第一节导数概念

1、第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节第一节 导数概念导数概念一、引例一、引例1.直线运动的速度直线运动的速度所花的时间经过的位移匀速运动的速度而若质点作匀速运动，即有在直线上对应位置质点在时刻于是且在直线上引入数轴设质点做直线运动f f( (t t) ). .函函数数s s位位置置st.,若质点变速直线运动变速直线运动,考察其速度.) 1.(.)()().()(0000000tttftfttssvtfstfstt：点的则在此时间间隔内，质，位置从在时刻平平均均速速度度.) 1 (0时刻的速度还不够精确式相对于在 t0000)()(lim,) 1 (,0tttftfvtvtttt即的为质点在

2、时刻称为记若该极限存在式的极限取令( (瞬瞬时时) )速速度度, ,v v, ,2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置 t0 xxoxy)(xfy cnm如图如图, 让点让点n沿曲线沿曲线c

3、趋趋于于m时，割线时，割线mn的极的极限位置限位置mt，就称为曲就称为曲线线c在在m点的切线。点的切线。极限位置即极限位置即. 0, 0 nmtmn).,(),(00yxnyxm设设的斜率为的斜率为割线割线mn00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxmnc沿曲线沿曲线的斜率为的斜率为切线切线mt.)()(limtan000 xxxfxfkxx 就定义为曲线上任意一点切线斜率的大小,它反映了该切线斜率就是函数值改变量对自变量改变量的变化率。xyxlim0比较两个公式xxfxxfxykttfttftsvxxttt)()()()(00000000limlimlimlim 相同点:

4、 数学问题相同 变化率问题 数学结构相同 函数改变量与自变量 改变量之比的极限 思想方法相同 矛盾转化的辩证方法).()(,:)()()(:0000 xfxfyxxxyxxfxfxfxx函函数数的的增增量量自自变变量量的的增增量量和的分别是函数和上述二二.导数的定义导数的定义1.函数在一点处的导数与导函数函数在一点处的导数与导函数),( ,)(,)(,0);()(,)(,)(00000000 xfxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy记为处的导数在点数并称这个极限为函处可导在点则称函数时的极限存在之比当与如果得增量取相应地函数时仍在该邻域内点处取得增量在当自变量有定义的某个邻域

5、内在点设函数定义定义.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx )2.()()(limlim00000 xxfxxfxyyxxxx,)(000,xxxxdxxdfdxdyyxx或即即注注:;)()() 1 (00具有导数或导数存在在点处可导有时也说成在点函数xxfxxf.)(,0.)(,)2()2(00处处的的导导数数为为无无穷穷大大点点xxfyxyxxxfy在通常称函数为方便起见比式时如果不可导是由于处不可导点在则称函数不存在如果极限.,)3(0程度量的变化而变化的快慢它反映了因变量随自变处的变化率变量在点函数在一点的导

6、数是因x.)(,)()4(可导内在开区间就称函数点处都可导内的每在开区间如果函数ixfixfy .)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfix或记作的这个函数叫做原来函数确定的导数值的一个都对应着对于任一于是导导函函数数xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或注意注意: :.)x(f)x(fxx00 2.求导数举例求导数举例步骤步骤:);()()1(xfxxfy 求求增增量量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求极限求极限例例1 1.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数ccxf 解解hx

7、fhxfxfh)()(lim)(0 hcch 0lim. 0 . 0)( c即即例例2 2.)(的导数的导数为正整数为正整数求函数求函数nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1rxx )( x例如例如,12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x 例例3 3.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求设函数设函数解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即4

8、4cos)(sin xxxx.22 例例4 4.)1, 0()(的导数的导数求函数求函数 aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即.)(xxee 例例5 5.)1, 0(log的导数的导数求函数求函数 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .log1)(logexxaa 即即.1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .log1exa 3.单侧导数单侧导数hxfhxfxfxfxxfhxfhxfhh)()(lim)(),()(,)()(lim10000000

9、00即，记为处的在为函数称该极限存在）若（左左导导数数hxfhxfxfxfxxfhxfhxfhh)()(lim)(),()(,)()(lim2000000000即，记为处的在为函数称该极限存在）若（右右导导数数.,)()(lim)(,)(300000限都存在且相等是左、右极而极限存在的充要条件极限是一个导数处的导数的定义在点）根据函数（hxfhxfxfxxfh在在且且相相等等. .都都存存右右导导数数条条件件是是左左导导数数在在处处可可导导的的充充要要存存在在即即)()()()(000 xfxfxfxf、于是，例例6 6.0)(处的可导性处的可导性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy xyo

10、,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(点不可导点不可导在在函数函数 xxfy三、导数的几何意义三、导数的几何意义oxy)(xfy t0 xm)(,tan)(,)(,()()(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxmxfyxf切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 曲线y=f (x)在点 x0 处的切线可能垂直于x轴、平行于 x 轴、或不存在，这些反映出的

11、导数值是：切线平行于x轴：0)(0 xf即k = tg = 0切线垂直于x轴：)(0 xf即k = tg = ，曲线为连续曲线;在点x0处无切线： f (x0)不存在. y o x x0 y=c f (x0)=0 y o x f (x0)=x0 o xyx0 y o x x0例例7 7.,)2 ,21(1方程和法线方程方程和法线方程并写出在该点处的切线并写出在该点处的切线斜率斜率处的切线的处的切线的在点在点求等边双曲线求等边双曲线xy 解解由导数的几何意义由导数的几何意义, 得切线斜率为得切线斜率为21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求所求切线方程切线方程为为法线方程法线方程为

12、为),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即. 01582 yx即即四、函数可导性与连续性的关系四、函数可导性与连续性的关系定理定理( (可导的必要条件可导的必要条件) ) 如果函数如果函数y=y=f(xf(x) )在点在点x x处可导处可导, ,则函数在该点必连续则函数在该点必连续. .证证,)(0可导可导在点在点设函数设函数xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0 .)(0连续连续在点在点函数函数xxf)0(0 x 注意注意: : 该定理的逆定理不成立.即: 函数在某点连续并不一定在该点可导函数在某点

13、连续并不一定在该点可导.31xyxy01例例9, 1)(3 xxf3203001limlim) 1 ()1 (limhhhhfhfhhh).1导数不存在导数不存在（即：无穷大处函数连续，但导数为在x例例10. y=| x | 在点 x=0 连续，但不可导.xxfx|0|0|lim)0(01|lim|0|0|lim)0(00 xxxxfxx故 f (0)不存在.y = | x |0 xy1|lim0 xxx小结小结1. 导数的实质导数的实质: 增量比的极限增量比的极限;2. axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3. 导数的几何意义导数的几何意义: 切线的斜率切线的斜率;4. 函数可导一定

14、连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;5. 求导数最基本的方法求导数最基本的方法: 由定义求导数由定义求导数.6. 判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.思考思考1 函函数数)(xf在在某某点点0 x处处的的导导数数)(0 xf 与与导导函函数数)(xf 有有什什么么区区别别与与联联系系？思考思考1解答解答思考思考2 2.0,0, 00,1sin)(处的连续性与可导性处的连续性与可导性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解,1sin是有界函数是有界函数x01sinlim0 xxx.0)(处连续处连续在在 xxf处有处有但在但在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之间振荡而极限不存在之间振荡而极限不存在和和在在时时当当 xyx.0)(处不可导处不可导在在 xxf0)(lim)0(0 xffx思考思考3 在点 x=0