第一节导数的概念及其应用

1、第一节 导数的概念及其应用导数的运算导数的运算 求下列各函数的导数(1)yaxx3(a0且a1)；(2)yxsinxcosx；(3)xxy1111分析正确运用求导公式及导数运算法则求解。解解(1) y(axx3)(ax)(x3)axlna3x2. (2) y(xsinxcosx)(xsinx)(cosx) xsinxx(sinx)sinx sinxxcosxsinxxcosx. (3) y= =221211212121111xxxxxxx规律总结规律总结(1)对较复杂的函数求导时，应先化简再求导。 (2)公式(ax)axlna， ,记忆方 法，要类比(ex)ex，(lnx) ，同 时都多出常数

2、lna。axxaln1logx1变式训练变式训练1 1 求下列函数的导数 4cos212sin12xxy 112xxeey解析解析 xxyxxxycos21sin21sin212cos2sin1 221211212121211211212xxxxxxxxxxeeeeeeeyeeey变式训练2 已知f(x)x22f(1)x，则f(1)_。【解析解析】f(1)为常数， f(x)x22f(1)x2x2f(1)， f(1)2，f(1)246.【答案答案】6导数几何意义的运用 已知函数f(x)x3x-16(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，

3、求直线l的方程。分析(1)点x2处的导数为切线的斜率，利用点斜式求出 方程；(2)先设出切点，利用导数导出切线的斜率，再用点 斜式导出方程后，结合条件求解。解(1)f(x)3x21，在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13，切线方程为y613(x2)，即y13x32.(2)设切点坐标为(x0，y0)，则直线l的斜率为kf(x0)3x021，直线l的方程为y(3x021)(xx0)x03x016，又直线l过原点，0(3x021)(x0)x03x0162x0316，x02，y026，k13，直线l的方程为y13x.规律总结规律总结(1)解决此类问题一定要分清是“在某点处的切线”，还是“过某点的

4、切线”。(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标(x0，y0)，得出切线方程yy0f(x0)(xx0)，然后把已知点代入切线方程求(x0，y0)，进而再求出切线方程。变式训练变式训练3 3 曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积。232131xxy65, 1672 xy12767【解析解析】由f(1)2，故切线方程为： ，其在两坐标轴上的截距分别为 ， ，故直线与两坐标轴围成的三角形面积为144496712721s导数的综合应用导数的综合应用(12分)已知函数的图象在点(1，f(1)处的切线方程为x2y50，求yf(x)的解析式。 bxaxxf26分析分析点(1，f(1)既

5、在直线x2y50上，又在函数f(x)的图象上。解解依题意，12f(1)50，f(1)2，216ba，即a2b4.3分 2222221226bxabxaxbxxaxbxaxf6分又21121babaf7分又点(1，f(1)处的切线斜率为 21k211221baba 362223xxxfab解得 10分12分规律总结规律总结函数图象的切线是由切点和斜率(即导数确定的.有关切线问题，需要把握切点特征，和对函数进行正确求导运算.变式训练4 已知曲线c：yx33x22x，直线l：ykx，且直线l与曲线c相切于点 (x0，y0)(x00)，求直线l的方程及切点的坐标。，26323020002030 xxx

6、xxxk，230 x.83,23,41,2383kk，xy41【解析解析】y3x26x2，直线ykx过原点(0,0)及(x0，x033x022x0)，解得切点为 把切点坐标代入ykx 得 切线方程为 即 x4y0 .1正确运用公式、法则求函数导数是基础2需要准确理解在已知曲线上某点处的切线的两层含义：一是该点的导数值等于切线的斜率；二是该点坐标满足已知的曲线方程3如果曲线yf(x)在(x0，f(x0)处的切线平行于y轴(此时导数不存在)，由切线的定义知，切线方程为xx0.4当某点不在曲线上，求过该点的切线方程时，要先设出切点坐标，利用导数的几何意义表示出切线方程；再把已知点代入切线方程，从而得出所求的切线方程已知曲线y x3上一点p，求过点p 的切线方程错解错解由yx2，得y|x-24，则所求的切线方程是y 4(x2)，即12x3y160.3138, 238错解分析本题所求是过点p的切线，虽然点p在曲线上，但过点p的切线不一定以p为切点所以，过点p但不以p为切点的切线也是符合题意的正解正解设切点(x0，y0)，则切线方程为y x03x02(xx0)切线过点p ， x03x02(2x0)，解得x0