b，则则 ac， 因为因为a a1 1b b 平面平面aca

31、c1 1d d，因此因此a a1 1bb平面平面acac1 1d.d.ba 1bb bc 11babaaa 1babb 11111ad ab bd abbc22acac ccbc babb. ， abbac11baac2ad ，【加固训练【加固训练】1 1有下列命题：有下列命题：若若px xay yb，则，则p与与a, ,b共面；共面；若若p与与a, ,b共面，则共面，则px xay yb；若若 则则p,m,a,bp,m,a,b共面；共面；若若p,m,a,bp,m,a,b共面，则共面，则其中真命题的个数是其中真命题的个数是( )( )a a1 b1 b2 c2 c3 d3 d4 4mpxmay

32、mb ，mpxmaymb. 【解析【解析】选选b.b.正确正确中若中若a，b共线，共线，p与与a不共线，则不共线，则px xay yb就不成立就不成立正确正确中若中若m m，a a，b b共线，点共线，点p p不不在此直线上，则在此直线上，则 不正确不正确mpxmaymb 2.2.已知已知e,f,g,he,f,g,h分别是空分别是空间四边形间四边形abcdabcd的边的边ab,bc,ab,bc,cd,dacd,da的中点，的中点，(1)(1)求证：求证：e,f,g,he,f,g,h四点共面四点共面. .(2)(2)设设m m是是egeg和和fhfh的交点，的交点，求证：对空间任一点求证：对空间

33、任一点o o，有有1omoa ob oc od4 【证明】【证明】(1)(1)如图如图. .连接连接bgbg，则，则所以所以e,f,g,he,f,g,h四点共面四点共面egebbg1eb(bcbd)2eb bf ehef eh ，(2)(2)连接连接omom，oaoa，obob，ococ，odod，oeoe，og.og.知知 ，同理，同理所以所以 ，即，即eh eh fgfg，所以四边形所以四边形efghefgh是平行四边形是平行四边形所以所以egeg，fhfh被被m m平分平分1ehbd2 1fgbd2 ，eh fg 111omoe ogoeog2221 11 1oaob (ocod)2 2

34、2 21oa ob oc od4 故故 3.3.如图所示如图所示, ,已知四边形已知四边形abcdabcd是平行四边形是平行四边形,p,p点是四边形点是四边形abcdabcd所所在平面外一点在平面外一点, ,连接连接pa,pb,pc,pd.pa,pb,pc,pd.设点设点e,f,g,he,f,g,h分别为分别为pab,pab,pbc,pbc,pcd,pcd,pdapda的重心的重心. .试判断平试判断平面面efghefgh与平面与平面abcdabcd的位置关系的位置关系, ,并用向量方法证明你的判断并用向量方法证明你的判断. .【解析】【解析】平面平面efghefgh平面平面abcd.abcd

35、.分别连接分别连接pe,pf,pg,phpe,pf,pg,ph并延长并延长交对边于交对边于m,n,q,rm,n,q,r点因为点因为e,f,g,he,f,g,h分别是所在三角形的重心，分别是所在三角形的重心，所以所以m,n,q,rm,n,q,r为所在边的中点，为所在边的中点，顺次连接顺次连接m,n,q,rm,n,q,r得到的四边得到的四边形为平行四边形，且有：形为平行四边形，且有：连接连接mqmq，eg,eg,2222pepm pfpn pgpq phpr.3333 ， ， ， 因为因为所以所以又因为又因为egeg平面平面abcabc，mqmq平面平面abcabc，所以所以egeg平面平面abc

36、.abc.因为因为所以所以mnefmnef，又因为又因为efef平面平面abcabc，mnmn平面平面abcabc，所以所以efef平面平面abc.abc.又又egefegefe e，所以平面，所以平面efghefgh平面平面abcd. abcd. 333mq pq pmpgpeeg222 ，mqeg. 333mn pnpmpfpeef222 ，考点考点3 3 空间向量的坐标运算及数量积的应用空间向量的坐标运算及数量积的应用【考情【考情】通过近几年高考试题可以看出通过近几年高考试题可以看出, ,试题以空间向量的运试题以空间向量的运算为主算为主, ,特别是数量积的运算及其应用特别是数量积的运算及

37、其应用, ,更是考查的热点更是考查的热点. .若对若对空间向量单独考查空间向量单独考查, ,则以选择题、填空题的形式出现则以选择题、填空题的形式出现. .若作为若作为解题的工具解题的工具, ,则出现在解答题中则出现在解答题中, ,且与线面关系、求角、求距且与线面关系、求角、求距离等问题结合在一起考查离等问题结合在一起考查, ,属中档题属中档题. .高频考点高频考点通关通关 【典例【典例3 3】(1)(2014(1)(2014合肥模拟合肥模拟) )已知已知a=(1,0,-1),=(1,0,-1),b=(-1,1,2).=(-1,1,2).a- -b与与a夹角的余弦值为夹角的余弦值为; ;若若k

38、ka+ +b与与a-2-2b平行平行, ,则则k=k=; ;若若k ka+ +b与与a+3+3b垂直垂直, ,则则k=k=. .(2)(2014(2)(2014安阳模拟安阳模拟) )如图所示，如图所示，已知空间四边形已知空间四边形abcdabcd的每条边和的每条边和对角线长都等于对角线长都等于1 1，点，点e e，f f，g g分分别是别是abab，adad，cdcd的中点，计算：的中点，计算：egeg的长的长ef ba ；【解题视点】【解题视点】(1)(1)利用向量的夹角公式及平行、垂直的条件利用向量的夹角公式及平行、垂直的条件求解求解. .(2)(2)先求出先求出 然后利用向量的数量积公式

39、求出然后利用向量的数量积公式求出利用利用 求解求解. .efba ， ，ef ba ；2egeg 【规范解答】【规范解答】(1)(1)因为因为ab=(2,=(2,1,1,3)3)，| |ab|= |= ，| |a|= |= ，( (ab) )a=5.=5.所以所以coscosab, ,a= =142()|ab aab a55 7.14142k ka+ +b=(k=(k1,1,1,1,k+2),k+2),a2 2b=(3,=(3,2,2,5)5)，因为因为k ka+ +ba2 2b，所以，所以所以所以k=k=k ka+ +b=(k=(k1,1,1,1,k+2)k+2)，a+3+3b=(=(2,3

40、,5),2,3,5),因为因为k ka+ +ba+3+3b，所以，所以2(k2(k1)+3+5(1)+3+5(k+2)=0,k+2)=0,所以所以k11k2325，1.215k.7答案：答案： (2)(2)设设 a， b， c，则，则| |a| | |b| | |c| |1 1，a，bb，cc，a6060，5 71412157ab ac ad 2111efbdbadc.22211ef ba () ()221111122424 ， ， ；caabccaaa ca所以所以 ( (abc) )2 2 ( (a2 2b2 2c2 22 2ab2 2ac2 2bc) )所以所以 即即egeg的长为的长为

41、eg eb bc cg 11abac ab(ad ac)22111111abacad,222222 abc21eg4 1412，2eg.2 2.2【通关锦囊【通关锦囊】 高考指数高考指数重点题型重点题型破解策略破解策略空间向量的空间向量的数量积的运数量积的运算问题算问题(1)(1)定义法定义法: :设向量设向量a, ,b, ,则则ab=|=|a| | |b|cos|cos (2)(2)坐标法坐标法: :设设a=(x=(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2,z,z2 2),),则则ab=x=x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2+z+z1 1z

42、z2 2证明线与证明线与线垂直问题线垂直问题利用利用abab=0(=0(a, ,b为非零向量为非零向量),),可转可转化为向量的垂直问题化为向量的垂直问题, ,进而利用数量积解进而利用数量积解决决求线段求线段长度问题长度问题利用公式利用公式| |a| |2 2= =aa, ,可转化为求向量的模可转化为求向量的模的问题的问题, ,或用两点间距离公式求解或用两点间距离公式求解【关注题型【关注题型】 空间几何体空间几何体的参数问题的参数问题通过向量的数量积构造关于变量通过向量的数量积构造关于变量的方程或函数求参数或求解最值的方程或函数求参数或求解最值求三角形、求三角形、平行四边形平行四边形的面积问题

43、的面积问题先求出先求出coscosa, ,b= =然后求出然后求出sinsina, ,b的值，再利的值，再利用面积公式求解用面积公式求解 ,a ba b【特别提醒【特别提醒】应用数量积解决问题时一般有两种方法：一是应用数量积解决问题时一般有两种方法：一是取空间向量的一组基底，一般来讲该基底最好已知相互之间取空间向量的一组基底，一般来讲该基底最好已知相互之间的夹角及各向量的模；二是建立空间直角坐标系利用坐标运的夹角及各向量的模；二是建立空间直角坐标系利用坐标运算来解决算来解决【通关题组【通关题组】1.(20141.(2014随州模拟随州模拟) )已知空间四边形已知空间四边形abcdabcd的每条

44、边和对角的每条边和对角线的长都等于线的长都等于a a，点，点e,fe,f分别是分别是bc,adbc,ad的中点，则的中点，则 的值为的值为( )( )ae af 2222113a.ab.ac.ad.a244【解析【解析】选选c.c.如图，设如图，设 a， b， c，则则| |a| | |b| | |c| |a，且，且a，b，c三向三向量两两夹角为量两两夹角为6060. . ( (ab) )， c，所以所以 ( (ab) ) c ( (acbc) ) (a(a2 2cos 60cos 60a a2 2cos 60cos 60) ) a a2 2. .ab ac ad 1ae2 1af2 1ae

45、af2 121414142.(20142.(2014珠海模拟珠海模拟) )已知平行六面体已知平行六面体abcd-aabcd-a1 1b b1 1c c1 1d d1 1中中, ,以顶点以顶点a a为端点的三条棱长都等于为端点的三条棱长都等于1,1,且两两夹角都是且两两夹角都是6060, ,则对角线则对角线acac1 1的长是的长是. .2222221111111acac(ab bc cc )abbccc2ab bc1112ab cc2bc cc1112226ac6.2226 ，所所以以【解解析析】答答案案：3.(20143.(2014琼海模拟琼海模拟) )如图如图, ,在正方体在正方体abcd

46、-aabcd-a1 1b b1 1c c1 1d d1 1中中,e,f,e,f,g,h,mg,h,m分别是棱分别是棱ad,ddad,dd1 1,d,d1 1a a1 1,a,a1 1a,aba,ab的中点的中点, ,点点n n在四边形在四边形efghefgh的的四边及其内部运动四边及其内部运动, ,则当则当n n只需满足条件只需满足条件时时, ,就有就有mnamna1 1c c1 1; ;当当n n只需满足条件只需满足条件时时, ,就有就有mnmn平面平面b b1 1d d1 1c.c.【解析【解析】以以d d为坐标原点，为坐标原点，dada，dcdc，dddd1 1所在直线分别为所在直线分别

47、为x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1 1，则，则 因此因此(-1,1,0)=1-x- =0(-1,1,0)=1-x- =0，即，即x= ,x= ,故点故点n n在线段在线段egeg上，就有上，就有mnamna1 1c c1 1. .平面平面b b1 1d d1 1c c的一个法向量为的一个法向量为n=(-1,1,1)=(-1,1,1)，若，若mnmn平平面面b b1 1d d1 1c,c,则则 n= = (-1,1,1)=1-x- +z=0(-1,1,1)=1-x- +z=0，即即x-zx-z- =0,- =0,故点

48、故点n n在线段在线段eheh上，就有上，就有mnmn平面平面b b1 1d d1 1c.c.答案：答案：点点n n在线段在线段egeg上上 点点n n在线段在线段eheh上上111m(1,0)n x,0,z a c110 ,2 ， ，111mn a c(x1,z)2 1212mn 1(x1,z)212124.(20144.(2014郑州模拟郑州模拟) )已知已知a=(x,4,1),=(x,4,1),b=(-2,y,-1),=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),=(3,-2,z),ab, ,bc, ,求求(1)(1)a, ,b, ,c. .(2)(2)a+ +c与与b+ +c所成角的余弦

49、值所成角的余弦值. .【解析【解析】(1)(1)因为因为ab，所以，所以 解得解得x=2,y=x=2,y=4 4，此时此时a=(2,4,1),=(2,4,1),b=(=(2,2,4,4,1)1)，又因为，又因为bc，所以，所以bc=0=0，即，即6+86+8z=0z=0，解得，解得z=2z=2，于是，于是c=(3,=(3,2,2).2,2).(2)(2)a+ +c=(5,2,3)=(5,2,3)，b+ +c=(1,=(1,6,1)6,1)，因此，因此a+ +c与与b+ +c所成角的所成角的余弦值为余弦值为故故a+ +c与与b+ +c所成角的余弦值为所成角的余弦值为x412y1，()5 1232

50、.193838acbcac bc2.19【加固训练【加固训练】1.(20141.(2014焦作模拟焦作模拟) )已知空间三点已知空间三点a(0a(0，2 2，3)3)，b(b(2 2，1 1，6)6)，c(1c(1，1 1，5)5)则以则以 为边的平行四边形的面为边的平行四边形的面积等于积等于( )( )abac ，a.2 2b.7 2c.3 3 d.7 3【解析【解析】选选d.d.由题意可得：由题意可得： ( (2 2，1 1，3)3)， (1(1，3 3，2)2)，所以所以coscos 所以所以sinsin 故以故以 为边的平行四边形的面积为边的平行四边形的面积ab ac abac ，ab

51、 ac23671.1421414ab ac abac ，32，abac ，3sab ac sinabac147 3.2 ， 2 2(2014(2014东北联考东北联考) )已知已知o(0,0,0)o(0,0,0)，a(1,2,3)a(1,2,3)，b(2,1,2)b(2,1,2)，p(1,1,2)p(1,1,2)，点，点q q在直线在直线opop上运动，当上运动，当 取最小值时，取最小值时，点点q q的坐标是的坐标是_qa qb 【解析【解析】设设 (，2)2)，则则 (1(1，2 2，3 32)2)， (2(2，1 1，2 22)2)所以所以 (1(1)(2)(2)(2(2)(1)(1)(3

52、(32)(22)(22)2)662 216161010所以当所以当 时，时， 取最小值为取最小值为此时，此时， 即即q q点的坐标是点的坐标是答案：答案：oqop qaqb qa qb 2426().3343qa qb 2.34 4 8oq3 3 3 ( (，) )，4 4 83 3 3( (，).).4 4 83 3 3( (，) )3.(20143.(2014安庆模拟安庆模拟) )已知已知abcabc的顶点的顶点a(1,1,1)a(1,1,1)，b(2,2,2)b(2,2,2)，c(3,2,4)c(3,2,4)，试求，试求: :(1)(1)abcabc的重心坐标的重心坐标. .(2)(2)abcabc的面积的面积. .(3)(3)abcabc的的abab边上的高边上的高【解析【解析】(1)(1)设重心坐标为设重心坐标为(x(x0 0，y y0 0，z z0 0) )，则则x