46函数的凸凹性与函数作图

1、 函数曲线除了有升有降之外函数曲线除了有升有降之外, , 还有不同的弯曲方向还有不同的弯曲方向, , 如何根据函数本身判断函数曲线的弯曲方向呢？如何根据函数本身判断函数曲线的弯曲方向呢？4-6 函数的凸凹性与函数作图函数的凸凹性与函数作图1. 函数的凸凹性函数的凸凹性函数的函数的凸凸(向上凸向上凸)凹凹(向下凸向下凸)性性定义定义设设 在在 上可导上可导, yf x,a b0,xa b若对于每一点若对于每一点 ,都有都有 0000,;f xf xfxxxxa b xx 则称则称 在在 是是凸凸的的; f x, a b 0000,;f xf xfxxxxa b xx 则称则称 在在 是是凹凹的的

2、. f x, a b(曲线弧总是在它的切线的下方曲线弧总是在它的切线的下方)(曲线弧总是在它的切线的上方曲线弧总是在它的切线的上方)v曲线的凹凸性定义 设f(x)在区间i上连续, 对i上任意两点x1, x2, 如果恒有 那么称f(x)在i上的图形是凹的 那么称f(x)在i上的图形是凸的 如果恒有 2)()()2(2121xfxfxxf, 2)()()2(2121xfxfxxf, 观察与思考: f(x)的图形的凹凸性与f (x)的单调性的关系. 1) f(x)的图形是凹的 2) f(x)的图形是凸的 f (x)单调增加; f (x)单调减少.v定理(曲线凹凸性的判定法) 设f(x)在a, b上连

3、续, 在(a, b)内具有二阶导数. 若在(a, b)内f (x)0, 则f(x)在a, b上的图形是凹的 若在(a, b)内f (x)0, 则f(x)在a, b上的图形是凹的 若在(a, b)内f (x)0, 则f(x)在a, b上的图形是凸的 拐点连续曲线yf(x)上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点 定理如果在的左右两侧异号, 则是拐点. 0 x fx00,xfx在拐点处不存在. 00,xf x00fx 或拐点是的拐点，是的拐点，设在 内有连续的二阶导数, 若点 yf x, a b yf x,ca b则则 0.fc32 31xy , 讨论 曲线yx4是否有拐点？例 6 求曲线3xy的拐点

4、 例 解 二阶导数无零点 当x0时, 二阶导数不存在 因为当x0时, y0 当x0时, y0, 所以点(0, 0)是曲线的拐点 32 92xxy 只有f (x0)等于零或不存在, (x0, f(x0)才可能是拐点如果在x0的左右两侧f (x)异号, 则(x0, f(x0)是拐点 虽然y(0)0, 但(0,0)不是拐点.yoxy=x4oxy 例 求曲线y3x44x31的拐点及凹、凸的区间 解 (1)函数y3x44x31的定义域为(, ) (4)列表判断 在区间(,0和2/3,)上曲线是凹的 在区间0,2/3上曲线是凸的 点(0, 1)和(2/3, 11/27)是曲线的拐点 (, 0)0(0, 2

5、/3)2/3 (2/3, )00111/27 (3)解方程 y0, 得 (2)231212xxy,231212xxy)32(3624362 xxxxy (3)解方程 y0, 得01x, 322x y(x) y(x) x只有f (x0)等于零或不存在, (x0, f(x0)才可能是拐点如果在x0的左右两侧f (x)异号, 则(x0, f(x0)是拐点 例 求曲线y3x44x31的拐点及凹、凸的区间 只有f (x0)等于零或不存在, (x0, f(x0)才可能是拐点如果在x0的左右两侧f (x)异号, 则(x0, f(x0)是拐点 在区间(,0和2/3,)上曲线是凹的 在区间0,2/3上曲线是凸的

6、 点(0, 1)和(2/3, 11/27)是曲线的拐点 渐近线渐近线.)(,)(一条渐近线一条渐近线的的就称为曲线就称为曲线那么直线那么直线趋向于零趋向于零的距离的距离到某定直线到某定直线如果点如果点移向无穷点时移向无穷点时沿着曲线沿着曲线上的一动点上的一动点当曲线当曲线xfyllppxfy 2. 函数作图函数作图 lim,lim.xxf xabf xaxx 证证 0,lim.xabf x 此时此时 为为水平渐近线水平渐近线；yb若若若当若当 或或( 或或 )时时 或或，此时为，此时为垂直渐近线垂直渐近线xc0 xc 0 xc f x f x xc定理定理3 设函数设函数 在在 上有定义上有定

7、义,则直线则直线 是是 当当 时之渐近线时之渐近线 yf x, c yaxbx yf x函数作图的一般步骤函数作图的一般步骤利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形.第一步第一步第二步第二步第三步第三步第四步第四步 确定函数图形的水平确定函数图形的水平渐近线渐近线、垂直渐近、垂直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势线、斜渐近线以及其他变化趋势;列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点凹凸区间及极值点和拐点:x)3,( ), 0( )2, 3( 3 )0 , 2( )(xf )(xf 00)(xf 2 0 不存在不存在拐点拐点极值点极值点间间断断点点3 )926, 3

8、( .2)1(4)(2的图形的图形作函数作函数 xxxf2,x 稳定点. 3x特殊点; 2 y得水平渐近线得水平渐近线0.x 得垂直渐近线30f 小结小结函数图形的描绘是函数导数特性的综合应用函数图形的描绘是函数导数特性的综合应用.xyoab最大值最大值最小值最小值极大值极大值极小值极小值拐点拐点凹的凹的凸的凸的单增单增单减单减)(xfy m1m2n1n2 观察曲线的弯曲线程度与切线的关系观察曲线的弯曲线程度与切线的关系：* 4-7 曲线的曲率曲线的曲率 一条曲线的一条曲线的弯曲程度弯曲程度可以根据它在单位长度内切线转过的可以根据它在单位长度内切线转过的角度的大小来表达角度的大小来表达.cm0mm ds)sxyod0 xxd 0 x 设曲线设曲线c是光滑的，曲线是光滑的，曲线 线线c上从点上从点m 到点到点m 的弧长的弧长为为 d d s 切 线 的 转 角 为切 线 的 转 角 为 d设在 上连续，且在 内有二阶导数曲线弧 上任一点处的切线与轴的夹角 yf x, a b, a b f x , x f xx arctan.xfx定义定义: 曲线的曲率曲线的曲率kd /ds 2,1fxddxfx 21dsfx dx所以曲