第一章函数极限

1、函数极限函数极限 关于函数的极限，根据自变量的变化过程，我们主关于函数的极限，根据自变量的变化过程，我们主要研究以下两种情况：要研究以下两种情况：一、当自变量一、当自变量x的绝对值无限增大时，的绝对值无限增大时，f(x)的变化趋势，的变化趋势，的极限的极限时时即即)(,xfx 二、当自变量二、当自变量x无限地接近于无限地接近于x0时，时，f(x)的变化趋势的变化趋势的极限的极限时时即即)(,0 xfxx 一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx播放播放问问题题: :函函数数)(xfy 在在 x的的过过程程中中,

2、 对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 a.通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:. 0sin)(,无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当xxxfx 问题问题: 如何用精确的数学数学语言刻划函数如何用精确的数学数学语言刻划函数“无无限接近限接近”.;)()(任意小任意小表示表示axfaxf .的过程的过程表示表示 xxx:. 1 定义定义定定义义 1 1 如如果果对对于于任任意意给给定定的的正正数数 ( (不不论论它它多多么么小小) ), ,总总存存在在着着正正数数x, ,使使得得对对于于适适合合不不等等式式xx 的的一一切切 x, ,所所对对应应的的函函

3、数数值值)(xf都都满满足足不不等等式式 axf)(, , 那那末末常常数数a就就叫叫函函数数)(xf当当 x时时的的极极限限, ,记记作作 )()()(lim xaxfaxfx当当或或 定定义义x axfx)(lim.)(, 0, 0 axfxxx恒有恒有时时使当使当2.另两种情形另两种情形:.10情形情形xaxfx )(lim.)(, 0, 0 axfxxx恒有恒有时时使当使当:.20情形情形xaxfx )(lim.)(, 0, 0 axfxxx恒有恒有时时使当使当 axfx)(lim:定定理理.)(lim)(limaxfaxfxx 且且3.几何解释几何解释:xxysin axx .2,)

4、(,的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线直线直线图形完全落在以图形完全落在以函数函数时时或或当当 ayxfyxxxx例例1 1lim21xxx.)(,)(lim:的图形的水平渐近线的图形的水平渐近线是函数是函数则直线则直线如果如果定义定义xfycycxfx 二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限先看一个例子先看一个例子的变化趋势的变化趋势函数函数时时考察考察1)1(2)(,12 xxxfx 这个函数虽在这个函数虽在x=1处处无定义，但从它的图无定义，但从它的图形上可见，当点从形上可见，当点从1的的左侧或右侧无限地接左侧或右侧无限地接近于近于1时，时， f(

5、x)的值无的值无限地接近于限地接近于4，我们称，我们称常数常数4为为f(x)当当x1 时时f(x)的极限。的极限。1xyo4问问题题: :函函数数)(xfy 在在0 xx 的的过过程程中中,对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值a. ;)()(任意小任意小表示表示axfaxf .000的过程的过程表示表示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0邻域邻域的去心的去心点点 x.0程度程度接近接近体现体现xx :. 1 定义定义定义定义 2 2 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多不论它多 么小么小),),总存在正数总存在正数 , ,使得对于适合不等式使

6、得对于适合不等式 00 xx的一切的一切x, ,对应的函数值对应的函数值)(xf都都 满足不等式满足不等式 axf)(, ,那末常数那末常数a就叫函数就叫函数)(xf当当0 xx 时的极限时的极限, ,记作记作 )()()(lim00 xxaxfaxfxx 当当或或 定义定义 .)(,0, 0, 00 axfxx恒有恒有时时使当使当注注定义习惯上称为极限的定义习惯上称为极限的定义其三个要素：定义其三个要素：10。正数。正数，20。正数。正数，30。不等式。不等式)|0(|)(|0 xxaxf定义中定义中 |00 xx0 xx 表示表示所以所以x x0时时，f(x) 有无极限与有无极限与 f(x

7、)在在x0处的状态处的状态并无关系，这是因为我们所关心的是并无关系，这是因为我们所关心的是f(x) 在在x0附近附近的变化趋势，即的变化趋势，即 x x0时时f(x) 变化有无终极目标，变化有无终极目标，而不是而不是f(x) 在在x0这一孤立点的情况这一孤立点的情况 。约定。约定x x0但但 xx00反映了反映了x充分靠近充分靠近x0的程度，它依赖于的程度，它依赖于，对一固定的对一固定的而言，合乎定义要求的而言，合乎定义要求的并不是唯并不是唯一的。一的。由不等式由不等式 |f(x) a| 来选定，来选定，一般地，一般地，越小，越小，越小越小2.几何解释几何解释:.2,)(,0的带形区域内的带形

8、区域内宽为宽为为中心线为中心线线线图形完全落在以直图形完全落在以直函数函数域时域时邻邻的去心的去心在在当当 ayxfyxx0 xaaa0 x0 x)(xfy xyo.,越越小小越越好好后后找找到到一一个个显显然然 例例2 2lim(31)xx例例30lim?(1)xxaa例例411lim21xxx3.单侧极限单侧极限:例如例如,. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx证明证明设设yox1xy 112 xy两种情况分别讨论两种情况分别讨论和和分分00 xx,0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近; 00 xx记作记作,0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近; 00 xx记作记作左极

9、限左极限.)(, 0, 000 axfxxx恒有恒有时时使当使当.)0()(lim0)(000axfaxfxxxx 或或记作记作右极限右极限.)(, 0, 000 axfxxx恒有恒有时时使当使当.)0()(lim0)(000axfaxfxxxx 或或记作记作000:000 xxxxxxxxx注意注意.)0()0()(lim:000axfxfaxfxx 定理定理例例6.lim0是否存在讨论xxx证证xxxxxx 00limlim1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 x左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfxyx11 o三、函数极限的性

10、质三、函数极限的性质1.局部有界性局部有界性定定理理 若若在在某某个个过过程程下下, ,)(xf有有极极限限, ,则则存存在在过过程程的的一一个个时时刻刻, ,在在此此时时刻刻以以后后)(xf有有界界. . 2.唯一性唯一性定理定理 若若)(limxf存在存在,则极限唯一则极限唯一.3.不等式性质（局部）不等式性质（局部）定理定理( (保序性保序性) ).),()(),(, 0.)(lim,)(lim0000baxgxfxuxbxgaxfxxxx 则则有有若若设设推论推论).()(),(, 0,)(lim,)(lim0000 xgxfxuxbabxgaxfxxxx 有有则则且且设设定理定理(

11、(保号性保号性) ).0)(0)(,),(, 0),0(0,)(lim000 xfxfxuxaaaxfxx或或时时当当则则或或且且若若推论推论).0(0),0)(0)(,),(, 0,)(lim000 aaxfxfxuxaxfxx或或则则或或时时当当且且若若四、小结四、小结函数极限的统一定义函数极限的统一定义;)(limanfn ;)(limaxfx ;)(limaxfx ;)(limaxfx ;)(lim0axfxx ;)(lim0axfxx .)(lim0axfxx .)(, 0)(lim axfaxf恒有恒有从此时刻以后从此时刻以后时刻时刻(见下表见下表)过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 n x x xnnn nx nx nx )(xf axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 )(xf axf)(思考题思考题试问函数试问函数 0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在在0 x处处的左、右极限是否存在？当的左、右极限是否存在？当0