ch3234导数的运算法则

1、000000)()(lim)()(lim)(0 xxxfxfxxfxxfxfxxx 点导数点导数二、导数的几何意义：二、导数的几何意义：xxfxxfxfx )()(lim)(0一、导函数一、导函数三、几个基本初等函数的导函数（用定义式）三、几个基本初等函数的导函数（用定义式）)()(,)(000上上在曲线在曲线斜率斜率xfxfxxfk 四、分段点处可导性讨论四、分段点处可导性讨论.)(,)()(,)(0000点未必可导点未必可导在在点连续点连续在在但但点必连续；点必连续；在在则则点可导点可导在在五、性质：五、性质：xxfxxfxxfxxf11(log1.( )02.().()3.()ln .(

2、).14.(ln ).5.(sin )cos .(co).ls )nsinaxxxxcxxraaaeexxxxxxxxa 基本初等函数的导函数：基本初等函数的导函数：3.2 求导法则求导法则3.4 3.3 ( ) ( )( ) ()(;3)( )f x g xfx g xf x g x);()( )()()2(xgxfxgxf );()( )()1(是常数是常数cxfcxcf 则则内可导内可导均在均在设设,)(),(dxgxf2( )( ) ( )( )( )( ) ( )(4)( ( )0).f xfx g xf x g xg xg xg x .数数的的情情形形性性质质可可推推广广到到有有限

3、限个个函函一一、导数的四则运算导数的四则运算 )(uvwwuvwvuvwu wvuwvu )(例如：例如：例：例：11)f(x)x5cos,( )x fxx 求求211( )5sin2fxxxx解解：32)f(x)x3ln3x求求的的导导数数2f (x)3x3 ln30 x解解：e3)f(x)xxe求求的的导导数数e f (x)(x )()xexex e解解：e-1xxexeex e ln4)f(x),( )xfxx 求求2(ln )lnf (x)x xxx 解解：21ln xx 例例;csc)2(xy 解解.tansecxx 求下列函数的导函数：求下列函数的导函数：;sec)1(xy ;ta

4、n)3(xy .cot)4(xy xxx2cos)sin(cos) 1 ( xxcos1)(sec)1(2()()()()()()()fxfx g xfx gxg xg x (sec )sa.ect nxxx (c )sccot.cs xcxx .sec2x xxxxx2cossinsincoscos xxxcossin)(tan)3(2(tan ).secxx2(cot )sc.cxx 性质性质反反函函数数求求导导法法则则）(.)(1)(xfy ),()(baxfy在在设设 , )(yx 则它有反函数则它有反函数,内严格单调且可导内严格单调且可导且且可导可导时时当当,)(,0)(yxxf 二

5、、二、 反函数的导数反函数的导数例例. .求下列函数的导数求下列函数的导数:解解1 ( )arcsinyx arcsinsinyxxy是是 的反函数的反函数2 2,y .112x y2sin11 )(sin1)arcsin yx（ycos1 ,2,2),1 , 1( yx且且则则这时这时, 0cos y2( )arccosyx arccoscosyxxy是是0 , y 的反函数的反函数0sin,y 1arccos )(cos )xy （1sin y 211 cos y 211.x )(arccos x.112x .112x )(arctan x.112x )cotarc( x同理可得同理可得(

6、arcsin )x 211.x ( )()()()(log)(ln )axxacxaexx 01aax lnxaaxe1lnxa1x(sin )(cos )(tan )(cot)(sec )(csc )xxxxxx cos xsin x 2sec x2csc xsectanxxcsccotxx (arcsin )(arccos )xx (arctan )(arccot)xx 211x 211x 211x 211x 三、三、导数基本公式导数基本公式（记忆并熟练计算）（记忆并熟练计算）初初等等函函数数的的求求导导呢呢？初初等等函函数数是是基基本本初初等等函函数数的的复复合合！四、复合函数求导法则四

7、、复合函数求导法则且且点可导点可导在在则则点可导点可导在在而而点可导点可导在在设设,)(,)()(,)(0000 xxgfyxguufyxxgu xuuyxydddddd 0ddxxyx )(dd xgfxy写写成成导导函函数数的的形形式式为为简写为简写为00()()fu g x)()(00 xgxgf )()(xgxgf .链链式式法法则则称称之之为为复复合合函函数数导导数数的的xuxuyy 或或链式法则：复合函数对自变量的导数等于链式法则：复合函数对自变量的导数等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。变量的导数。yux推广推广：此法则可推广到

8、多个中间变量的情形此法则可推广到多个中间变量的情形.例如例如,)(, )(, )(xvvuufy xydd)()()(xvuf yuvxuyddvuddxvdd关键关键: 搞清复合函数结构搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导由外向内逐层求导.例：例：2 1011)()yxy求求102:u ,u1xy 解解dydy dudxdu dx92910u2x=20 x(1+x )2)sin2xyy 求求:sinu,u2xy 解解dydy dudxdu dxcosu 2=2cos2xx3)eyy 求求u:e ,ux;y 解解dydy dudxdu dxxu1ee()=2 x2 x4)lnsecxyy 求求

9、1:ysecxtanxsecx解解tanx; 55)tan xyy 求求42:y5tan x sec x解解6)ln|x|yy 求求1:x0,ylnxyx解解-11x0,yln( x)y-xx1yx链式法则对多重复合函数同样适用，这时应搞清函链式法则对多重复合函数同样适用，这时应搞清函数的复合层次，求导时，从最外层开始，数的复合层次，求导时，从最外层开始，逐层依次逐层依次求导，注意不要遗漏。求导，注意不要遗漏。12( )lnarctanxyy 求求,2,arctan,lnxvvuuy 设设由由链链式式规规则则有有 xvuxvuy2)(arctan)(ln211112vu)2arctan()4(

10、22xx解解例：例：u1:e ,ucosv,v=;xy 解解dvv dxdydy dudxdu d1cosux22111e( sinv) ()=sinexxx 1cosx2)eyy 求求43)cot 5xyy 求求2332:4(cot5x) ( csc 5x) 5=-20cot 5xcsc 5xy 解解例：例：241)(1+csc x)yy 求求232:4(1csc x(1csc)x)y 解解232cscx=4(1c(-sc x)cotxcscx) 232=-8(1csc x) cotxcsc x 22)ln(x+ 1+x )yy 求求22(x1x )1:x1xy 解解222x(11x)2 1

11、x1x 211x 处处是是否否连连续续？在在的的表表达达式式，并并判判别别求求设设例例0)()(,0001sin)(.2 xxfxfxxxxxfxxxfx1sin)(02 时，时，当当xxxf1sin2)( xxx1cos1sin2 0)0()(lim)0(0 xfxffx又又xxxx01sinlim20 xxx1sinlim0 0 解解)1(1cos22xxx 分段函数分段点处的可导性严格用定义判断！分段函数分段点处的可导性严格用定义判断！分段函数的导函数分段函数的导函数求分段函数导函数时，先求各分段子区间上初等求分段函数导函数时，先求各分段子区间上初等函数的导数，然后再讨论各分段点的可导性

12、。函数的导数，然后再讨论各分段点的可导性。 0001cos1sin2)(xxxxxxf故故)1cos1sin2(lim)(lim00 xxxxfxx 由由于于处不连续。处不连续。在在故故0)( xxf不存在，不存在，例：求下列函数的导函数例：求下列函数的导函数21)f(x )y 2f(x )y 2f (x ) 2x f(x)2)f(lnx) ey f(x)f(x) f(lnx)ef(lnx)eyf(x)f(x)1=f (lnx)ef(lnx)ef (x)x223)f(sin x)f(cos x)y 22f(sin x)f(cos x)y 22f (sin x)2sinxcosxf (cos x

13、)2cosx( sinx)y 22sin2x (f (sin x)f (cos x)y 4)f(x)f (x)f(x)f (x)证证明明：如如果果为为奇奇函函数数，则则为为偶偶函函数数； 如 如果果为为偶偶函函数数，则则为为奇奇函函数数。:(1)f(-x) = -f(x)证证明明 (-x)( )ff x (-x)( )(-x)( )ffxffx ( )fx偶偶2( )f(-x) = f(x) (-x) ( )ff x(-x)( )(-x)( )ffxffx ( )fx为为奇奇函函数数5515232)()( ),( ),()()( ),( ),()fxf xfffxf xff 如如果果13 小结

14、小结作业：作业：p681(1)(2)(3)(4)(6),2(1)(2)(3)(8)(9),5(2)3.2 求导法则求导法则3.4 3.3 ( )()()()(log)(ln )axxacxaexx 01aax lnxaaxe1lnxa1x(sin )(cos )(tan )(cot)(sec )(csc )xxxxxx cos xsin x 2sec x2csc xsectanxxcsccotxx (arcsin )(arccos )xx (arctan )(arccot)xx 211x 211x 211x 211x 三、三、导数基本公式导数基本公式（记忆并熟练计算）（记忆并熟练计算）五、对数

15、求导法则五、对数求导法则(sin )xxyxyx g(x)yf(xx) 先先取取对对数数幂幂指指；后后方方程程两两边边关关于于 求求函函数数方方法法：对对数数求求导导法法：适适用用范范导导幂幂指指函函数数，多多个个函函围围：数数的的乘乘积积1)(sin )xyxy 求求lnln(sin )yxx 解：解：ycosln(sin )ysinxxxx 两两边边同同时时对对x x 求求导导数数：y(sin ) (ln(sin )cot)xyxxxx解解出出 ：22)xyxy 求求解：解：ln2 lnxyx 22y2 ln lnyxxxx两两边边同同时时对对x求x求导导数数：2122y(ln ln)xx

16、yxxx解解出出：)4ln() 3ln() 2ln() 1ln(31ln xxxxy4131211131 xxxxyy解解)41312111() 4)(3() 2)(1(31)(ln3 xxxxxxxxyyy3(1)(2),(3)(4)xxyyxx 例 设求例 设求对数求导法对数求导法 对数求导法适用于幂指函数的求导。对数求导法适用于幂指函数的求导。 对数求导法还适用于对数求导法还适用于多个函数的乘除多个函数的乘除，此，此时时取对数可化乘除为加减取对数可化乘除为加减，求导方便！，求导方便！五、五、 隐函数的求导法则隐函数的求导法则0 xyxyee1.一一定定义义：由由确确定定的的y与y与x之x

17、之间间的的函函数数关关系系y=f(x)，y=f(x)，y不y不能能由由x显x显性性表表示示f(x,yf(x,y，称称为为)=0)=0隐隐函函数数。(x,y) = 02 y .f隐隐函函数数求求导导两两边边法法则则：利利用用复复合合函函数数的的求求导导法法则则同同时时求求导导数数，解解出出对对note:求导过程中将求导过程中将y y看成看成x x的函数。的函数。3.3 高阶导数高阶导数.),()(),()(它它的的可可导导性性点点的的函函数数，仍仍可可以以考考察察内内的的作作为为内内可可导导，则则它它的的导导函函数数在在设设xbaxfbaxfy 4yx 4 3()4yxx32412()yxx21

18、224()yxx42424( )()yx5240( )()y( ),( ),;dy df xy fxdxdx2222( ),( ),;d y d f xyfxdxdx二二阶阶导导数数：3333( ),( ),;d y d f xyfxdxdx三三阶阶导导数数：444444( )( )( ),( ),;d y d f xyfxdxdx四四阶阶导导数数：( )( )( ),( ),nnnnnnd y d f xyfxdxdxn 阶n 阶导导数数：一阶导数：一阶导数：例：求下列函数的例：求下列函数的n阶导数阶导数1)nyx 1nynx 解解：21()nyn nx 312()()nyn nnx 121

19、( )()()!nyn nnn2)xye ( )nxye 解解：3)xya ( )(ln )nnxyaa 解解：4)sinyx 2cossin()yxx 解解：22sinsin()yxx 2( )sin()kyxk 如如果果2( +1)cos()kyxk 12sin()xk 2( )(sin )sin()nxxn 2( )(cos )cos()nxxn 51)ln()yx11yx 解解：11 ()x 21 1()()yx 312 1()()()yx 1111( )()()!()nnnynx 0 yyxye yyyyex 21()()()yyyy exy e yyex 0000,( )xyy00( )y(6)(6)设设y=f(x)y=f(x)是由是由 所确定的隐函数，求所确定的隐函数，求1yxye0( )y解：方程两边同时对解：方程两边同时对 x x 求导数：求导数：17)(),yxfyx 求求：11() ()yx fx fxx解解：2111()()()fxfxxx111()()ffxxx11111 ()()()() yfffxxx