华师大版九年级上23.1.2.2圆的轴称性与垂径定理

1、23.1.2-2 初中数学资源网o圆除了是旋转对称图形外，还是轴对称图形圆是什么对称图形？ 初中数学资源网oacbnmd圆是轴对称图形圆是轴对称图形， 经过经过圆心圆心的的每一条每一条直线直线都是它的对称轴。 初中数学资源网oacbnmd或或： 任意一条任意一条直径所在的直线直径所在的直线都是圆的对称轴都是圆的对称轴。 任意一条直径任意一条直径都是都是圆的对称轴（圆的对称轴（ ） 初中数学资源网moacbn 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 初中数学资源网m

2、oacbn垂径定理垂径定理： 初中数学资源网 如果如果交换垂径定理交换垂径定理的的题设题设和和结论结论的部分语的部分语句句，会有一些什么样的，会有一些什么样的结论呢？结论呢？垂径定理垂径定理： 初中数学资源网 课题：垂直于弦的直径(2)垂径定理的推论垂径定理的推论 初中数学资源网moacbn探索一探索一：结论结论： 初中数学资源网推论推论1. (1)平分弦（平分弦（不是直径不是直径）的直径垂直于弦，并且平分的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。弦所对的两条弧。 初中数学资源

3、网oabmn一个圆的任意两一个圆的任意两条条直径总是互相平分直径总是互相平分，但是它们不一定互相但是它们不一定互相垂直。垂直。因此这里的弦因此这里的弦如果是直径，结论就如果是直径，结论就不一定成立。不一定成立。推论推论1. (1)平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。弦所对的两条弧。cd 初中数学资源网moacbn探索二探索二： 初中数学资源网(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; 初中数学资源网moacbn探索三探索三：

4、 初中数学资源网(3)(3)平分弦所对的平分弦所对的一条弧的直径一条弧的直径, ,垂直平垂直平分弦分弦, ,并且平分弦所对并且平分弦所对的另一条弧。的另一条弧。 初中数学资源网推论推论1: (1)平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直于的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)(2)弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心, ,并且平并且平分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧;.;. (3)(3)平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径, ,垂直垂直平分弦平分弦, ,并且平分弦所对的另一条弧。并且平分弦所对的另一条弧。w

5、 初中数学资源网圆的两条平行弦所夹圆的两条平行弦所夹的弧相等。的弧相等。 初中数学资源网推论推论2.2.圆的两条平行弦所夹的弧相等。圆的两条平行弦所夹的弧相等。moabncd作直径作直径mn垂直于弦垂直于弦ababcd 直径直径mn也垂直于弦也垂直于弦cd于是于是 弧弧am弧弧bm， 弧弧cm弧弧dm弧弧am弧弧cm 弧弧bm弧弧dm 即即弧弧ac弧弧bd 初中数学资源网cdabe例：例：已知：弧已知：弧ab作法：作法： 连结连结ab.作作ab的垂直平分线的垂直平分线 cd，交弧，交弧ab于点于点e.点点e e就是所求弧就是

6、所求弧abab的中点。的中点。求作：弧求作：弧ab的中点的中点 初中数学资源网cdabefg变式一变式一： 求弧求弧abab的四等分点。的四等分点。 初中数学资源网cdabmtefghnp错在哪里错在哪里？等分弧时一等分弧时一定要作定要作弧所夹弦弧所夹弦的垂直平分线的垂直平分线。作ab的垂直平分线cd。作atbt的垂直 平分线efgh 初中数学资源网cabe变式二变式二：你能确定你能确定 弧弧abab的圆心吗？的圆心吗？mndcabemno 初中数学资源网 初中数学资

7、源网你能你能破镜重破镜重圆圆吗？吗？abacmno 作作弦弦ababacac及它们的垂直平及它们的垂直平分线分线mmn n，交于，交于oo点；以点；以oo为圆为圆心，心，oaoa为半径作圆。为半径作圆。 初中数学资源网破镜重破镜重圆圆abcmno 弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心, ,并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。 作图依据： 初中数学资源网 已知：已知：ab、cd是是 o的两条平行弦，的两条平行弦， mn是是ab的垂直平分线。的垂直平分线。 求证：求证：mn垂直平分垂直平分cd。 moancdb 圆内圆内平行弦平行

8、弦的垂直平分线是的垂直平分线是互相互相重合重合的的。 初中数学资源网 已知：已知：ab、cd是是 o的两条平行弦，的两条平行弦， mn是是ab的垂直平分线。的垂直平分线。 求证：求证：mn垂直平分垂直平分cd。 moabncd分析分析：mn是是ab的垂直平分线的垂直平分线 则有：则有：由由abcd， mnab 则有：则有：mncd由垂径定理，得由垂径定理，得mn平分平分cd所以：所以：mn垂直平分垂直平分cd 初中数学资源网mobncd证明证明： mn是是ab的垂直平分线的垂直平分线 mncd mn平分平分cdaabcd，mnabmn垂直平分垂直

9、平分cd 初中数学资源网课堂小结：课堂小结： 本节课探索发现了本节课探索发现了垂径定理垂径定理的的推论推论1和推和推论论2,并且运用推论并且运用推论1等分弧等分弧。 要分清推论要分清推论1的的题设题设和和结论结论,即已知什么条即已知什么条件件,可推出什么结论可推出什么结论. 这是正确理解应用推论这是正确理解应用推论1的关键的关键; 例例3是基本几何作图是基本几何作图,会通过作会通过作弧所夹弦弧所夹弦的的垂直平分线垂直平分线来来等分弧等分弧.能够体会能够体会转化转化思想思想在这里的运用在这里的运用. 初中数学资源网回味引伸回味引伸 垂径定理及其推论垂径定理及其推论1的实质是把的实质是把(1)直线直线mn过圆心过圆心; (2)直线直线mn垂直垂直ab; (3)直线直线mn平分平分ab; (4)直线直线mn平分弧平分弧amb; (5)直线直线mn平分弧平分弧anb 中的两个条件进行了中的两个条件进行了四种四种组合组合,分别推出了其余的三个分别推出了其余的三个 结论结论.这样的组合还有这样的组合还有六种六种，由于时间有限，由于时间有限,课堂上未作课堂上未作 进一步的推导进一步的推导,同学们课下不妨试一试同学们课下不妨试一试. 初中数学资源网 moabncd证明：证明：