16微积分基本定理课件

1、 1、如果函数如果函数f（x）在）在a，b上连续且上连续且f（x）0时，那么：时，那么：定积分定积分 就表示以就表示以y=f（x）为曲边的曲边梯形面积）为曲边的曲边梯形面积。badxxf)( 2、定积分定积分 的的数值数值在几何上都可以用曲边梯在几何上都可以用曲边梯形面积的形面积的代数和代数和来表示。来表示。badxxf)(1s2s3s321sssdxxfba )(复习：复习：1、定积分的几何意义是什么？、定积分的几何意义是什么？, 0)( xf baadxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积, 0)( xf baadxxf)(说明：说明：曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值2.定积分的简

2、单性质定积分的简单性质(1)( )( ) ()bbaakf x dxkf x dxk为常数1212(2) ( )( )( )( )bbbaaaf xfx dxf x dxfx dx(3)( )( )( ) (acb)bcbaacf x dxf x dxf x dx？、3141dx？、axdx02？、dxx302)2(3？、dxx302948 825221a问题问题1 1：你能求出下列格式的值吗？不妨试试。你能求出下列格式的值吗？不妨试试。49复习引入复习引入2112.?dxx 由由 定定 积积 分分 的的 定定 义义 可可 以以 计计 算算吗吗 niinbafnabdxxf1lim xxf1

3、解解：令令（1 1）分割）分割 ,121个个分分点点上上等等间间隔隔的的插插入入，在在区区间间 n 个个小小区区间间等等分分成成，将将区区间间n21 , 2 , 11 ,11ninini 每每个个小小区区间间的的长长度度为为 nix1nni111 （2）近似代替）近似代替 , 2 , 111ninii 取取（3）求和）求和xnifsdxxnin 121111 ninni11111 niin111 12121111nnnn怎么求怎么求问题问题2 2：一个作变速直线运动的物体的运动规一个作变速直线运动的物体的运动规律律s ss(ts(t) )。由导数的概念可以知道，它在任意。由导数的概念可以知道，

4、它在任意时刻时刻t t的速度的速度v(tv(t) )ss（t)t)。设这个物体在时。设这个物体在时间段间段a a，b b内的位移为内的位移为s s，你能分别用，你能分别用s(ts(t) )，v(tv(t) )来表示来表示s s吗？吗？从中你能发现导数和定积分的从中你能发现导数和定积分的内在联系吗？内在联系吗？另一方面，从另一方面，从导数导数角度来看：角度来看：如果已知该变速直如果已知该变速直线运动的路程函数为线运动的路程函数为s=s(t)，则在时间区间，则在时间区间a,b内物内物体的位移为体的位移为s(b)s(a)， 所以又有所以又有 ).()(d)(asbsttvba由于由于 ，即，即s(t

5、)是是v(t)的原函数，这就是说，的原函数，这就是说，定积分定积分 等于被积函数等于被积函数v(t)的原函数的原函数s(t)在区间在区间a,b上的增量上的增量s(b)s(a).)()(tvtsbattvd)( 从从定积分定积分角度来看：角度来看：如果物体运动的速度函数为如果物体运动的速度函数为v=v(t)，那么在时间区间，那么在时间区间a,b内物体的位移内物体的位移s可以用定可以用定积分表示为积分表示为.d)(battvs探究新知：探究新知：toy tyy bnisssss 21a aybsa(t )0t1it 1it nb(t )nt 1t2s1s2 is ns1h2hihnha by ay

6、bys ttvsii 1 吗？表示，你能分别用内的位移为时间段设这个物体在的速度为时刻的概念可知，它在任意由导数是运动的物体的运动规律如图：一个作变速直线s,tvtysbatytvttyy 1 itynab ttyi 1 aybys badtty tyy ay bynisssss 21 111 iiiitynabttyttvs ttytdpchsiii 1tan ttvsniin 11lim niintty11lim dttvba aybydttysba 二、微积分基本定理 牛顿牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式 ,f xa bf xf x 如如果果是是区区间间上上的的连连续续函函数数并并且且则则

7、bafx dxf bf a bbaafx dxf xf bf a 或或 的的导导函函数数叫叫做做的的原原函函数数，叫叫做做xxfxfxff牛顿莱布尼茨公式沟通了导数与积分之间的关系牛顿莱布尼茨公式沟通了导数与积分之间的关系求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.nx1nnx 1x1lnxasin xcos xsin x cos xxexalnxaaxec0函数f(x)导函数f(x)回顾：基本初等函数的导数公式回顾：基本初等函数的导数公式logax ln x被积函数f(x)一个原函数f(x)新知：基本初等函数的原函数公式新知：基本初等函数的原函数公式ccxnx111nx

8、n sin xcos x sin xcos xxalnxaaxexe1xln|x .dxx1x22;dxx11:131221计算下列定积分计算下列定积分例例 ,x1xln1因为解2121|xlndxx1所以.2ln1ln2ln ,x1x1,x2x222因为dxx1xdx2dxx1x23123131231312x1|x.32213119( )( )|( )( )bbaaf x dxf xf bf a找出找出f(x)的原函数是的原函数是关键关键 120212212113212332141_xtdtxdxxxxdxedx 1322ln 921ee 练习练习1:.xdxsin,dxxsin,dxxsi

9、n:22020计算下列定积分计算下列定积分例例00|xcosdxxsin, xsinxcos因为解 ;20coscos22|xcosdxxsin ; 2cos2cos202|xcosdxxsin0 0 .00cos2cos问题：问题：通过计算下列定积分，进一步说明其定通过计算下列定积分，进一步说明其定积分的几何意义。积分的几何意义。通过计算结果能发现什么结通过计算结果能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示发现的结论论？试利用曲边梯形的面积表示发现的结论2sin xdx20sin xdx我们发现：我们发现：（）定积分的值可取正值也可取负值，还可以是（）定积分的值可取正值也可取负值，还可以是0

10、0；（2 2）当曲边梯形位于）当曲边梯形位于x x轴上方时，定积分的值取正值；轴上方时，定积分的值取正值；（3 3）当曲边梯形位于）当曲边梯形位于x x轴下方时，定积分的值取负值；轴下方时，定积分的值取负值；（4 4）当曲边梯形位于）当曲边梯形位于x x轴上方的面积等于位于轴上方的面积等于位于x x轴下方轴下方的面积时，定积分的值为的面积时，定积分的值为0 0得到定积分的几何意义：得到定积分的几何意义：曲边梯形面积的曲边梯形面积的代数和代数和。1.微积分基本定理微积分基本定理)()()(afbfdxxfba 三、小结被积函数f(x)一个原函数f(x)2.基本初等函数的原函数公式基本初等函数的原