第2章水静力学

1、 水静力学是液体在静止或相对静止状态下的力学规水静力学是液体在静止或相对静止状态下的力学规律及其应用的科学。律及其应用的科学。 由流动性知，静止状态下，作用在液体上的表面力由流动性知，静止状态下，作用在液体上的表面力只有压强。只有压强。2-1 静止液体中压强的特性一、静水压强静水压力p：液体对边壁的作用力静水压强p：单位面积上的静水压力)(平均压强app)(lim0点压强appa单位：压力单位：压力p： (n或可或可kn) 压强压强p：n/m2（pa帕斯卡）或帕斯卡）或kn/m2（kpa千帕）千帕）二、二、 静止液体中压强的特性静止液体中压强的特性特性一：特性一：静压强的方向与作用面的内法线方

2、向一致，或静压静压强的方向与作用面的内法线方向一致，或静压强的方向垂直并指向作用面。强的方向垂直并指向作用面。特性二：特性二：静止液体中任意点压强的大小与作用面的方向无关。静止液体中任意点压强的大小与作用面的方向无关。例例2-1 画出画出ab面上和面上和bc面上面上b点压强的方向。点压强的方向。b点：点：ab面上一点其方向面上一点其方向p1b点：点：bc面上一点其方向面上一点其方向p2b点：拐点点：拐点说明：水中任意一点说明：水中任意一点b，各方向的压强，各方向的压强p1、p2 是相等的，与受压面的方位无关。是相等的，与受压面的方位无关。 90p290p12.2 液体平衡微分方程液体平衡微分方

3、程2.2.1 液体平衡微分方程液体平衡微分方程x静止液体内取边长分别为静止液体内取边长分别为 dx, dy, dz 的微元六面体，的微元六面体，由于六面体为静止，故作用在六面体上各个方向力满由于六面体为静止，故作用在六面体上各个方向力满yozodxdydzxayzbcddabcpmpn中心点中心点 o(x,y,z) 压强压强 p(x,y,z)。足力平衡方程。以足力平衡方程。以 x 方向为例：方向为例：mn表面力：除表面力：除 abcd 与与 abcd 两面外，其余面上作用的力在两面外，其余面上作用的力在x轴轴 上投影均为上投影均为0。此两面中心点压强可用泰勒。此两面中心点压强可用泰勒 (g.t

4、aylor) 级数展开，取前两项：级数展开，取前两项：两个面上的总压力则为：两个面上的总压力则为：质量力：质量力：x 方向单位质量力与六面体总质量的乘积，即方向单位质量力与六面体总质量的乘积，即xxpppd21mxxpppd21nzyxxpppddd21mzyxxpppddd21nzyxxfdddbx列列 x 方向力平衡方程得方向力平衡方程得：化简后得化简后得: : 上式即液体平衡微分方上式即液体平衡微分方程，由瑞士学者欧拉程，由瑞士学者欧拉（l.euler)l.euler)于于1755导导出，又称欧拉平衡微出，又称欧拉平衡微分方程。分方程。0dddddd21ddd21zyxxzyxxppzy

5、xxpp01xpx同理同理: :01ypy01zpz 1707年年4月月15日日出生于瑞士的巴塞尔出生于瑞士的巴塞尔城城 ，1783 年年9月月18日日去逝于俄罗斯的彼得去逝于俄罗斯的彼得堡，享年堡，享年76岁。岁。 13岁时入读巴塞尔大学，岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕岁大学毕业，业，16岁获硕士学位。岁获硕士学位。1727年任彼得堡科年任彼得堡科学院数学教授。学院数学教授。1741年应普鲁士彼德烈大年应普鲁士彼德烈大帝的邀请，到柏林担任科学院物理数学所帝的邀请，到柏林担任科学院物理数学所所长。直到所长。直到1766年，在沙皇喀德林二世的年，在沙皇喀德林二世的诚恳敦聘下重回彼得堡。诚恳敦聘

6、下重回彼得堡。 他从他从19岁开始发表论文，直到岁开始发表论文，直到76岁，岁，共写下了共写下了886本书籍和论文，涉及到数学本书籍和论文，涉及到数学分析、代数、数论、几何、物理和力学、分析、代数、数论、几何、物理和力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学等。他天文学、弹道学、航海学、建筑学等。他的许多著作都是在的许多著作都是在1766年失明后完成的。年失明后完成的。欧欧 拉拉 leonhardleonhard euler euler 用用dx，dy，dz 分别依次乘以欧拉平衡微分方程的各式，分别依次乘以欧拉平衡微分方程的各式，然后相加，得然后相加，得其中的压强全微分为：其中的压强全微分为：0dd

7、d1dddzzpyypxxpzzyyxx最后得液体平衡微分方程的综合式或液体平衡微分方程最后得液体平衡微分方程的综合式或液体平衡微分方程zzpyypxxppddddzzyyxxpdddd的全微分式的全微分式2.2.2 等压面等压面 等压面等压面压强相等的空间点构成的面。压强相等的空间点构成的面。 在等压面上，在等压面上，p = c，dp = 0，平衡微分方程的全微分式，平衡微分方程的全微分式则可表示为：则可表示为：上式称等压面方程。上式称等压面方程。根据等压面方程，单位质量力与等压面上任意线段的点根据等压面方程，单位质量力与等压面上任意线段的点0dddzzyyxxlfzzyyxxdddd等压面

8、方程中，等压面方程中，x、y、z 为单位质量力在三个坐标轴的为单位质量力在三个坐标轴的分力，而分力，而 dx、dy、dz 则是等压面上任意线段在三个坐标轴则是等压面上任意线段在三个坐标轴的投影，由矢量代数得：的投影，由矢量代数得：乘积等于乘积等于0 0，这说明这两个向量相互垂直，即质量力与等压，这说明这两个向量相互垂直，即质量力与等压面相互垂直，如重力与水平面。面相互垂直，如重力与水平面。2.3 重力作用下静止液体中压强的分布规律重力作用下静止液体中压强的分布规律2.3.1 水静力学基本方程水静力学基本方程 设重力作用下的静止液体，置设重力作用下的静止液体，置于直角坐标系于直角坐标系oxyz

9、中，液面的位置中，液面的位置高度为高度为 zo，压强为，压强为 po。x(y)若质量力只有重力，若质量力只有重力，x = y = 0，zgzzyyxxpddddd积分上式，得积分上式，得cgzpzozo popzz = g，则液体中任意点压强的全，则液体中任意点压强的全微分可为：微分可为：根据边界条件确定积分常数根据边界条件确定积分常数： z = zo，p = po，c = po+gzo代入得代入得：上式称为水静力学基本方程式，表示了质量力只有重力时上式称为水静力学基本方程式，表示了质量力只有重力时ghpzzgpp000液体静压强的分布规律。液体静压强的分布规律。式中式中：p 静止液体中某点的

10、压强（静止液体中某点的压强（pa）；）； po液面压强（液面压强（ pa）；）；z 某点在水平坐标面上的高度（某点在水平坐标面上的高度（m）；）；h 该点到液面的距离，又称淹没深度（该点到液面的距离，又称淹没深度（m）。）。2.3.2 式中式中habab为为 a、b 两点的水深差。两点的水深差。若在若在 a 点增加一个压强值点增加一个压强值pa， a 点的压强变为点的压强变为ababghpp于是，于是，b点的压强则应为点的压强则应为上式说明，静止液体中任意点的压强增值将等值地传递到上式说明，静止液体中任意点的压强增值将等值地传递到aaapppabaaabppghppghpp对于液体中任意对于液

11、体中任意 a、b 两点两点，有有各点。各点。3.3.静止液体的性质静止液体的性质（1 1）静止液体中的压强与水深成线性关系，）静止液体中的压强与水深成线性关系，而与流体体积无直接关系；而与流体体积无直接关系；（2 2）静止液体中任意点压强的变化，将等值）静止液体中任意点压强的变化，将等值地传递到其它各点；地传递到其它各点；（3 3）静止液体中任意两点的压差仅与它们的）静止液体中任意两点的压差仅与它们的垂直距离有关。垂直距离有关。 推论：等压面概念（均质、连通、水平面必为等压面）连通器原理（作用的力仅有重力）连通器原理（作用的力仅有重力）在均质，连通的液体中水平面必为等压面，(在均质、连通的液体

12、中等压面必为水平面，)等压面具备的三个条件。均质: 同一液体连通： 同一液体并相连水平面：处于用一水平位置图2-14abzh12 348576水银水银难点：判别等压面难点：判别等压面 12 均、连、水 23 均、连、水 38 不、不、水 45 均、连、水 47 不、不、水 67 均、连、水 2.3.3 压强的度量压强的度量压强与相对压强间有关系：压强与相对压强间有关系：aabsppp由于计算基准不同，同一点的压强可用不同的值来描述。由于计算基准不同，同一点的压强可用不同的值来描述。绝对压强与相对压强绝对压强与相对压强绝对压强（绝对压强（absolute pressure) 以无气体分子存在的完

13、以无气体分子存在的完相对压强（相对压强（gage pressure)以当地大气压为基准起算以当地大气压为基准起算全真空为基准起算的压强值，用符号全真空为基准起算的压强值，用符号pabs表示。表示。的压强值，用符号的压强值，用符号 p 表示。若设当地大气压强为表示。若设当地大气压强为pa，则绝对，则绝对普通工程或设备都处于大气压强作用下，采用相对压强普通工程或设备都处于大气压强作用下，采用相对压强往往使计算简化。如开口容器中液面下某点的压强计算可简往往使计算简化。如开口容器中液面下某点的压强计算可简化为化为工程中使用的一种测量压强的仪器工程中使用的一种测量压强的仪器 压力表。由于该压力表。由于该

14、真空压强真空压强ghp或或真空压强又可表示为相对压强的负值，故又称负压。真空压强又可表示为相对压强的负值，故又称负压。absavppppppp)(aabsv表以大气压作为表以大气压作为 0 点，故该表所测的压强值为相对压强。点，故该表所测的压强值为相对压强。因此，相对压强又称表压强。因此，相对压强又称表压强。真空（真空（vaccum) 绝对压强小于当地大气压的状态。绝对压强小于当地大气压的状态。真空压强真空压强 绝对压强小于大气压强的差值，以符号绝对压强小于大气压强的差值，以符号pv表示。根据定义有表示。根据定义有：压强关系图压强关系图完全真空完全真空p大气压大气压状态一状态一状态二状态二pa

15、bs1p1pabs2pvpa 当某点的绝对压强小于当某点的绝对压强小于大气压，即处于真空状态时，大气压，即处于真空状态时，真空值的大小也可用液柱高真空值的大小也可用液柱高度即真空度表示出来，如图度即真空度表示出来，如图所示。所示。 pabshvpa由于密闭水箱内为真空，由于密闭水箱内为真空，或或hv v称为真空高度，简称真空度。称为真空高度，简称真空度。vabsaghppgpgpphvabsav水槽为开口通大气，于是水水槽为开口通大气，于是水槽中的水在玻璃管两端压强槽中的水在玻璃管两端压强差的作用下上升了差的作用下上升了hv v 的高度。的高度。解：解： 根据根据p=p绝-pa p真=pa-p

16、绝=-p得得 pa绝=pa+pa=98+24.5=122.5（kn/m2） pb真=-pb=-(-24.5)=24.5（kn/m2） pb绝=pa-pb真=98-24.5=73.5（kn/m2）见图中见图中a、b两点两点 例例2- 求水库水深为求水库水深为2.5m处的相对压强、绝对压强处的相对压强、绝对压强。解：解： 方程方程p=p0+h 取相对压强取相对压强 p0=pa=0 p=0+9.82.5=24.5（kn/m2） 取绝对压强取绝对压强 p0绝=pa=98（kn/m2） p=98+9.82.5=122.5（kn/m2）-24.5kn/m2，例例2- a点相对压强为点相对压强为24.5kn

17、/m2，b点相对压强为点相对压强为求求pa绝绝、pb绝绝和和pb真，并在上图中标出真，并在上图中标出a、b两点。两点。 2.3.4 测压管水头测压管水头 以单位体积液体的重量以单位体积液体的重量g 除以水静力学基本方程不定除以水静力学基本方程不定积分式各项，得积分式各项，得式中式中 z 某点在基准面以上的高度，称位置高度或某点在基准面以上的高度，称位置高度或测压管的液面到该点的高度，称测压管高测压管的液面到该点的高度，称测压管高cgpzgpgpz压管水头（压管水头（static head）。）。cgpz静止液体中，各点的测压管水头相同。静止液体中，各点的测压管水头相同。度（度（pressure

18、 head）。）。位置水头（位置水头（elevation head）。）。测压管的液面到基准面的总高度，称测测压管的液面到基准面的总高度，称测三、水头和单位势能的概念三、水头和单位势能的概念前进pzcxzyp0azz位置水头，位置水头，ppz压强水头压强水头，测压管水头测压管水头，ap静止液体内各点的测压管水头等于常数。静止液体内各点的测压管水头等于常数。单位位能单位位能单位压能单位压能单位势能单位势能静止液体内各点的单位势能相等。静止液体内各点的单位势能相等。2.3.5 压压强的计量单位强的计量单位 应力单位应力单位 国际单位制：国际单位制： 帕（帕（pa），千帕（），千帕（kpa或或103

19、pa），）， 兆帕（兆帕（mpa或或106pa）；）； 大气压的倍数大气压的倍数 标准大气压（标准大气压（atm）：）：1 atm 相当于相当于 101325 pa； 工程大气压（工程大气压（at）：）： 1 at 相当于相当于 98000 pa 或或 1 at 相当于相当于 0.1 mpa； 液柱高液柱高 水柱高：水柱高：1 标准大气压可维持标准大气压可维持10.33 mh2o高，高， 1 工程大气压可维持工程大气压可维持10 mh2o高；高； 水银柱：水银柱：1 标准大气压可维持标准大气压可维持760 mmhg高，高， 1 工程大气压可维持工程大气压可维持736 mmhg高。高。 换算关系

20、换算关系n/m2=98kpa=10m水柱高水柱高=736mm汞柱高汞柱高/m2=10.33m水柱高水柱高=760mm汞柱高汞柱高盛水容器盛水容器a和和b的测压管水面位置如图（的测压管水面位置如图（a）、（）、（b）所示，其底部压强分别为所示，其底部压强分别为pa和和pb。若两容器内水。若两容器内水深相等，则深相等，则pa和和pb的关系为（的关系为（ ） a. papb b. papb c. pa=pb d.无法确定无法确定质量力只有重力时，等压面与水平面间的关系，正确的说法是（）a 水平面一定是等压面 b.等压面一定是水平面 c. 等压面可能是曲面 d. 无法判断 如图所示，两形状不同的盛水容

21、器，其底面面积相等，水深相等，试比较两容器底部所受静水总压力p的相对大小为（ ） ap1p2 bp1p2 cp1p2 d无法确定 公式 中，z表示的是 水头，是 水头。 1个工程大气压等于（） a 101.3kpa b 10mh2o c 1.033 kgf/m2 d rdzcrpzrpz 相对压强的起量点为（ ） a 绝对压强 b 标准大气压 c 当地大气压 d 液面压强 绝对压强的起量点为（ ） a 绝对真空 b 标准大气压 c 当地大气压 d 液面压强 绝对压强pabs与当地大气压pa、相对压强或真空值(pv)之间的关系为（） a pabs=p+pa b pabs=p-pa c pabs=

22、 pa -p d pabs= pv+ pa 如图所示封闭水箱，已知液面的绝对压强pabs=81.5kpa,水箱内水深h=2.8m，水箱右侧壁上的金属压力计距水箱底h1=0.8m。试求：（1）水箱内相对压强最小值和真空度最大值；（2）金属压力计的读数。2.3.6 压强分布图压强分布图 压强分布图压强分布图 在受压面承压一侧，根据压强的特性，在受压面承压一侧，根据压强的特性，按一定比例的矢量线段表示的压强大小和方向的图形。按一定比例的矢量线段表示的压强大小和方向的图形。 压强分布图是液体静压强分布规律的几何图示。压强分布图是液体静压强分布规律的几何图示。 对于开口容器，压强通常用相对压强表示。对于

23、开口容器，压强通常用相对压强表示。abghabcghbghcabcg(h左左- h右右)图解法图解法作用于矩形平面上的静水总压力的计算作用于矩形平面上的静水总压力的计算静水压强分布图静水压强分布图把某一受压面上压强随水深变化的函数关把某一受压面上压强随水深变化的函数关系表示成图形，称为静水压强分布图。系表示成图形，称为静水压强分布图。的绘制规则：的绘制规则：1.按一定比例按一定比例,用线段长度代表该点静水压强的大小用线段长度代表该点静水压强的大小2.用箭头表示静水压强的方向用箭头表示静水压强的方向,并与作用面垂直并与作用面垂直举例举例返回abpapa+gh画出下列画出下列abab或或abcab

24、c面上的静水压强分布图面上的静水压强分布图0ppgh相对相对压强分布图abghbabcabab前进画出下列容器左侧壁面上的压强分布图返回2.4 液柱式测压计液柱式测压计2.4.1 连通器内的等压面连通器内的等压面m1n1mndh1h21mmdghpp1mndghpp因为因为nmpp再由再由2mm1ghpp2mnn1ghpp所以所以m11nmpp由以上分析得等压面的条件：连通的相同液体的水平面。由以上分析得等压面的条件：连通的相同液体的水平面。在连通器内做两条水平线在连通器内做两条水平线 mn 与与m1n1，最低点为，最低点为 d。由水静力学基本方程：由水静力学基本方程：mm得得因为因为2.4.

25、2 液柱式测压计液柱式测压计 1. 测压管（测压管（piezometer） 测压管测压管 指一端接测点，另指一端接测点，另一端开口通大气的竖直玻璃管。一端开口通大气的竖直玻璃管。hpghp由于测压管高度有限，不由于测压管高度有限，不宜量测压强较大的点。为避免宜量测压强较大的点。为避免误差，玻璃管不宜过细。误差，玻璃管不宜过细。根据水静力学基本方程，根据水静力学基本方程，通过量测的测压管高度，可直通过量测的测压管高度，可直接求出测点的相对压强，即接求出测点的相对压强，即2. u形管测压计形管测压计（u-tube manometer） 使用水银作为测压介质，使用水银作为测压介质，u形形p0 mh

26、hm m n 由于由于mn 为等压面，求得水箱液面压强为等压面，求得水箱液面压强ghpp0mmmnghpghghpmm0管测压计可测量较大的压强。管测压计可测量较大的压强。过过m、n 两点取水平等压面两点取水平等压面，根据水静力学基本方程，得根据水静力学基本方程，得3.压差计（压差计（differential manometer）压差计用于测量两点的压强差或测压管水头差。压差计用于测量两点的压强差或测压管水头差。a bxmz hmmn mamhxgppmmbnghxzgpp由于等压面，由于等压面， pm= pn，ab点的压强差点的压强差zgghppmmba若令若令z = zb za，测压介质分

27、别为水和，测压介质分别为水和mmmbbaa6 .121hhgpzgpz由水静力学基本方程由水静力学基本方程水银，并以水银，并以g遍除之，得测压管水头差遍除之，得测压管水头差2.5 液体的相对平衡液体的相对平衡相对平衡指液体相对于地球运动而相对于容器静止的相对平衡指液体相对于地球运动而相对于容器静止的 根据达朗伯（根据达朗伯（dalembert）原理，在质量力中计入惯性）原理，在质量力中计入惯性2.5.1 等加速直线运动容器中的液体平衡等加速直线运动容器中的液体平衡盛水容器（小车），静止盛水容器（小车），静止hazyo力，液体的运动问题就转化成相对静止问题。力，液体的运动问题就转化成相对静止问题

28、。时其内水深时其内水深h，该容器以加速，该容器以加速度度a做直线运动，液面形成倾做直线运动，液面形成倾斜平面。将坐标取在容器上斜平面。将坐标取在容器上，容器内水相对于坐标静止。容器内水相对于坐标静止。状态。状态。 1. 压强压强分布规律分布规律根据欧拉平衡方程综合式根据欧拉平衡方程综合式 质量力除重力外，计入惯性力。惯性力的方向与加速质量力除重力外，计入惯性力。惯性力的方向与加速zzyyxxpdddd0xaygz于是上式可简化成于是上式可简化成积分后得积分后得zgyapdddczygagp由于液面倾斜前后液体体积不变，故在中间由于液面倾斜前后液体体积不变，故在中间 y = 0 处，处，则则 g

29、hpygazhgpp00z = h，p = p0，于是积分常数为：，于是积分常数为：c = p0+ gh度相反，即度相反，即2. 等压面等压面令令 p = c，得等压面方程为，得等压面方程为可见等压面是以可见等压面是以cygazga而质量力合力作用线的斜率为而质量力合力作用线的斜率为 。gaf两条直线斜率的乘积等于两条直线斜率的乘积等于 1 ，说明，说明令令 p = p0，得自由液面方程，得自由液面方程ssygahz为斜率的倾斜平面。为斜率的倾斜平面。这两条直线相互垂直，即质量力与等压面这两条直线相互垂直，即质量力与等压面相互垂直。相互垂直。ag3. 测压管水头测压管水头可见，只有在同一个横断

30、面上（可见，只有在同一个横断面上（y 为一定值时），各点为一定值时），各点的测压管水头才相等。否则，测压管水头不再是一个常数。的测压管水头才相等。否则，测压管水头不再是一个常数。ygacgpz2.5.2 等角速度旋转容器中液体的相对平衡等角速度旋转容器中液体的相对平衡一盛有液体深度为一盛有液体深度为 h 的圆柱形容器，绕容器立轴以等的圆柱形容器，绕容器立轴以等角速度角速度旋转。由于液体的黏滞作用，经一段时间后，容器旋转。由于液体的黏滞作用，经一段时间后，容器内的所有液体质点以相同的角速度绕该轴旋转。此时内的所有液体质点以相同的角速度绕该轴旋转。此时，液体液体与容器之间、液体中质点之间再无相对运

31、动，在容器中形成与容器之间、液体中质点之间再无相对运动，在容器中形成了具有抛物面液面的、相对于容器静止的液体。了具有抛物面液面的、相对于容器静止的液体。1. 压强分布规律压强分布规律根据欧拉平衡方程综合式根据欧拉平衡方程综合式zzyyxxpddddzyxoyhr质量力除重力外，计入惯性力，质量力除重力外，计入惯性力，惯性力方向与向心加速度方向相惯性力方向与向心加速度方向相反，为离心方向，即反，为离心方向，即xx2yy2gzzgyyxxpdddd22czgyxgp2222积分得积分得因为因为所以上式又可表示为所以上式又可表示为222ryxczgrgp222根据边界条件根据边界条件 r = 0 ，

32、z = z0 ，p = p0 确定积分常数，得确定积分常数，得00gzpc于是于是grzzgpp222002. 等压面等压面令令 p = c ，得等压面方程，得等压面方程cgrz222令令 p = p0 ，得自由液面方程，得自由液面方程grzz2220s将自由液面方程将自由液面方程0s222zzgr代入压强分布公式，得代入压强分布公式，得 ghpzzgpzzzzgpp0s00s00上式表明，铅垂方向压强分布规律与静止液体相同。上式表明，铅垂方向压强分布规律与静止液体相同。3. 测压管水头测压管水头测压管水头才为常数。测压管水头才为常数。grcgpz222上式表明，只有上式表明，只有 r 一定时

33、，即在同一个同心圆柱面上，一定时，即在同一个同心圆柱面上， 流体随容器作等角速度旋转运动时，其测压管水头z+p/r=( ) a c(x,y) b c(y,z) c c(z) d c(0)2.6 液体作用在平面壁上的总压力液体作用在平面壁上的总压力对于气体，平面总压力可由压强与作用面面积的乘积对于气体，平面总压力可由压强与作用面面积的乘积直接求得。直接求得。 对于液体，由于空间各点压强不等，无法直接求出总对于液体，由于空间各点压强不等，无法直接求出总压力的大小，必须考虑静压强的分布规律。压力的大小，必须考虑静压强的分布规律。 求解方法有解析法和图算法。求解方法有解析法和图算法。 2.6.1 解析

34、法解析法 总压力的大小总压力的大小 设开口水池中面积为设开口水池中面积为 a 的任的任意形状平面与水面夹角为意形状平面与水面夹角为。取。取坐标系坐标系 oxy，并将平面，并将平面 oxy 绕绕 y轴旋转轴旋转 90o。oyx受压面上，任取一微元面积受压面上，任取一微元面积 da，水深，水深 h，坐标，坐标 y。agyaghfdsinddp对总面积积分，得对总面积积分，得aappdsindaygff式中式中ayaycad所以得所以得：apaghaygfcccpsin上式表明，任意形状平面总压力等于受压面积与其形心上式表明，任意形状平面总压力等于受压面积与其形心dayhychcpcc压强的乘积，与

35、受压面的倾角和形状无关。压强的乘积，与受压面的倾角和形状无关。yo微元面微元面 da上作用的静水总压力上作用的静水总压力可表示为可表示为总压力作用点总压力作用点设总压力作用点（压力中心）设总压力作用点（压力中心）d点到点到ox轴距离为轴距离为 yd，根据合力矩定理有：根据合力矩定理有：a2apdpdsindaygfyyf积分积分a2day为受压面为受压面 a 对对 ox 轴的惯性矩，令轴的惯性矩，令xa2diay则则xdpsin igyf将将aygfcpsin代入并化简，得代入并化简，得ayiycxd由惯性矩平行移轴定理，将由惯性矩平行移轴定理，将ayii2ccx代入上式，得代入上式，得总压力

36、作用点计算公式：总压力作用点计算公式：ayiyycccd式中式中 yd 总压力作用点到总压力作用点到 ox 轴距离（轴距离（m）；）；yc 作用面形心点到作用面形心点到 ox 轴距离（轴距离（m）；）；a 作用面面积（作用面面积（m2）；）；ic 受压面对通过自身形心轴的惯性矩：受压面对通过自身形心轴的惯性矩：矩形矩形3c121bhi 圆圆4c641di 由于由于ayicc0，故故 yd yc 。公式适用条件：只适用于受压平面一公式适用条件：只适用于受压平面一侧有同种液体，并且液面相对压强为侧有同种液体，并且液面相对压强为零（即自由液面）的情况零（即自由液面）的情况 当是同种液体，液面相对压强

37、不为零，如用上述公式当是同种液体，液面相对压强不为零，如用上述公式计算静水总压力及其作用点，则应以相对压强为零的计算静水总压力及其作用点，则应以相对压强为零的液面（即测压管液面）为准来进行计算液面（即测压管液面）为准来进行计算 式中式中hc应取受压平面形心点应取受压平面形心点c在测压管液面下的淹没在测压管液面下的淹没深度深度 yc和和yd，则应取受压平面的形心点，则应取受压平面的形心点c和静水总压力的和静水总压力的作用点作用点d沿受压平面的方向到测压管液面的距离沿受压平面的方向到测压管液面的距离2.6.2 图算法图算法 对于底边平行于液面的矩形平面，还可采用图算法对于底边平行于液面的矩形平面，

38、还可采用图算法求解作用在平面上的静水总压力大小与作用点。求解作用在平面上的静水总压力大小与作用点。 设一底边平行于液面的矩形设一底边平行于液面的矩形ab，与水面夹角，与水面夹角，宽，宽度度b，上、下底边的淹深分别为，上、下底边的淹深分别为h1、h2。abh1h2根据解析法根据解析法bhhhhhgapfsin212121cpbabhhghghp1221sin21式中式中ap为压强分布图的面积。为压强分布图的面积。总压力作用线通过压强分布图的形心。总压力作用线通过压强分布图的形心。如图所示，某挡水矩形闸门，门如图所示，某挡水矩形闸门，门宽宽b=2m，一侧水深，一侧水深h1=4m，另，另一侧水深一侧

39、水深h2=2m，试用图解法求，试用图解法求该闸门上所受到的静水总压力。该闸门上所受到的静水总压力。h1h2解法一：解法一：首先分别求出两侧的水压力，然后求合力。首先分别求出两侧的水压力，然后求合力。1 1111000 9.8 4 4 2156800156.822pbghhbnkn 左左22111000 9.8 2 2 23920039.222pbgh h bnkn 右右h1/3h2/3156.839.2117.6pppkn左右方向向右方向向右e依力矩定理：依力矩定理：1233hhp epp 左右可解得：可解得：e=1.56m答答:该闸门上所受的静水总压力大小为该闸门上所受的静水总压力大小为11

40、7.6kn，方向向右，方向向右，作用点距门底作用点距门底1.56m处。处。前进合力对任一轴的力矩等于各分力对合力对任一轴的力矩等于各分力对该轴力矩的代数和。该轴力矩的代数和。h1h2解法二：首先将两侧的压强解法二：首先将两侧的压强分布图叠加，直接求总压力分布图叠加，直接求总压力2112() ()117.62hhghghpbbkn 方向向右方向向右依力矩定理：依力矩定理：e122122()32hhhp ephp 可解得：可解得：e=1.56m1112121() ()39.22pbr hhhhbkn 22122()78.4pbr hhh bkn 返回答：略答：略返回 一垂直放置的圆形平板闸门如一垂

41、直放置的圆形平板闸门如图所示，已知闸门半径图所示，已知闸门半径r=1m，形心，形心在水下的淹没深度在水下的淹没深度hc=8m，试用解析，试用解析法计算作用于闸门上的静水总压力。法计算作用于闸门上的静水总压力。hchdfp解：解：2246ccpparhrkn448.03cdccccriyyymyayalo答：该闸门上所受静水总压力的大小为答：该闸门上所受静水总压力的大小为246kn，方向向右，方向向右，在水面下在水面下8.03m处。处。返回 图示左边为水箱，其上压力表图示左边为水箱，其上压力表读数为读数为-0.147-0.147* *10105 5papa，右边为油箱，右边为油箱，油的油的r=7

42、350n/mr=7350n/m2 2，用宽，用宽1.2m1.2m的闸门隔的闸门隔开，闸门在点铰接，为使处于开，闸门在点铰接，为使处于平衡，求必须在点施加多大的水平平衡，求必须在点施加多大的水平力。力。解解:1解析法解析法21.81.8 1.2142882ccppar harn3222211.21.81.8121.21.821.21.82cdcciyymya（）求右侧油箱对板作用力（）求左侧水箱对板作用力1.5phmr 111.8(2.2) 1.8 2656212ccppar harn5.5m1.5m1.8m2.2moab水油3111111.81.21.812(2.2)3.21.82(2.2)

43、1.8 1.22cdcciyymyap1的作用点距点为3.2-2.2=1m设作用力方向向左，则由于力的作用点不在同一轴线上取对点力矩平衡p1的作用点距点为3.2-2.2=1m1211.21.8ppf f=26931n5.5m1.8mb1.5m2.2moa水油p1p22图解法图解法11 (2.24 ) 1.81.8 1.8) 1.2 51332.422pbrrrn 111(2.24 ) 1.8 1.265620.82pbrrn 2211.8 1.8 1.2 14288.42pbrn 10.99dym21.2dym120.991.2dpppy0.93dym1.8dpyfm26460fn5.5m1.

44、5m1.8m2.2moab水油图示平板图示平板abab，宽，宽1m1m，倾角，倾角45450 0，左，左侧水深侧水深3m3m，右侧水深，右侧水深2m2m，试求静水总，试求静水总压力及其作用点的位置压力及其作用点的位置 解：解：先考虑左边水体：先考虑左边水体：mayjyyknahappcccdcc828. 21232123)23(11212123(367.622315 . 18 . 9311111垂直于平板）再考虑右边水体：再考虑右边水体：mayjyypknahappcccdcc885. 11222122)22(11212122(719.2722118 . 93222212相反）垂直于平板，方向

45、与点）距离利用合力矩定理：相同）方向与故合力：amyypyppypknpdddd(45. 2)2(65.34719.27367.62221112.7 液体作用在曲面壁上的总压力液体作用在曲面壁上的总压力工程中存在着大量的曲面壁，如圆管管壁、球形容器工程中存在着大量的曲面壁，如圆管管壁、球形容器等。与平面相比，作用在曲面上的压强不仅大小随位置而等。与平面相比，作用在曲面上的压强不仅大小随位置而变，方向也因位置的不同而不同。变，方向也因位置的不同而不同。 2.7.1 曲面上的总压力曲面上的总压力 设开口水池中一面积为设开口水池中一面积为a的柱面的柱面ab ，一侧承压。选坐，一侧承压。选坐标系，令标

46、系，令xoy平面与自由液面重合，平面与自由液面重合，z 轴铅垂向下。轴铅垂向下。ab曲面上沿母线方向任取水深为曲面上沿母线方向任取水深为 h 的条形微元面的条形微元面 ef，面积为面积为da，其上作用压力其上作用压力dfp。由于。由于各微元面上的压力各微元面上的压力 dfp 方向不同，不方向不同，不能能直接积分求解直接积分求解 ab 面上的总压力，面上的总压力，需首先将其分解为需首先将其分解为 dfpx与与dfpz各自各自积分后再进行合成。积分后再进行合成。efdfphzox分解后分解后efdfpdfpzdfpxxppxdcosdcosddaghaghffzppzdsindsinddaghag

47、hffdadaxdaz总压力的水平积分总压力的水平积分xxpxpxddaahgff式中式中，代入上式，得，代入上式，得xcxxdahahaxcxcpxapaghf式中式中 fpx 总压力的水平分力；总压力的水平分力；ax 曲面的铅垂投影面；曲面的铅垂投影面；hc 投影面形心点深度；投影面形心点深度；pc 投影面形心点压强。投影面形心点压强。总压力的铅垂分力总压力的铅垂分力式中式中gvvgahgffvadddzzpzpzvahzdd为微元曲面到自由液面的柱体体积；为微元曲面到自由液面的柱体体积；而而vvahvaddzz则是整个曲面到自由液面的柱体体积；则是整个曲面到自由液面的柱体体积；称之为压立体。称之为压立体。总压力的合力总压力的合力2pz2pxpfff总压力的方向总压力的方向pxpztanff2.7.2 压立体压立体压立体压立体 受压曲面与自由液面（或其延伸面）之间的受压曲面与自由液面（或其延伸面）之间的柱体。由于