第七章多元函数微分学(一)

1、1第七章 多元函数微分学(一) 典型例题主要内容堂上练习题小结2一、主要内容一、主要内容定义2 (点函数)设d是n维空间中的一个点集,如果对于d中的每一个点p,按照一定的法则, f有确定的数u与之对应,则称对应法则f是定义在d上的函数.记为 ,uf p点集d称为这个函数的定义域.第第1 1节节 多元函数多元函数一. 定义3二二. 多元函数定义域多元函数定义域定义域为定义域为符合实际意义符合实际意义的的自变量取值的全体自变量取值的全体.实际问题中的函数实际问题中的函数:自变量取值的全体自变量取值的全体.纯数学问题的函数纯数学问题的函数: 定义域为使定义域为使运算有意义运算有意义的的规定规定:分母

2、不为分母不为0;负数不能开偶次方负数不能开偶次方;0和负数没有对和负数没有对数数;正弦正弦,余弦的绝对值不超过余弦的绝对值不超过1;00无意义无意义.4, 0 ,)()(02020 yyxx当当, 0 ),(yxfza 为为则则称称ayxfyxyx ),(lim),(),(00记作记作)0(),( ayxf或或)( 定义定义2 2有有成立成立.的极限的极限.时时当当),(),(00yxyx 设二元函数设二元函数 p0(x0, y0)是是d的聚点的聚点. 的定义的定义 ),()(yxfpf 义域为义域为d, 如果存在常数如果存在常数 a, ayxfapf),()(apfpp )(lim0也记作也

3、记作).()(0ppapf或或三三. 多元函数的极限多元函数的极限5 说明说明(1) 定义中定义中0pp (2) 二元函数的极限也叫二元函数的极限也叫),(lim00yxfyyxx(double limit)的方式是任意的；的方式是任意的；二重极限二重极限.6 相同点相同点 多元函数的极限与一元函数的极限的多元函数的极限与一元函数的极限的一元函数一元函数在某点的极限存在的充要在某点的极限存在的充要定义相同定义相同.差异为差异为必需是点必需是点p在定义域内以在定义域内以任何方式和途径任何方式和途径趋趋而而多元函数多元函数于于p0时时,相同点相同点和和差异差异是什么是什么条件是条件是左右极限都左右

4、极限都存在且相等存在且相等;都有极限都有极限,且相等且相等.)(pf7确定极限确定极限 关于二元函数的极限概念可相应地推广关于二元函数的极限概念可相应地推广到到n元函数上去元函数上去.不存在不存在的方法的方法则可断言极限不存在则可断言极限不存在;),(yxp令令若极限值与若极限值与 k 有关有关,(1)(2)此时也可断言此时也可断言找两种不同趋近方式找两种不同趋近方式,但两者不相等但两者不相等,),(lim00yxfyyxx使使处极限不存在处极限不存在.存在存在,在点在点),(yxf),(000yxpkxy ),(000yxp趋向于趋向于沿直线沿直线8四、多元函数的连续性 设二元函数设二元函数

5、 则称函数则称函数定义定义3 3),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx p0(x0, y0)为为d的聚点的聚点, 且且 p0d.如果如果连续连续.),(),(000yxpyxf在点在点如果函数如果函数 f (x, y) 在开区域在开区域(闭区域闭区域)d内的内的每一点连续每一点连续, 则称函数则称函数在在d内连续内连续,),(yxf或称函数或称函数),(yxf是是 d内的连续函数内的连续函数. 的定义域为的定义域为d, ),()(yxfpf 9有界闭区域有界闭区域上上连续连续的多元函数的性质的多元函数的性质至少取得它的最大值和最小值各一次至少取得它的最大值和最小值各一次介于

6、这两值之间的任何值至少一次介于这两值之间的任何值至少一次(1) 最大值和最小值定理最大值和最小值定理(2) 介值定理介值定理在在有界闭区域有界闭区域d上的上的多元连续函数多元连续函数, ,在在d上上在在有界闭区域有界闭区域d上的上的多元连续函数多元连续函数, ,如果如果在在d上取得两个不同的函数值上取得两个不同的函数值, , 则它在则它在d上取得上取得10第第2 2节节 偏导数偏导数一、偏导数的定义及其计算法定义定义),(yxfz 设函数设函数,0yy固定为固定为将将),(),(0000yxfyxxfzx xzxx0lim存在存在,处处在点在点),(),(00yxyxfz 的某邻域的某邻域在点

7、在点),(00yx内有定义，内有定义，,0时时处有增量处有增量在在而而xxx 函数有相应的增量函数有相应的增量如果极限如果极限xyxfyxxfx ),(),(lim00000则称此极限为函数则称此极限为函数(称为称为关于关于x的偏增量的偏增量).记为记为对对x的偏导数的偏导数,11记为记为,00yyxxxz ,00yyxxxf ,00yyxxxz 或或).,(00yxfx同理同理,可定义函数可定义函数处处在点在点),(),(00yxyxfz 为为 yzyy0limyyxfyyxfy ),(),(lim00000记为记为,00yyxxyz ,00yyxxyf ,00yyxxyz 或或).,(00

8、yxfyxyxfyxxfxzxxx ),(),(limlim000000对对x的偏导数的偏导数,对对y的偏导数的偏导数,12那么这个偏导数那么这个偏导数仍是仍是yx、的二元函数的二元函数,它就称为函数它就称为函数如果函数如果函数对自变量对自变量x的偏导函数的偏导函数(简称偏导数简称偏导数),记作记作,xz ,xf xz或或).,(yxfx同理同理,可定义函数可定义函数),(yxfz 对自变量对自变量y的的偏导函数偏导函数 (简称偏导数简称偏导数),记作记作,yz ,yf yz或或).,(yxfy在区域在区域d内任一点内任一点(x, y)处对处对x的偏导数都存在的偏导数都存在,( , )zf x

9、 y( , )zf x y13结论结论: 000000000000(,)( ,)( ,);(,)(,)( ,)xxxxxxxyyxxyyyyyyyfxyfx yfx yfxyfxyfx y14偏导数的概念可以偏导数的概念可以推广到二元以上函数推广到二元以上函数设设12( ,),nuf x xx1111110( , , , ,)( , , , , ,)limiiiniiinxif xx xxxxf xx x xxuxx则则求多元函数求多元函数12( ,)nuf x xx对某个变元对某个变元ix的偏导数时的偏导数时,作关于该变元的一元函数来求导即可作关于该变元的一元函数来求导即可.只要把其他变元当

10、作常量只要把其他变元当作常量,而把函数当而把函数当15二、偏导数的几何意义),(yxfz 设二元函数设二元函数),(,(00000yxfyxm设设在点在点),(000yxm有有如图如图,),(yxfz 为曲面为曲面偏导数偏导数.上的一点上的一点,0m),(yxfz yxzo过点过点0m作作平面平面,0yy 此平面此平面与曲面相交得一曲线与曲面相交得一曲线, 曲线的曲线的方程为方程为 ),(yxfz .0yy ),(0yxfz 由于偏导数由于偏导数),(00yxfx等于一元函数等于一元函数),(0yxf的的导数导数),(0yxf ,0 xx 故由故由一元函数导数的几何意义一元函数导数的几何意义0

11、 x0y16可知可知:0 xytxt0y),(yxfz yxzo),(0yxfz 0m偏导数偏导数),(00yxfx在几何上表示在几何上表示曲线曲线 ),(yxfz 0yy 在点在点),(,(00000yxfyxm处的切线对处的切线对x轴轴的斜率的斜率;偏导数偏导数),(00yxfy在几何上表示在几何上表示曲线曲线 ),(yxfz 0 xx 在点在点),(,(00000yxfyxm处的切线对处的切线对y轴轴的斜率的斜率.),(0yxfz 17 xz),(yxfyy ),(yxfxy ),(yxfyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义定义x 2

12、2xz ),(yxfxx 22yz yzy yxz 2 xzy xyz 2 yzx 三、高阶偏导数高阶偏导数高阶偏导数. .二阶及二阶以上的偏导数统称为二阶及二阶以上的偏导数统称为18多元函数的高阶混合偏导数如果连多元函数的高阶混合偏导数如果连一般地一般地,续就与续就与求导次序无关求导次序无关.如果函数如果函数的两个二阶混合偏的两个二阶混合偏),(yxfyx与与),(yxfxy在区域在区域d内内定理定理连续，连续， 那么在那么在导数导数该区域内该区域内).,(yxfyx ),(yxfxy( , )zf x y19第第3 3节节 全微分及其应用全微分及其应用的的全全增增量量在在点点如如果果函函数

13、数),(),(yxyxfz ),( oybxaz ,有有关关、仅仅与与、其其中中yxba,)()(22yx ybxa , yx 、处处),(yx处的处的全微分全微分. .可表示为可表示为),(yxfz 可微分可微分, ,在点在点),(yx则称函数则称函数称为函数称为函数记作记作,dz即即.dybxaz 函数若在某平面区域函数若在某平面区域d内处处可微时内处处可微时, 则称则称可微函数可微函数. .这函数在这函数在d内的内的而不依赖于而不依赖于( , )zf x y在点一、全微分的定义20 可微与偏导数存在有何关系呢？可微与偏导数存在有何关系呢？微分系数微分系数注注yxz 与与是是d. 1 之差

14、是比之差是比与与 zzd. 2ybxaz d全微分全微分有类似一元函数微分的有类似一元函数微分的)( oybxaz a=? b=?两个性质两个性质: :全全 微微 分分全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.的的线性函数线性函数;高阶无穷小高阶无穷小. .211. 可微分的必要条件可微分的必要条件.dyyzxxzz ( 可微一定有偏导数存在可微一定有偏导数存在).定理定理1 1( (可微必要条件可微必要条件) )如果函数如果函数在点在点),(yxfz 的的则该函数在点则该函数在点),(yx可微分可微分,),(yx,必存在必存在且函数且函数),(yxfz )

15、,(yx在点在点的全微分为的全微分为yzxz 、偏导数偏导数二、可微的条件22都不能保证都不能保证函数在该点连续函数在该点连续. 多元函数多元函数在某点在某点可微可微是否保证是否保证 事实上事实上,)( oybxaz 显然显然,答答:由全微分的定义有由全微分的定义有可得可得 z0lim 0 多元函数可微必连续多元函数可微必连续 连续的定义连续的定义不连续不连续的函数的函数上一节指出上一节指出, 多元函数多元函数在某点各个在某点各个偏导数偏导数即使都即使都存在存在,函数在该点连续函数在该点连续如果函数如果函数),(),(yxyxfz在点在点 可微分可微分,则函数在该点连续则函数在该点连续. )(

16、lim0 oybxa 一定是一定是不可微不可微的的.23根据可微的定义有下面结论:00( , )(,)zf x yxy在可微00002200,lim0 xyxyzfxyxfxyyxy242. 可微分的充分条件可微分的充分条件定理定理2 2的的如果函数如果函数),(yxfz ,),(连续连续在在、yxyzxz .可微分可微分(微分充分条件微分充分条件),(yx则该函数在点则该函数在点偏导数偏导数.ddddzzuyyuxxuu 通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和之和叠加原理也适用于二元以上函数的情况叠加原理也适用于二元以上函数的情况.称为二元函数的

17、微分符合称为二元函数的微分符合),(zyxfu 如三元函数如三元函数则则25考虑二元函数考虑二元函数 f (x, y)的下面的下面4条性质条性质: 选择题选择题 f (x, y)在点在点(x0 , y0)处连续处连续, f (x, y)在点在点(x0 , y0)处的两个偏导数连续处的两个偏导数连续, f (x, y)在点在点(x0 , y0)处可微处可微,f (x, y)在点在点(x0 , y0)处的两个偏导数存在处的两个偏导数存在.若用若用“”qp 表示可由性质表示可由性质p推出性质推出性质q,则有则有(a) . (b) . (c) . (d) . 26二、典型例题二、典型例题例例1 求下面

18、函数的定义域求下面函数的定义域2222(1)arcsin49xyzxy(2)lnlnzxyx2249xy0011xxyxxyx或27设函数设函数证明证明: :当当p(x, y)沿沿x轴轴的方向的方向当当p(x, y)沿沿y轴轴的方向的方向)0 ,(lim0 xfx), 0(lim0yfy也有也有 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf证证22000lim xxx00lim0 x22000limyyy 00lim0 y函数的极限不存在函数的极限不存在.,0, 0时时当当yx无限接近点无限接近点(0,0)时时,同样同样,无限接近点无限接近点(0,0)时时,例例228函数的极限存在且相

19、等函数的极限存在且相等.当当p(x, y) 沿直线沿直线 y = kx 的方向的方向2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化的不同而变化. 所以所以,极限不存在极限不存在说明函数取上面两个说明函数取上面两个无限接近无限接近于点于点(0,0)时时,另一方面另一方面,无限接近点无限接近点(0,0)时时,设函数设函数证明证明: 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf函数的极限不存在函数的极限不存在.,0, 0时时当当yx特殊方向特殊方向29极限极限 是否存在？是否存在？24200limyxyxyx 取取,kxy 解解242yx

20、yx ),(lim0yxfkxyx当当p(x,y)沿沿x轴的方向无限接近点轴的方向无限接近点(0,0)时时, 当当p(x,y)沿沿y轴的方向无限接近点轴的方向无限接近点(0,0)时时,)0 ,(lim0 xfx0 222243kxkxxkxkx ), 0(lim0yfy0 0lim220 kxkxkxyx30 极限不存在极限不存在.取取,2xy 242yxyx 444xxx极限极限 是否存在？是否存在？24200limyxyxyx 2131例3 证明函数2222222,0( , )0,00,0 xyxyxyf x yxy在点分别对于每个自变量x和y都连续,但作为二元函数在点 却不连续.0,03

21、2例例4 4 求极限求极限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解 22200)sin(limyxyxyx其中其中yxyxyx2200)sin(lim, 1 222yxyx , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyx2|22xxyyx yxyxyx2200)sin(lim,222yxyx 33例例5 5 求极限求极限 .42lim00 xyxyyx解解 将将分母有理化分母有理化, ,得得 42lim00 xyxyyxxyxyxyyx )42(lim00)42(lim00 xyyx4 34求多元函数的偏导数求多元函数的偏导数 例例 6 求求 的偏导数的偏导数.lntany

22、zx利用一元函数利用一元函数),(yxfx如求如求只需将只需将y的的求导法对求导法对x求导即可求导即可.看作常量看作常量,并不需要新的方法并不需要新的方法,例例 7 求求 的偏导数的偏导数.(0)yzuxx35三个偏导数三个偏导数.2lnsin)(),(xazzyxfxy 求求解解 求某一点的偏导数时求某一点的偏导数时,12lnsin xx)2 , 0 , 1(yf)2 , 0 , 1(zf )2 , 0 , 1(xf12lncos2 xxx2 , 000 y002 z例例8变为一元函数变为一元函数,代入代入,在点在点(1,0,2)处的处的可将其它变量的值可将其它变量的值再求导再求导, 常常较

23、简单常常较简单.36 证证 vrtp;2vrtvp prtv;prtv rpvt;rvpt pttvvp2vrt pr rv . 1 pvrt 1: pttvvp求证求证,为为常常数数为为温温度度为为体体积积为为压压强强rtvp 偏导数的记号只是一个整体记号偏导数的记号只是一个整体记号,不能像不能像一元函数的导数那样可看成是分子与分母的一元函数的导数那样可看成是分子与分母的微分的商微分的商. 例例9,pvrt已知理想气体的状态方程其中37 曲线曲线在点在点(2,4,5)处的处的切线切线与与x轴正向所成的倾角是多少轴正向所成的倾角是多少?解解,21),(xyxfx tan1)4 , 2( xf4

24、 在点在点(2,4,5)处的处的切线切线与与y轴正向所成的倾角是多少轴正向所成的倾角是多少?,2422 xyxz 曲线曲线22,44xyzy38 ).0 , 0(),(0),0 , 0(),(),(22yxyxyxxyyxf当当当当解解例例10.),(的偏导数的偏导数求求yxf,)0 , 0(),(时时当当 yx ),(yxfxy222)(yx )(22yx xxy 2 ,)()(22222yxxyy ),(yxfy222)(yx )(22yx xyxy 2 .)()(22222yxxyx ,)0 , 0(),(时时当当 yx按按定义定义得得39 )0 , 0(xf00lim0 xx )0 ,

25、 0(yf00lim0 yy注注 但前面已证但前面已证,此函数在点此函数在点(0,0)是是不连续不连续的的. xfxfx)0 , 0()0 ,0(lim0 yfyfy)0 , 0()0 , 0(lim0,)0 , 0(),(时时当当 yx按按定义定义得得 ).0 , 0(),(0),0 , 0(),(),(22yxyxyxxyyxf当当当当.),(的偏导数的偏导数求求yxf 由以上计算可知由以上计算可知,),(yxf 在点在点)0 , 0( 处处可偏导可偏导,40 二元函数二元函数f(x, y)在点在点 (x0, y0)处两个偏导数处两个偏导数 fx(x0, y0), f y(x0, y0)存

26、在是存在是 f (x, y) 在该点连续的在该点连续的( ).a. 充分条件而非必要条件充分条件而非必要条件b. 必要条件而非充分条件必要条件而非充分条件c. 充分必要条件充分必要条件d. 既非既非充分条件又非必要条件充分条件又非必要条件d412222220.uuuxyz偏偏 导导 数数例例11验证函数验证函数满足满足拉普拉斯方程拉普拉斯方程:2221,urxyzr 42例例12 ).0 , 0(),(0),0 , 0(),(),(223yxyxyxyxyxf当当当当设设解解,)0 , 0(),(时时当当 yx ),(yxfx ),(yxfy有有2223222)(2)(3yxxyxyxyx ,)(232224222yxyxyxyx .)(222223223yxyxyxx (0,0)(0,0)xyyxff求和43,)0 , 0(),(时时当当 yx按按定义定义得得 )0 , 0(xf xx0lim0 )0 , 0(yf yy0lim0 xfxfx)0 , 0()0 ,0(lim0 yfyfy)0 , 0()0 , 0(lim0 )0 , 0(xf yfyfxxy)0 , 0()0 , 0(lim02224222)(23),(yxyxyxyxyxfx , 0 )0 , 0(yf xfxfyyx)0 , 0()0 ,0(lim0. 122223223)(2),(yxyxy